高三数学一轮复习 第二章 第4讲 函数的单调性与最值课件 理 新人教A版

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(2)y＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94. ∴值域是－∞，94. (3)由 y＝3xx22＋－21可知，x∈R 且(3－y)x2＝2y＋1， 当 y＝3 时，显然不成立． ∴y≠3，得：x2＝23y－＋y1.∵x2≥0，∴23y－＋y1≥0. 解得：－12≤y＜3.∴函数值域为 y∈－12，3.
f(x)≤f(x0)
任意 x∈A，有____________恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大
值；如果存在(cúnzài)定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有___________恒
f(x)≥f(x0)
成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值．
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1．函数(hánshù) y＝x2－6x 的减区间D是)(
则a＝________.
－6
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考点1 利用(lìyòng)定义判断函数的单调性
：已知函数(hánshù)f(x)＝x2＋—(xax≠0，a∈R)．
(1)判断(pànduàn)函数 f(x)的奇偶性；
(2)若 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数 a 的取值范围．
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A．[－4,1]
B．[0,5]
C．[－4,1]∪[0,5]
D．[－2,3]
4．若函数(hánshù)f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数(hánshù)，
单调(dāndiào)减区间[0，是＋__∞_)___________．
5．(2012年安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，
第4讲 函数(hánshù)的单调性与最值
考纲要求
考纲研读
利用函数单调性、图象等方法求
1.会求一些简单函数的值域． 一些简单函数的值域或最值；或
2．理解函数的单调性、最大值、 以最值为载体求参数的范围，并
最小值及其几何意义.
能解决实际生活中的一些优化
问题.
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1．函数的单调(dāndiào)性的定义
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间 I 内
的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有__________，那么f(就x1说)<yf(x2)
单调(dāndiào)增区间
＝f(x)在区间 I 上是单调(dāndiào)增函数，I 称为 y＝f(x)的______________；
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方法二：任取 x1，x2，且 x1＜x2， ∵f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2＋x42＝x1－x2x1xx21x2－4， ∴当 x≤－2 或 x≥2 时，f(x)递增． 当－2＜x＜0 或 0＜x＜2 时，f(x)递减． 故 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4； x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4. ∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
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【互动探究】
3．求下列(xiàliè)函数的值域： (1)y＝35x－＋42x； (2)y＝－x2＋x＋2； (3)y＝3xx22＋－21. 解：(1)y＝35x－＋42x＝14×152－x＋4x8 ＝14×34x5－－54x＋23＝－34＋452－34x. ∴值域为yy≠－34 .
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(1)利用增、减函数定义证明或判断函数的单调 性，其步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判 符号→定结论．
(2)本题还可以利用导数求解：f′(x)＝2x－xa2，要使 f(x)在区 间[2，＋∞)是增函数，只需当 x≥2 时，f′(x)≥0 恒成立，即 2x －xa2≥0，则 a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当 a≤16 时，f(x)在区 间[2，＋∞)是增函数．
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(4)方法一：函数 y＝x＋4x是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故其 图象关于原点对称，故只讨论 x＞0 时的最值，即可知 x＜0 时的 最值．
当 x＞0 时，y＝x＋4x≥2 x·4x＝4， 等号当且仅当 x＝2 时取得． 当 x＜0 时，y≤－4，等号当且仅当 x＝－2 时取得． 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
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常用的求值域的方法有： ①代入法：适用于定义域为有限集的函数． ②分离系数法：若函数y＝f(x)解析式中含有|x|，x2， x ， sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些元素的有界性 解出y的范围． ③配方法：适用于二次函数类的函数． ④反函数法：适用于形如y＝acxx＋＋db类的分式函数． ⑤判别式法：适用于形如y＝maxx22＋＋bnxx＋＋cp类的函数． ⑥换元法：主要处理一些根式类的函数． ⑦不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最 值． ⑧最值法：通过导数法求出最值．
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【互动(hù dònɡ)探究】
1．试用(shìyòng)函数单调性的定义判断函数 f(x)＝
2x x－1
在区间(qū
jiān)(0,
解：任取
的单调性．
x1，x2∈(0,1)，且
x1<x2.
则 f(x1)－f(x2)＝x12－x11－x22－x21＝x12－x12－xx2－1 1.
在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，
观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方
程，用判别式可求值域，也可把函数(hánshù)解析式化成A＋
B x２－x＋1
(A，
B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数(hánshù)化为有理 或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别式求函数(hánshù)的值
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1．在研究函数的单调性时，对单调区间(qū jiān)的表述要准确．如函
数
f(x)
＝
1 x
的
单
调
减
区
间
为
－∞，0
和
0，＋∞
，
而
不
能
表
述
为
－∞，0∪0，＋∞.
