2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例优化练习 新人教A

3.4 生活中的优化问题举例[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V解析：设底面边长为x ，侧棱长为h ，则34x 2h ＝V ， S ＝32x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43V x， ∵S ′＝3x －43Vx 2，令S ′＝0，∴x 3＝4V ，∴x ＝34V 时，S 取得极小值也是最小值． 答案：C2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么速度为0的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒C ．2秒末D ．0秒末或1秒末解析：由题意可得t ≥0，s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝0，解得t 1＝0，t 2＝1. 答案：D3．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对解析：设矩形一边的长为x ，则另一边的长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4xR 2－x 2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0， 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R . 答案：B4．某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P (元/吨)与产量x (吨)之间的关系式为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)，为使利润最大，则产量应为( )A ．200吨B ．20吨C ．150吨D ．100吨 解析：利润L ＝P ·x －R＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －50 000－200x ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x >0)，L ′＝－35x 2＋24 000，令L ′＝0，得x 2＝40 000. ∴x ＝200.经检验，当x ＝200时利润最大． 答案：A5．将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝梯形的周长2梯形的面积，则S 的最小值是( )A.3233B.1633 C.833D.433解析：如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)， 则DE ＝AD ＝x m ，∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1 ＝3－x (m)， 又S △ADE ＝34x 2(m 2)， ∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0＜x ＜1)， ∴s ′＝－833×x －x －－x22，令s ′＝0得x ＝13或3(舍去)，当x ∈(0，13)时，s ′＜0，s 递减，当x ∈(13，1)时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233. 答案：A6．将长为72 cm 的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则容器的高为________．解析：设容器的底面边长为x ，高为h ，则8x ＋4h ＝72，h ＝18－2x (0<x <9) 容积V ＝x 2h ＝x 2(18－2x )＝18x 2－2x 3.V ′＝36x －6x 2＝6x (6－x )当0<x <6时，V ′>0； 当6<x <9时，V ′<0∴当x ＝6时V 最大，这时h ＝6. 答案：67．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________．解析：由题意知，所求的量为当y 为最大值时的自变量t 的取值，y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0，得3t 2＋12t －36×8＝0， ∴t 1＝8，t 2＝－12(舍)．当t ∈(6,8)时，y ′>0，t ∈(8,9)时，y ′<0， 所以t ＝8时，y 有最大值． 答案：8点8．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为r 的________倍． 解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ， ∵h ＝r 2－x 2，∴S ＝2r ＋2x 2r 2－x 2＝(r ＋x )·r 2－x 2.∴S ′＝r 2－x 2－x r ＋x r 2－x 2＝r 2－rx －2x 2r 2－x 2＝r －2x r ＋xr 2－x 2.令S ′＝0，得x ＝r 2，h ＝32r .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，r 2时，S ′＞0；当r2＜x ＜r 时，S ′＜0.∴当x ＝r 2时，S 取极大值也是最大值．故当梯形的上底长为r 时，它的面积最大，∴2xr＝1.答案：19．某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解析：(1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2.∴u ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．10．某工厂统计资料显示：产品的次品率b 与日产量x 件(x ∈N,1≤x ≤89)的关系符合下列规律：又知道每一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失a2(a >0)元．(1)将该厂日盈利额表示成日产量x 件的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(3≈1.7) 解析：(1)由b 与x 的对应规律得次品率为b ＝2100－x(x ∈N,1≤x ≤89)．故日产量x 件中，次品数为bx 件，正品数为(x －bx )件，则日盈利额：T ＝a (x －bx )－a2bx＝a (x －3x100－x )(x ∈N ，且1≤x ≤89)．(2)T ′＝a [1－－x ＋3x－x2]＝a [1－300－x2]．令T ′＝0，则100－x ＝103，x ＝100－103， 当1≤x ≤100－103时，T ′>0，函数T 单调递增； 当100－103<x ≤89时，T ′<0，函数T 单调递减． 所以当x ＝100－103≈83时，T 取最大值． 因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．[B 组 能力提升]1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大． 答案：D2．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a解析：如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R，∴y ′＝4πaR －2bV R 2.令y ′＝0，得2R h ＝ba.答案：C3．设一个容积V 固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h ，底面半径为r .已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则h ∶r ＝________时，造价最低． 解析：∵圆柱形铁桶的高为h ，底面半径为r ， ∴设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ， 则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh )．因为V ＝πr 2h ，得h ＝V πr 2，所以y ＝4m πr 2＋2mV r.所以y ′＝8m πr －2mVr2.令y ′＝0，解得r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13，此时h ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13.故当r ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13时，y ′＜0，函数单调递减；当r ＞⎝⎛⎭⎪⎫V 4π13时，y ′＞0，函数单调递增．所以r ＝⎝⎛⎭⎪⎫V 4π13为函数的极小值点，且是最小值点．所以当r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13时，y 有最小值．所以当h ∶r ＝4∶1时，总造价最低． 答案：4∶14.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝23时，f (x )取最大值439. 答案：4395.某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区，已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，且AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2)． 解析：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图所示．依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，且C (4,2)． 因为22＝2·p ·4，所以p ＝12.故曲线段CO 的方程为y 2＝x (0≤x ≤4，y ≥0)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线段OC 上的任意一点， 则|PQ |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2，所以工业园区面积S ＝|PQ |·|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝－y 3－2y 2＋4y ＋8.则S ′＝－3y 2－4y ＋4.令S ′＝0，得y 1＝23，y 2＝－2.又因为0<y <2，所以当y ∈(0，23)时，S ′>0，S 是y 的增函数；当y ∈(23，2)时，S ′<0，S是y 的减函数．所以y ＝23时，S 取到极大值．此时|PQ |＝2＋y ＝83，|PN |＝4－y 2＝329.所以S ＝83×329＝25627≈9.5.又因为y ＝0时，S ＝8；y ＝2时，S ＝0， 所以S max ＝9.5(km 2)． 所以把工业园区规划成长为329km ，宽为83km 的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 km 2.6. 如图所示，有—块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴、上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求S 以x 为自变量的函数表达式，并写出其定义域； (2)求S 的最大值．解析：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点，AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则点C 的横坐标x ，纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，解得y ＝2r 2－x 2(0<x <r )， 故S ＝12(2x ＋2r )×2r 2－x 2＝2(r ＋x )r 2－x 2， 其定义域为{x |0<x <r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0<x <r ， 则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝12r .从而，当0<x <r2时，f ′(x )>0；当r2<x <r 时，f ′(x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2是f (x )的最大值．因此，当x ＝r2时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2＝332r 2， 即梯形面积S 的最大值为332r 2.本文档仅供文库使用。