九年级数学(下)第三章

Goodbye
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法．
3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是 一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题．
●
A
O
C D

连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; (8)半径相等的两个圆是等圆.
C E F O D
A
P
O
B
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， 6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 O ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD A C E 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
思考题
B
O
.
D F
已知：AB是⊙O直径， CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD 求证：EC＝DF
A E C
做一做P89 4
垂径定理

驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
M└
●
O
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 小明发现图中有: ③AM=BM, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④AC=BC, ② CD⊥AB
3.2
圆的轴对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形 它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？

●
O
圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.

巧手折一折
1.将刚才折出的直径记为CD。 2.你能折一条与直径CD垂直的弦吗？ 3.将弦记为AB，将垂足记为M，则有 AB⊥CD于M。 4.你能发现图中有哪些等量关系？ A 请你说说它们相等的理由。
老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
②垂直于弦
④平分弦所对的弧
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为 直径，则下列结论不正确的是（C） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM
A
C
M└
●
D O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
例1
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 CD ， 点o是 CD 的圆 心)，其中CD=600m,E为 CD 上一点， 且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半 径。
●
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A E
O
D B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
C
C
O
D A B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， C D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
.
D
B
M A
. O
B A
O CE
.
C A D B
.O
N
D B
注意:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
巧手再来做一做

在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB 经过点M，并且AM=BM.

你能说说这样找的理由？
M ●O
九年级数学(下)第三章 圆
3.2 圆的对称性(1) -----垂径定理
回顾：
驶向胜利 的彼岸

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒(用 AB 两个字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB B (用三个字母).
C
例3：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为 A 10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
E
G O F
B
D
A
练习3:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
D
E O
C
B
挑战自我
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的 直线或经过圆心的每一条直线。
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对 的两条弧。
C
CD过圆心
CD⊥AB
CD平分弦AB CD平分弧ACB
O
CD平分弧ADB
A B
3、在⊙ O中，若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、
D
弦长a中，任意知道两个量，可根据垂径定理求出 第三个量：
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
试一试P93 13
挑战自我画一画

驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .
C A O F B M E D
N

D
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
试一试P93 14
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 ⌒ AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，

CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
A
C
D O
B
试一试P93 15
挑战自我画一画

驶向胜利 的彼岸
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗?
E
A C
N●O └ M └ F
B D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
挑战自我
1.两弦在圆心的同侧 2.两弦在圆心的两侧 3.一条弦经过圆心 E A A C
●
└
O
●
O D
B
A
●
O
B
B D C
C
D
└
F
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
C M└
●
B
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM，AC=BC，AD=BD
O
D
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦， 且CD⊥AB于M， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
证明：连接OA,OB, 则OA=OB.
C
A
M└
●
∵CD⊥AB于M ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, B ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
议一议 小明和小强为了探究⊙O中有没有最长的弦， 经过了大量的测量，最后得出一致结论，直 径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？ 试说说你的理由.
O
A
B
A
O
B
C
D
C
D
巧手剪一剪

驶向胜利 的彼岸
将圆沿着圆心O对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下。 展开后是一个完整的圆吗？ 这说明了什么？

●
O
A H G D
B
E
· 0
F
C
试一试P93 12
挑战自我填一填

驶向胜利 的彼岸
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （√ ）



⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（

）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒=BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC
D
垂径定理

驶向胜利 的彼岸
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C M└
●
A
B
O
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,

⌒ ⌒⌒ AC =BC,AD
D
⌒ =BD.
条件
①一条直径
③直径平分弦 结论