2．并不是所有的函数(hánshù)都有最值，有的函数(hánshù)只有最大值而无最
函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围． 解题思路：本题可用分离(fēnlí)参数的方法结合不等式恒成立问题
求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区 间的子区间的关系求解．
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解析：函数(hánshù)f(x)的导数为f′(x)＝x2－ax＋a－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1. 当 a － 1≤1 即 a≤2 时 ， 函 数 (hánshù)f(x) 在 (1 ， ＋ ∞ ) 上 为 增 函 数 (hánshù)，不合题意． 当a－1＞1，即a＞2时，函数(hánshù)f(x)在(－∞，1)上为增函数 (hánshù)，在(1，a－1)内为减函数(hánshù)，在(a－1，＋∞)上为增函 数(hánshù)． 依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0. 当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7， 所以a的取值范围是[5,7]．
如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1<x2 时，都有________，
在区间 I 上 是单调(dāndiào)减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的
_单__调__减__区__间___．
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2．用导数的语言(yǔyán)来描述函数的单调性
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(3)方法一：y＝x2x－2－x＋x 1＝1－x2－1x＋1. ∵x2－x＋1＝x－122＋34，∴－13≤1－x2－1x＋1<1，即－13≤y<1. 故值域为－13，1. 方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0. 易知 y≠1，故上式可看作是关于 x 的二次方程． ∵x∈R，∴方程有实根．∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0. 解得－13≤y≤1.又 y≠1，故值域为－13，1.
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0 时，f(x)既不是(bù shi)奇函数也不是(bù shi)偶函数．
(2)设 x2>x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x12＋xa1－x22－xa2 ＝x1x－1x2x2[x1x2(x1＋x2)－a]， 由 x2>x1≥2 得 x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数只需 f(x1)－f(x2)<0， 即 x1x2(x1＋x2)－a>0 恒成立，则 a≤16.
由于 0<x1<x2<1，x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，
故 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
所以，函数 f(x)＝x－2x1在(0,1)上是减函数．
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考点2 利用导数(dǎo shù)判断函数的单调性 例 2：若函数 f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)内为减
设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上___________，那么 f(xf)′为(x)>0 f′(x)<0
区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上____________，那么 f(x)为
区间(qū jiān) I 上的减函数．
3．函数的最大(小)值
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在(cúnzài)定值 x0∈A，使得对于
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2010 年天津)设函数 f(x)＝x－1x，对任意 x∈[1，＋∞)，f(mx) ＋mf(x)<0 恒成立，则实数(shìshù) m 的取值范围是_m_<__－__1___.
解析：已知 f(x)为增函数且 m≠0，所以 2mx2＜1＋mm2.显然 m>0 时不符合题意．则 m<0，即有 1＋m12<2x2.因为 y＝2x2 在 x∈[1， ＋∞)上的最小值为 2，所以 1＋m12＜2，即 m2>1，解得 m<－1.
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考点(kǎo diǎn)3 函数的最值与值域 例3：求下列函数的值域：
(1)y＝3xx－＋22； (2)y＝－x2－2x＋3 (－5≤x≤－2)； (3)y＝x2x－2－x＋x 1； (4)y＝x＋4x.
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解题(jiě tí)思路：关于 x 的一次分式函数，可通过求关于 x 的方程
知函数(hánshù)u 在(2,4)上是减函数(hánshù)，根据复合函数(hánshù)的单调性知函数(hánshù)f(x)
＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选C.
【失误与防范】易忽略 x 需满足4x－x2＞0 这个条件．
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求函数值域的常用(chánɡ yònɡ)方法有：配方法、分离变量法、单调性法、 图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域， 都必须考虑函数的定义域．
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解析：(1)方法一：y＝3xx－＋22＝3x－x－62＋8＝3＋x－8 2， 由于x－8 2≠0，∴y≠3. ∴函数 y＝3xx－＋22的值域是{y|y∈R 且 y≠3}． 方法二：由 y＝3xx－＋22，得 x＝2yy－＋31.∴y≠3. (2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]， ∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)． ∴当 x＝－5 时，ymin＝－12.当 x＝－2 时，ymax＝3. ∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
A．(－∞，2]
C．[3，＋∞)
B．[2，＋∞)
D．(－∞，3]
2．函数(hánshù) y＝(2k＋1)x＋b 在实数集上是增函数A(há)nshù)，则
A．k>－
1
2
B．k<－ 1
2
C．b>0
D．b>0
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3．已知函数(hánshù) f(x)的值域是[－2,3]，则函数(hánshù) f(x－D 2) )的
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易错、易混、易漏
6．求函数的单调区间时没有(méi yǒu)考虑定义域
log2(4例x－题：x2(2)0的10单年调广东(d珠ān海d北ià大o)希递望减之星区实间验是学C校( ))函数 f(x)＝
A．(0,4) B．(0,2)
C．(2,4) D．(2，＋∞)
正解：由4x－x2>0 得0<x<4，又由u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4