西充县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

西充县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）
A ．1
B ．±2
C ．或3
D ．1或2
2． 函数
的定义域是（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（1，+∞）
3． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435 4． 已知椭圆
，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
5． 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ． =﹣0.2x+3.3
B ． =0.4x+1.5
C ． =2x ﹣3.2
D ． =﹣2x+8.6
6． 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P （ξ≥1）等于（ ）
A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
7． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
8． 若方程x 2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ）
A ．（2，+∞）
B ．（0，2）
C ．（4，+∞）
D ．（0，4）
9． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
10．已知函数⎩
⎨
⎧≤>=)0(||)
0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有
1
()(2)2
g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零
点的个数为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.
11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=
，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=
，
则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9
12．与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
二、填空题
13．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.
14．（x ﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．
15．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为，则总体的个数为 ．
16．把函数y=sin2x 的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
17．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．
18．函数f （x ）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是 ．
三、解答题
19．已知平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D （2，
0），设点A （1，）． （1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
20．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率
之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
21．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
22．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：
（I）AB∥平面EFG；
（II）平面EFG⊥平面ABC．
23．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．
24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O 为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．
西充县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|． 当1≤x ＜2时，2≤2x ＜4，
则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x ﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x ≤4时， f （x ）=1﹣|x ﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x ≤8时，2＜≤4，
则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c ．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c ）共线，
∴=，
解得c=1或2． 故选D ．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f （x ）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
2． 【答案】A
【解析】解：由题意得：2x ﹣1≥0，即2x ≥1=20
，
因为2＞1，所以指数函数y=2x
为增函数，则x ≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞）
故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．
3． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922
n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性. 4． 【答案】D
【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
5． 【答案】A
【解析】解：变量x 与y 负相关，排除选项B ，C ； 回归直线方程经过样本中心，
把=3， =2.7，代入A 成立，代入D 不成立．
故选：A ．
6． 【答案】A
【解析】解：如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2
），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，
∵P （﹣3≤ξ≤﹣1）
=
∴
∴P （ξ≥1）=
．
【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．
7． 【答案】D
【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k +=k （1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k ﹣1，k ，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k +与2﹣互相垂直，
∴3（k ﹣1）+2k ﹣4=0，解得：k=．
故选：D ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
8． 【答案】C 【解析】解：令f （x ）=x 2
﹣mx+3，
若方程x 2
﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，
则f （1）=1﹣m+3＜0， 解得：m ∈（4，+∞），
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．
9． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则
sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．
10．【答案】D
第
Ⅱ卷（共100分）[．Com]
11．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）
对称，
函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B ．
【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k ∈Z ） 即：k360°+257°，（k ∈Z ）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
二、填空题
13．【答案】或 【解析】
试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数是或． 考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出150a d +=，所以60a =是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．
14．【答案】 ﹣160
【解析】解：由于（x
﹣）6展开式的通项公式为 T r+1
=
•（﹣2）r •x 6﹣2r ，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x
﹣）6
展开式的常数项为﹣
8
=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
15．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15
÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
16．【答案】 y=cosx ．
【解析】解：把函数y=sin2x
的图象向左平移个单位长度，
得
，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；
故答案为：y=cosx ．
17．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3， ∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1， 即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），
由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋1
x
（x ＞0），
∴⎩⎪⎨⎪
⎧a ＋1x 0
＝1
y 0＝x 0
－1y 0
＝ax 0
＋ln x
，解之得x 0
＝1，y 0
＝0，a ＝0. ∴a ＝0. 答案：0
18．【答案】
﹣ ．
【解析】解：∵f（x）=﹣2ax+2a+1，
∴求导数，得f′（x）=a（x﹣1）（x+2）．
①a=0时，f（x）=1，不符合题意；
②若a＞0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数；
③若a＜0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数
因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（﹣2）f（1）＜0，
即（）（）＜0，解之得﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为，
∴a=2，，．
∴该椭圆的标准方程为．
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．
联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，
∴．
∴|BC|==2=．
又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，则．
令f′（k）=0，解得．列表如下：
又由表格可知：当k=时，函数f（x）取得极小值，即取得最大值2，即．
而当x→+∞时，f（x）→0，→1．
综上可得：当k=时，△ABC的面积取得最大值，即．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．
设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，
根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．
（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，
故曲线C1与C2是相交于两个点．
解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
22．【答案】
【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．
所以AB∥EG…
因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG
所以AB∥平面EFG…
（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD
所以AB⊥CD…
又BC⊥CD且AB∩BC=B
所以CD⊥平面ABC…
又E，F分别是AC，AD，的中点
所以CD∥EF
所以EF⊥平面ABC…
又EF⊂平面EFG，
所以平面平面EFG⊥平面ABC．…
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，
则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，
=，，
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即，
所以，
解得k=﹣，
即所求直线l的方程为y=﹣．
（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），
则由（1）得，，
所以线段AB的中垂线方程为，
令y=0，得==，
又由（1）知k＜，且k≠0，得或，
所以，
所以=，
所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，
交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，
令y=1，得所以．
．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．
（Ⅲ）设，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。