几何模型｜对角互补模型之双直角（一）

几何模型｜对角互补模型之双直角（一）
原题重现：
1、如图，D为等腰RT△ABC外一点，若∠ADB=90°，求证：
（1）AD-BD=√2CD；
（2）∠ADC=45°
思路分析：
已知：AC=BC；∠ACB=∠ADB=90°；进一步倒角可得∠CAD=∠CBD；要求线段和差倍分的关系，常见方法为截长补短，又考虑题目等腰直角三角形的特殊性，构造直角三角形也不失为一种好方法。

方法讲解：
法一：截长补短（在AD上取一点E，使AE=BD，连接CE）
①由∠CAD+∠BAD+∠CBA=∠BAD+∠CBA+∠CBD=90°得∠CAD=∠CBD；
②△CAE≌△CBD（ASA）
③∠ACE=∠BCD，CE=CD；
④△CED为等腰直角三角形，得证。

法二：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）
①倒角可得∠CAD=∠CBD，∠ACE=∠BCD；
②△CAE≌△CBD（ASA）
③AE=BD，CE=CD；
④△CED为等腰直角三角形，得证。

法三：四点共圆（对于问题（2））最简单
原题重现：
2、如图，D为等腰RT△ABC外一点，若∠ADC=45°，求证：∠ADB=90°
思路分析：
已知：
AC=BC；∠ACB=90°，∠ADC=45°；
问题的关键是45°角怎么用.
方法讲解：
法一：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）
①△ABC和△DEC均为等腰直角三角形；
②△CAE≌△CBD（ASA）
③∠AEC=∠BDC
法二：四点共圆
原题重现：
3、如图，D为外一点，若∠ADC=45°，∠ADB=90，求证：AC=BC.
方法讲解：
法一：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）
①△DEC为等腰直角三角形；
②倒角得∠ACE=∠BCD，∠AEC=∠BDC=135°；
③△CAE≌△CBD（ASA），得证。

法二：四点共圆
总结归纳：
对于等腰RT△ABC外一点，若这一点与底边构成一个以其为斜边
的直角三角形，有如下结论：
1、当这一点与等腰的顶点同侧
（1）AD-BD=√2CD；
（2）∠ADC=45°
2、当这一点与等腰RT△ABC的顶点异侧
①AD+BD=√2CD；
②CD平分∠ADB.。