丰满区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

丰满区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “x 2﹣4x ＜0”的一个充分不必要条件为（ ）
A ．0＜x ＜4
B ．0＜x ＜2
C ．x ＞0
D ．x ＜42． 已知点F 1，F 2为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得
，
则此椭圆的离心率的取值范围是（
）
A ．（0，）
B ．（0，]
C ．（，]
D ．[，1）
3． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ）
A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
4． 已知集合，，则（ ）
{2,1,0,1,2,3}A =--{|||3,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,0}--{1,0,1,2}-{2,1,0}--{1,,0,1}
-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
5． 已知点是双曲线C ：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且
P 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>1F 2F ，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率
12PF PF ⊥2PF M N N 2PF 是（ ）
A.
B.2
D.5
2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
6． 已知双曲线
﹣
=1的一个焦点与抛物线y 2=4
x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x ，则
该双曲线的方程为（ ）
A ．﹣
=1B ．
﹣y 2=1C ．x 2﹣
=1D ．
﹣
=1
7． 如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（
）
A ．②④
B ．③④
C ．①②
D ．①③
8． 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()x
F x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥
A ．
B ．
C ．
D ．(,-∞(,-∞(0,)
+∞9． 不等式
≤0的解集是（
）
A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）
B ．[﹣1，2]
C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
D ．（﹣1，2]
10．若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（
）A ．
B ．
C ．
D ．2
11．已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面
积为（ ）
A ．4﹣
B ．4
﹣
C ．
D ． +
12．设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）
A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
二、填空题
13．已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为
．
14．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
15．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．
x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．16．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
17．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．18．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．
三、解答题
19．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．
（Ⅰ）求点A 的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）
=•，x ∈[0，]的值域．
20．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{
}n
n
a b 的前项和n S .
21．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
22．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．
23．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
24．已知函数．()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈（1）令，讨论的单调区间；
()()()1g x f x ax =--()g x
（2）若，正实数满足，证明．2a =-12,x x ()()12120f x f x x x ++=12x x +≥
丰满区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：不等式x 2﹣4x ＜0整理，得x （x ﹣4）＜0∴不等式的解集为A={x|0＜x ＜4}，
因此，不等式x 2﹣4x ＜0成立的一个充分不必要条件，对应的x 范围应该是集合A 的真子集．
写出一个使不等式x 2﹣4x ＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x ＜2，故选：B ．　
2． 【答案】D 【解析】解：由题意设=2x ，则2x+x=2a ，
解得x=
，故|
|=
，|
|=
，
当P 与两焦点F 1，F 2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c 2=
+
﹣2×
×
×cos ∠F 1PF 2，
由cos ∠F 1PF 2∈（﹣1，1）可得4c 2=﹣
cos ∠F 1PF 2∈（，
），
即
＜4c 2＜
，∴
＜
＜1，即
＜e 2＜1，∴
＜e ＜1；
当P 与两焦点F 1，F 2共线时，可得a+c=2（a ﹣c ），解得e==
；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．　
3． 【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}．故选：A ．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．　
4． 【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,0,1,2,3}x ∈--||3{3,2,1,0}y x =-∈---A B = {2,1,0}--5． 【答案】A.
【解析】
6．【答案】B
【解析】解：已知抛物线y2=4x的焦点和双曲线的焦点重合，
则双曲线的焦点坐标为（，0），
即c=，
又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，
则有a2+b2=c2=10和=，
解得a=3，b=1．
所以双曲线的方程为：﹣y2=1．
故选B．
【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．
7．【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP ∥平面SBD ，因此正确．故选：A
．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,
()x
F x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R 使得不等式
()()()()()()(],,,,0,222
x x x x
x
x
e e e e e g x h x e
g x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 恒成立, 即
恒成立, ()()20g x ah x -≥2202
2
x
x
x x
e e
e e a --+--≥A
()2
222
x x x x
x x
x x
e e e e
a e e e e -----++∴≤
=
--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x x
e e e e
--=-+
+x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,222
0t e e -∴<≤-式
当且仅当,即时, 取等号,,故选
B.
2
t t +≥2
t t
=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
9． 【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x ≤2，故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．　
10．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：，
可得a2=b2，c=a，
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．　
11．【答案】A
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，
若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
则（cosθ+sinθ）=﹣1，
令sinα=，则cosθ=，
则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，
即sin（α+θ）=﹣，
∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由，解得，即B（2，2），
A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，
直线y=x的倾斜角为，
则∠AOB=，即扇形的面积为，
则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．
12．【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题p为假命题；
函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由题意f1（x）=f（x）=．
f2（x）=f（f1（x））=，
f 3（x ）=f （f 2（x ））==，
…
f n+1（x ）=f （f n （x ））=
，故f 2015（x ）=故答案为：．　
14．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F （1，0），
∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），由，消去x 得．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22=﹣4，
消去y 2得k 2=3，解之得k=±
．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
15．【答案】3
-【解析】作出可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线：，当直线
0l 30x y +=0l l 3x y z a +=-经过点时，取得最大值，∴，所以，故l 5(,2)3M 3z a x y -=+max 5()3273
z a -=⨯+=max 74z a =+=．
3a =-
16．【答案】　[﹣1，3]　．
【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx ≤1，
∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
17．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得，
x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝得y ′＝，x 22p x p
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .
2pt p
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），
又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，
－）．p 2
∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2
解得t ＝±，即t 的值为±.121218．【答案】　m ＞1　．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0，
解得m ＞1，
故答案为：m ＞1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，）．
∴tan θ=tan （α+）==，
∴由解得，
∴点A 的坐标为（，）．
（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin （2x+）
由x ∈[0，
]，可得2x+∈[，]，∴sin （2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
20．【答案】（1）2,2==q d ；（2）12
326-+-
=n n n S .【解析】
（2）
12
12--=n n n n b a ，………………6分12212
1223225231---+-++++=n n n n n S ，①n n n n n S 2
12232252321211321-+-++++=- .②……………8分①-②得n n n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 23112222211222222n n n n S --=++++-，…………10分所以12
326-+-=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；
（2）数列}a {n
n b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .21．【答案】
【解析】解：（1）f'（x ）=3ax 2+2bx ﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即
，解得a=1，b=0．
∴f （x ）=x 3﹣3x ．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD⊂平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是=，
设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，=，=（﹣2，0，a）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴=﹣=，
比较系数得：c=﹣c ，∴c=0，
∴f （x ）==x+；
（Ⅱ）∵f （x ）=x+，∴f ′（x ）=1﹣
，当x ∈[2，+∞）时，1﹣＞0，
∴函数f （x ）在[2，+∞）上单调递增，
∴f （x ）min =f （2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
24．【答案】（1）当时，函数单调递增区间为，无递减区间，当时，函数单调递增区间0a ≤()0,+∞0a >为，单调递减区间为；（2）证明见解析.10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解析】
试题解析：
（2）当时，，2a =-()2
ln ,0f x x x x x =++>由可得，()()12120f x f x x x ++=22
121122ln 0x x x x x x ++++=即，()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-令，则，()12,ln t x x t t t ϕ==-()111t t t t
ϕ-'=-=
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，()t ϕ()0,1()1,+∞所以，所以，()()11t ϕϕ≥=()()2
12121x x x x +++≥
又，故，120x x +>12x x +≥
由可知．1120,0x x >>120x x +>考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。