高考数学大一轮总复习 不等式选讲 第二节 不等式的证

推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有 (a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当向量(a1，a2，a3)与向量 (b1，b2，b3)共线时取“＝”。
[练一练]
基础自测
1．已知 a，b 是不相等的正数，x＝
a＋ 2
b，y＝
的大小关系是__y_≥_x____。
证明
aaab＋b b＝aa－2 bbb－2 a＝aba－2 b，
ab 2
当 a＝b 时，aba－2 b＝1。
当 a>b>0 时，ab>1，a－2 b>0， 则aba－2 b>1。 当 b>a>0 时，0<ab<1，a－2 b<0， 则aba－2 b>1。 综上可知，aabb≥(ab)a＋2 b成立。
证法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0， 所以1＋2x4≥2x3＋x2。 【规律方法】 用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形— 判断—结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解。
变式训练 1 已知 a，b∈(0，＋∞)，证明：aabb≥(ab)a＋2 b。
选修4－5 不等式选讲
第二节 不等式的证明
基础知识 自主学习
热点命题 深度Βιβλιοθήκη 析思想方法 感悟提升最新考纲 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、几何法、反证法、放缩法等；2.会利用不等式的证明方法证明一些简 单的不等式。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．平均值不等式 定理1'对任意实数a，b有a2＋b2≥ _2_a_b_____(上式当且仅当__a_＝__b___
解析 由柯西不等式 ，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，即 5(m2＋ n2)≥25，
∴m2＋n2≥5，当且仅当 an＝bm 时，取等号。 ∴ m2＋n2的最小值为 5。
5．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2。 证明 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)。 因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0。 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0。 故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立。
，b＝ 2
1 6＋
， 5
c＝
1 7＋
，∴a>b>c。 6
3．已知关于 x 的不等式 x＋x－4 a≥3，在 x∈(a，＋∞)上恒成立，则实 数 a 的最小值为____－__1__。
解析 ∵x＋x－4 a＝x－a＋x－4 a＋a≥2 4＋a＝4＋a，∴a＋4≥3，∴a≥
－1。
4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 m2＋n2的最小 值为___5_____。
R 热点命题 深度剖析
考点一 用比较法证明不等式
【例1】 求证：当x∈R时 ,1＋2x4≥2x3＋x2。 【证明】 证法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1) ＝(x－1)(2x3－x－1) ＝(x－1)(2x3－2x＋x－1) ＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)] ＝(x－1)2(2x2＋2x＋1) ＝(x－1)22x＋122＋21≥0， 所以 1＋2x4≥2x3＋x2。
考点二 用综合法与分析法证明不等式
【例 2】 设 a，b，c>0，且 ab＋bc＋ca＝1。 求证：(1)a＋b＋c≥ 3；
【证明】 要证 a＋b＋c≥ 3， 由于 a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3。 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而 ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)。 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。 而这可以由 ab＋bc＋ca≤a2＋2 b2＋b2＋2 c2＋c2＋2 a2＝a2＋b2＋c2(当且仅 当 a＝b＝c 时取等号)证得。 ∴原不等式成立。
(3)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出 了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为 综合法。 (4)放缩法： 通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或 减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法。 (5)反证法： 通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立，其证 明的步骤是： ①作出否定结论的假设；②进行推理导出矛盾；③否定假设肯定结 论。
3．柯西不等式
定理1'对任意实数a，b，c，d，有
(a2＋b2)(c2＋d2)≥__(_a_c＋__b_d_)2__， 当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，取等号。
定 理 2' 设 a1 ， a2 ， … ， an 与 b1 ， b2 ， … ， bn 是 两 组 实 数 ， 则 有 (a ＋ a ＋…a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…an)与向 量(b1，b2，…，bn)共线时取“＝”。
时，取“＝”号)。
a＋b
定理2'对任意两个正数a，b，有______2_______≥ ab
仅当___a_＝__b__时取“＝”号)。
(此式当且
定理3'对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥ _____3_a_b_c(此式当且仅
当a＝b＝c时取“＝”号)。
a＋b＋c
定理4'对任意三个正数a，b，c，有≥___3______
3
abc
(此式当且
仅当___a_＝__b_＝__c___时取“＝”号)。
2．不等式的证明 (1)比较法： a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此证明 a>b，只要证明 a－b>0 即可， 这种方法称为求差比较法。 a>b>0⇔ab>1 且 a>0，b>0。因此当 a>0，b>0 时要证明 a>b，只要证明ba >1 即可，这种方法称为求商比较法。 求差比较法与求商比较法统称为比较法。 (2)分析法： 从所要证明的结论入手向已知条件反推，直至达到已知条件为止，这 种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法。
解析 ∵x2＝41( a＋ b)2＝41(a＋b＋2 ab) y2＝12(a＋b)＝14(a＋b＋a＋b) ≥14(a＋b＋2 ab)
a＋2 b。则 x，y
2．设 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大小关系
为__a_>_b_>_c__。
解析
分子有理化得 a＝
1 3＋