高考数学一轮复习课时过关检测(四十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时过关检测（四十七） 直线与圆、圆与圆的位置关系
A 级——基础达标
1．(2021·长春质量监测)已知直线x ＋y ＝0与圆(x －1)2＋(y －b )2＝2相切，则b ＝( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1
D ．5
2
解析：选C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b )，半径为
2.由直线与圆相切，得
|1＋b|12＋12
＝2，解得b ＝－3或b ＝1，故选C ．
2．若直线：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则k ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2
D ．－2
解析：选A 由x 2＋y 2－2x －3＝0，得(x －1)2＋y 2＝4.易知直线y ＝kx ＋1恒过定点A (0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A 点的连线与直线y ＝kx ＋1垂直，所以k ·0－1
1－0＝－1，即k ＝1.故
选A ．
3．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2my ＋m 2－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不能确定
解析：选A 由已知得C ：(x －1)2＋(y －m )2＝4，即圆心C (1，m )，半径r ＝2，因为圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以圆心(1，m )在直线l ：x －y ＋1＝0上，所以m ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知，直线x ＝－1与圆C 相切．故选A ．
4．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，圆O 2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则圆O 2的方程为( )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝6
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝22
C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32
解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1到直线AB 的距离d ＝|r2－14|
42，由d 2＋22＝
6，得错误!＝2，所以r 2－14＝±8，r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.
5．(2021·昆明市三诊一模)已知P 是函数f (x )＝x 2图象上的一点，过P 作圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )
A ．－3
28
B ．22－3
C ．0
D ．32
解析：选A 圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0可化为x 2＋(y －2)2＝1.设点P (x ，y )，则y ＝x 2.设圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0的圆心为C ，则C (0,2)，如图，连接PC ，AC ，则|PA |2＝|PC |2－1＝y ＋y 2－4y ＋4－1＝y 2－3y ＋3.设∠CPA ＝∠CPB ＝θ，则∠APB ＝2θ.sin 2θ＝
1
|PC|2＝
1
y2－3y ＋4，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝
y2－3y ＋2
y2－3y ＋4
.设t
＝y 2－3y ＋4＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＋74≥74
，则PA ―→·PB ―→＝|PA ―→|2cos 2θ＝(t －1)·t －2t ＝t ＋2t －3.由对勾函数的性质
知，函数y ＝t ＋2t －3在⎝ ⎛⎭
⎪⎫74，＋∞上单调递增，所以PA ―→·PB ―→
的最小值为74＋274
－3＝－328，故选A ．
6．(多选)(2021·山东泰安模拟) 已知圆M ：(x ＋cos θ)2＋(y －sin θ)2＝1, 直线l ：y ＝kx . 则下列选项中正确的是( )
A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点
B ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切
C ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切
D ．存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3
解析：选AC 圆M ：(x ＋cos θ)2＋(y －sin θ)2＝1恒过原点O (0,0)，所以A 正确；圆心M (－
cos θ，sin θ)到直线l 的距离为d ，d ＝|kcos θ＋sin θ|
1＋k2＝|sin(θ＋φ)|≤1，∴对于任意实数k ，直线l
与圆相交或相切，所以选项C 正确，选项B 不正确；圆上的点到直线l 距离最大值为d ＋1≤2，所以选项D 不正确．故选A 、C ．
7．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为______________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25
的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－1
1－0
2－1
＝－1，由点斜式
得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.
答案：x ＋y －3＝0
8．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．
解析：由(x －2)2＋y 2＝4，得y 2＝4x －x 2≥0，得0≤x ≤4，所以3x 2＋4y 2＝3x 2＋4(4x －x 2)＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64(0≤x ≤4)，所以当x ＝4时，3x 2＋4y 2取得最大值48.
答案：48
9．(2021·吉林三调)已知两圆相交于两点A (a,3)，B (－1,1)，若两圆圆心都在直线x ＋y ＋b ＝0上，则a ＋b 的值是________．
解析：由题意可知，直线x ＋y ＋b ＝0是线段AB 的垂直平分线，又直线x ＋y ＋b ＝0的斜率为－1，则k AB ＝1，即
3－1a ＋1
＝1，解得a ＝1，∴线段AB 的中点为(0,2)．又(0,2)在直线x ＋y ＋b ＝0
上，∴0＋2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.
答案：－1
10．(2021·郑州模拟)过动点M 作圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，N 为切点．若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值为________．
解析：设M (x ，y )，因为|MN |＝|MO |，所以(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，整理得4x ＋4y －7＝0，即动点M 在直线4x ＋4y －7＝0上，所以|MN |的最小值就是|MO |的最小值，为742＋42
＝
72
8.
答案：
728
11．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2
2时，求直线l 的方程．
解：(1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有
|4＋2a|
1＋a2
＝2，解得a ＝－3
4.
(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝
⎛⎭
⎪⎫
|AB|22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2， 则有d ＝
|4＋2a|1＋a2
＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.
12．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→
＝(2－x,2－y )．
由题设知CM ―→·MP ―→
＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，
2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段
PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，
故l 的方程为x ＋3y －8＝0. 又|OM |＝|OP |＝2
2，O 到l 的距离为
4
105
，
所以|PM |＝
4
105，S △POM ＝12×4105×4105＝16
5
，
故△POM 的面积为16
5.
B 级——综合应用
13．(2021·武汉调研)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )
A ．3
B ．4
C ．2
3
D ．8
解析：选B 如图，连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C ．在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55
，∴在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝2
5×
55＝2，∴
|AB |＝2|AC |＝4.故选B.
14．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )
A ．(
2＋1，＋∞) B ．(
2－1，
2＋1)
C ．(0，2－1)
D ．(0，2＋1)
解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为
22＝
2＞1，如图，直线l ：
x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离
2＋1.
15．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点
N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C (a,0)⎝
⎛⎭⎪⎫
a ＞－52.
则|4a ＋10|
5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍去)．
所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由错误!得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k2
k2＋1，x 1x 2＝k2－4
k2＋1.
若x 轴平分∠ANB ，
则k AN ＝－k BN ，即y1x1－t ＋y2
x2－t ＝0，
则错误!＋错误!＝0，
即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0， 亦即错误!－错误!＋2t ＝0，解得t ＝4，
所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立，即x 轴平分∠ANB .
C 级——迁移创新
16．(2021·山东东营一中月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1,3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )
A ．1
B ．2
C ．2
D ．2
2
解析：选D 因为在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线三线合一，则△ABC 的“欧拉线”为边BC 的垂直平分线，因为点B (－1,3)，点C (4，－2)，所以BC 的中
点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12，因为直线BC 的斜率为3＋2－1－4＝－1，所以BC 的垂直平分线的斜率为1，所以BC 的
垂直平分线方程为y －12＝x －3
2，即x －y －1＝0，因为“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，所以
可得圆心(3,0)到“欧拉线”的距离d ＝|3－0－1|
2
＝
2＝r ，所以该圆的直径为2
2.故选D.。