【优化方案】高考数学一轮复习 10

课前热身
1．有 100 张卡片(从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，取到
卡号是 7 的倍数的概率为( )
A.570
B.1700
C.478
D.230
答案：ABiblioteka 2．(2011·高考课标全国卷)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学
各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相
同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
根据古典概型概率的计算公式得 P(A)＝14802＝2901.
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ ＝3)－P(ξ＝4)，若 ξ＝3，则选出的 4 人中，可以含有女教师 乙，这时取法为 C23C15种，也可以不含女教师乙，这时有 C33C16 种，故 P(ξ＝3)＝C23C511＋82C33C16＝12812＝236； 若 ξ＝4，则选出的 4 名教师全是女教师，必含有乙，有 C44种 方法，故 P(ξ＝4)＝1C8442＝1182，于是 P(ξ≤2)＝1－12812－1182＝
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是__互__斥__的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本__事__件___的和.
思考探究 在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗？ 提示：不一定等可能．如试验一粒种子是否发芽，其 发芽和不发芽的可能性是不相等的．
3 ． 概 率 的 一 般 加 法 公 式 ： P(A ＋ B) ＝ P(A) ＋ P(B) － P(AB)．公式使用中要注意： (1)公式的作用是求A＋B的概率，当AB＝∅时，A、B互斥， 此时P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)； (2)要计算P(A＋B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事 件A、B，并求其概率； (3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
第5课时 古典概型
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考纲展示
备考指南
1.理解古典概型及其概率 计算公式． 2.会计算一些随机事件所 含的基本事件数及事件 发生的概率.
1.古典概型的概率是高 考考查的重点，通常要
结合互斥事件、对立事 件求概率. 2.各种题型均有可能出 现，属中、低档题.
本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B， D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D， F)，(E，F)，共 15 种． 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A，C)， (B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 6 种． 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为165＝25.
性 4 名，现在要从中抽调 4 名特级教师担任青年教师培训班的 指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时 被抽调． (1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、2 名女教师的概率； (2)若抽到的女教师的人数为 ξ，求 P(ξ≤2)．
【解】 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分 以下两种情况： ①若甲和乙都不被抽调，有 C48种方法； ②若甲和乙中只有一人被抽调，有 C12C38种方法，故从 10 名教 师中抽调 4 人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为 C48＋C12C38 ＝70＋112＝182.
【解】 (1)甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C 表 示；乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、F 表示． 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为： (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C， D)，(C，E)，(C，F)，共 9 种． 从中选出的 2 名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C， E)，(C，F)，共 4 种． 所以选出的 2 名教师性别相同的概率为49.
116802＝8901.
【题后感悟】 (1)本题属于求较复杂事件的概率问题，解题 关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型.必 要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对 立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事 件的概率公式求解． (2)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保 证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求, 或都按组合数求．
【规律小结】 求古典概型概率的步骤： (1)读题，理解题意； (2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； (3)分别求出基本事件总数 n 与所求事件 A 所包含的基本事件 的个数 m； (4)利用公式 P(A)＝mn 求出事件 A 的概率．
跟踪训练 1．(2013·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n， 令平面向量 a＝(m，n)，b＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率； (3)求使得事件“直线 y＝mn x 与圆(x－3)2＋y2＝1 相交”发生的 概率．
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规范解答
古典概型的解答题
例 (本题满分12分)(2012·高考山东卷)袋中有五张卡片, 其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标 号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且 标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中 任取两张.求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
2
1
A.3
B.4
C.25
D.15
解析：选 C.因为袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，因此概率为25.
4．在集合{x|x＝n6π，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，则 所取元素恰好满足方程 cos x＝12的概率是________． 解析：基本事件总数为 10，满足方程 cos x＝12的基本事件数为 2，故所求概率为 P＝120＝15.
A.13
B.12
2
3
C.3
D.4
解析：选 A.甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 3×3
＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有 3 种．故
甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 P＝39＝13.
3．一个口袋装有 2 个白球和 3 个黑球，从中摸出一球，则摸 出的球是白球的概率是( )
解：(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，
n)所有可能的取法共 36 种．
使得 a⊥b，即 m－3n＝0，即 m＝3n，共有 2 种：(3,1)、(6,2)，
所以事件
a⊥b
的概率为326＝
1 18.
(2)|a|≤|b|，即 m2＋n2≤10，
共有 6 种取法：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)，使得|a|≤|b|，
与 D 是对立事件， 因为 P(D)＝C14CC2382C16＝37，
所以 P(C)＝1－P(D)＝1－37＝47.
方法感悟
1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后 再求出事件 A 中的基本事件，利用公式 P(A)＝mn 求出事件 A 的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照 某一顺序做到不重复、不遗漏． 2．事件 A 的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m.因此必须解决以下三个方面 的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基 本事件有多少个；第三，事件 A 是什么，它包含的基本事件 有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
(1)记“抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且恰有 2 名男教师， 2 名女教师”为事件 A，因为含有女教师丙，所以再从女教师 中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取， 抽调方法数是 C25；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽 取方法有 C12种，男教师的抽取方法有 C26种，抽调的方法数是 C12C26.故随机事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名 教师中恰有 2 名男教师、2 名女教师”含有的基本事件的个数 是 C25＋C12C26＝40.
跟踪训练 2．盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张，从盒中任取3张， 每张卡片被抽出的可能性都相等，求： (1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (2)抽出的3张卡片中有2张卡片上的数字是3的概率； (3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
解：(1)“抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A， 由题意得，P(A)＝C12C62C＋38C22C16＝194. (2)“抽出的 3 张卡片中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B，则 P(B)＝CC22C38 61＝238. (3)“抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C，“抽 出的 3 张卡片上有两个数字相同”的事件记为 D，由题意，C
考点探究讲练互动
考点突破
考点1 简单古典概型的概率 例1 (2011·高考山东卷)甲、乙两校各有3名教师报名支教，
其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的 结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并 求选出的2名教师来自同一学校的概率．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典
概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有_有__限__个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相___等___．
3．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数
P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数________.
其概率为366＝16.
(3)由直线与圆的位置关系得，d＝ |3m| <1， m2＋－n2
即mn < 42，共有 5 种：13，14，15，16，26，所以直线 y＝mn x 与圆(x －3)2＋y2＝1 相交的概率为356.
考点 2 复杂古典概型的概率 例2 某省实验中学共有特级教师 10 名，其中男性 6 名，女
答案：15
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/102022/1/102022/1/102022/1/10
目录
5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这 些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球, 则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是 ________．
解析：取 2 个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 种，其中标 注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)， 共 4 种，故所求的概率为140＝25. 答案：25
【解】 (1)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A，B，C，
标号为 1,2 的两张蓝色卡片分别记为 D，E，从五张卡片中任
取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，