2018秋新版高中数学选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.1.1-1.1.2

第一章
导数及其应用
1.1变化率与导数
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
课时过关·能力提升
基础巩固
1已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
解析∵x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.
答案B
2当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x=x0处的变化率
C.在x=x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
答案A
3若函数f(x)在x0处可导,则-的值()
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0,h均无关
解析由导数的概念可知,-=f'(x0),仅与x0有关,与h无关.故选B.
答案B
4已知函数f(x)=2x+1,则函数f(x)从x0变化到x0+Δx的平均变化率为()
A.-2
B.2
C.3
D.不确定
解析f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)+1-2x0-1=2Δx,故平均变化率为-=2.
答案B
5已知某质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是()
A.-3
B.3
C.6
D.-6
解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,
s'|t=1=(-3Δt-6)=-6.
答案D
6如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于.
答案-1
7函数y=f(x)=x+在x=2处的导数是.
解析f'(2)=-
-
=
=-.
答案
8航天飞机发射后的一段时间内,t时刻的高度h=f(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.
(1)f(0),f(1)分别表示什么?
(2)求第1 s内高度的平均变化率;
(3)求第1 s时高度的瞬时变化率,并说明它的意义.
分析先确定f(0),f(1)的含义,再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解.
解(1)f(0)表示航天飞机未发射时的高度,f(1)表示航天飞机发射1 s时的高度.
(2)-
=80,即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.
-
(3)f'(1)=-[5(Δt)2+45Δt+120]=120,即第1 s时高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加.
9已知质点做直线运动,且位移s是时间t的函数:s=s(t)=3t2+2t+1.
(1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并分别求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;
(2)求当t=2时的瞬时速度.
分析(1)根据平均变化率的概念可求平均速度;(2)即求位移s在t=2处的导数.
解(1)从t=2到t=2+Δt的平均速度为
=---
==14+3Δt.
当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17;
当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3;
当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.
(2)当t=2时的瞬时速度为v=(14+3Δt)=14.
能力提升
1已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则等于()
A.2
B.2x
C.2+Δx
D.2+(Δx)2
解析∵邻近一点的坐标为(1+Δx,2+Δy),
∴2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)2+1=2+2Δx+(Δx)2.
∴Δy=(Δx)2+2Δx.
∴=2+Δx.
∴(2+Δx)=2.故选A.
答案A
2已知一个物体的运动方程为s=s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是m,时间t的单位是s,则物体在第
3 s时的瞬时速度是()
A.7 m/s
B.6 m/s
海阔天空专属文档（翔子专享）C.5 m/s D.8 m/s
解析s'(3)=-
=---
=(5+Δt)=5.
答案C
3已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a的值为()
A.2
B.-2
C.3
D.-3
解析∵f'(1)=-
=-=a,
∴f'(1)=a=3.
答案C
4函数y=-在点x=4处的导数是()
A. B.-
C. D.-
解析∵Δy=-
=-
=,
∴.
∴
=.
∴y'|x=4=.
答案C
5已知质点运动规律s=gt2,则在时间区间[3,3+Δt]内的平均速度等于(g=10 m/s2).
答案30+5Δt
6已知成本c与产量q的函数关系式为c=4q2+q-6,求当产量q=10时的边际成本.(注:边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数)
分析由题意知当q=10时的边际成本即为函数c=4q2+q-6在q=10处的导数.
解∵Δc=4(10+Δq)2+(10+Δq)-6-(4×102+10-6)=4(Δq)2+80Δq+Δq=4(Δq)2+81Δq,
∴=4Δq+81.
∴边际成本为(4Δq+81)=81.
故当产量q=10时的边际成本为81.
7路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯.
(1)求身影的长度y与人和路灯间的水平距离x之间的关系式;
(2)求人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率.
分析(1)画出示意图,根据平面几何知识,可求y与x之间的关系;(2)由求平均变化率的步骤即可得解.解(1)如图,设人从点C运动到B处的路程为x m,AB的长度为身影的长度,AB的长度为y m.
由于CD∥BE,则,
即,所以y=x.
(2)84 m/min=1.4 m/s,当从0 s到10 s时,身影的长度增加了×1.4×10-×1.4×0=(m),身影的平均变化率为
(m/s),
-
即人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率为 m/s.
★8柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状.如果开始加热后第x h沥青的温度(单位:℃)为
y=f (x )=
- - - 求开始加热后第15 min 和第4 h 沥青温度变化的瞬时速度,并说
明它们的意义.
解∵15 min =0.25 h,且当0≤x ≤1时,
f (x )=80x 2+20,
∴
-
= - = =40+80Δx. ∴f'(0.25)=
(40+80Δx )=40.
又当1<x ≤8时,f (x )=-
(x 2-2x-244),
∴当x=4时,
=
=
-
=-
(6+Δx ). ∴f'(4)=
-
=-
×6=-
. 在第15 min 与第4 h,沥青温度的瞬时变化率分别为40与-
,说明在第15 min 附近,沥青的温度
大约以40 ℃/h 的速率上升;在第4 h 附近,沥青温度大约以
℃/h 的速率下降.。