求数列通项之取倒法,待定系数法

2023届高考数学复习讲义
5.9由递推公式求数列通项公式——
取到数法、待定系数法（选讲）
1.等比数列通项公式：a n ＝a 1q n -1=a m q n -m （n ≧m ）．
2.等比数列前n 项和公式：
⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 3.等比数列的常用性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；
(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2
k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{a 2n }，{a n ·b n }，⎭
⎫⎩⎨⎧n n b a 仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；
(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n
不一定构成等比数列．
取倒数法：形如a n +1=
B B +
C (A,B,C 为常数),将其变形为1r1=·1+.(1)若A=C ,则{1}是等差数列,且公差为,可直接用公式求通项公式.(2)若A ≠C,则采用待定系数法,构造新数列求解.
待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型
1、若a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0，其中a 1＝a )，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }
2、若a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)，则a n ＋1＋f (n +1)＝q [a n ＋f (n )](其中f (n )可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋f (n )}
3、若a n ＋1＝αa n ＋β×γn (α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γn ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ
，转化为b n ＋1＝kb n ＋βγ(k ≠0,1)的形式，通过构造公比是k 的等比数列⎭
⎫⎩⎨⎧--)1(k b n γβ求解
考向一：取倒数法求通项公式
例1(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n
a n ＋2，则a n ＝________.
(2)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n
a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________.
[解题技法]
若a n +1=B
B +
C (A,B,C 为常数),将其变形为
1r1=·1+.
(1)若A=C ,则{1}是等差数列,且公差为
,可直接用公式求通项公式.(2)若A ≠C,则采用待定系数法,构造新数列求解.
【举一反三】
1、已知函数f (x )＝x
3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________．
2、已知在数列{a n }中，a 1=1,a n =t13t1+1(n ≥2)，则a n ＝__________.
考向二：待定系数法求通项公式
命题点1
a n +1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0，其中a 1＝a )例1(2022·九江模拟)在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＋1＝3a n －4，求数列{a n }的通项公式．
命题点2
a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式．
命题点3
a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求数列{a n }的通项公式．
[解题技法]
(1)形如a n ＋1＝αa n ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．
(2)递推公式a n ＋1＝αa n ＋β的推广式a n ＋1＝αa n ＋β×γn (α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γn ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ
，转化为b n ＋1＝kb n ＋βγ(k ≠0,1)的形式，通过构造公比是k 的等比数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--)1(k b n γβ求解．
【举一反三】
1、(2022·武汉二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为(
)
A ．a n ＝－3×2n －1
B ．a n ＝3×2n －1
C ．a n ＝5n ＋3×2n －1
D ．a n ＝5n －3×2n －12、(2022·衡水质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．
A 组
1、求通项公式a n
（1）a 1＝1，a n ＝a n －1
3a n －1＋1．（2）a 1
＝56，a n ＋1＝13a n ＋1
21
+⎪⎭⎫
⎝⎛n ；
2、已知数列{a n }中,a 1=2,221+=+n
n n a a a (n ∈N*),则数列{a n }的通项公式a n =.
3、若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2
a n
a n ＋2，则数列{a
n }的通项公式a n ＝________．
4、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n
2na n ＋1，则a
n ＝__________.
B 组
5、数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)且a 1＝0，求数列{a n }的通项公式
6、(2022·许昌模拟)数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝4a n ＋6(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式
7、(2022·德州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n
a n ＋2(n ∈N *
)．则数列{a n }的通项公式
8、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式9、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，求数列{a n }的通项公式.
10、已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3
，若c n ＝3n a n ，则c n ＝____________.11、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n －1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．
12、已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式．
13、(2021·福建福州高三5月调研)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2－1a n
，求数列{a n }的通项公式．14、已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2(n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为.
15、(2021·辽宁丹东模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n －1，求数列{a n }的通项公式
16、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n
2＋3a n (n ∈N *),求数列{a n }的通项公式
C 组
17．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1，a 1＝－1，求数列{a n }的前n 项和S n .18、已知数列{a n }满足a 1＝1,4a n ＋1＝3a n －n ＋4，求数列{a n }的通项公式
19、(2021·石家庄模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1，求数列{a n }的通项公式．
方法与技巧。