九年级数学上册 压轴解答题练习(Word版 含答案)

九年级数学上册 压轴解答题练习（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．
2．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 3．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
4．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使3
2
DF CD =
，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
5．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；
()1求点C 的坐标；
()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；
()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一
∠=？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
时刻，使EMF90
6．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．
∠，交⊙O于点E，过点7．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分BAF
⊥，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.
E作直线ED AF
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
8．如图1,已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为(−3，3),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0<t<3．．．．．) ①是否存在这样的t ，使7FB?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②连接FC,以点F 为旋转中心,将△FEC 按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x ．轴与．．抛物线在．．．．x ．轴上方的部分围成的图形中．．．．．．．．．．．．(．包括边界．．．．)．时,求t 的取值范围.(直接写出答案即可) 9．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线2
12
y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）
10．如图，抛物线2
)1
2
(0y ax x c a =-
+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1
22
y x =
-经过点,B C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是
t ．
①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；
②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．
11．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝
4
5
，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题： （1）当CP⊥OA 时，求t 的值；
（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；
（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．
12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，
DE
DC
等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE
DC
的值； （3）如图③，若DE CF =，求
DE
DC
的值.
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一、压轴题
1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】
（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=
1
2
∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】
（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F
∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502
BEF
EBF BFE -∠∠=∠=
= ，即50BFD ∠=
∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥
∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，100
5022
BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB
（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=
1
2
∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠
∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M
∵8090BEF ∠=<
∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小
此时AF1=AB=AC=4，即AF的最小值为4．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．
2．（1）见详解；（2）125；（3）①见详解，②32-6
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1
2•BD•AM+
1 2•BD•CM=
1
2
•BD•AC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；
（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．
∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，∴a2+（3a）2=（25）2，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=62，
在Rt△AOC中，AC=2AO=210，
∴S四边形ABCD=1
2
•BD•AM+
1
2
•BD•CM=
1
2
•BD•AC=
1
2
×210×62=125；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=1
2
∠EOF=
1
2
（∠EAC+∠ACO）=
1
2
×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∴AC⊥BD，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴2BM，2DM，CM=DM，
∴AB•CD+BC 2=2BM•2DM+BM 2+CM 2=（BM+DM ）2=BD 2； ②如图3中，连接OB ，设DM=CM=x ， ∵∠BOC=2∠BDC=90°， ∴BC=2OB=26，
∵AB•CD +BC 2=BD 2，AB•CD=AO 2=12， ∴12+24=BD 2，
∴BD=6（负根已经舍弃）， 在Rt △BCM 中，∵BC 2=BM 2+CM 2， ∴（26）2=（6-x ）2+x 2， ∴x=3-3或3+3（舍弃）， ∴CD=2x=32-6． 【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 3．(1)证明见解析；(2)213；(3) 2330
a 【解析】 【分析】
(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明； (2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到
AF BG
EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知
AF BG
EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积． 【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=11322BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==，
∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ，
∴
AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2， ∴BE=23
BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5，
在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知
AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a =
=⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=
211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ，
∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+，
∵2AG a ==
，
∴25BF ==， ∴△OFB
的面积＝
211223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
4．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【解析】
【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12
AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32
QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △
中，5BQ x =
= ∵OD m ⊥，m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ = ∴122
AH BH AB x ===
∴2CD x =
∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x == ∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形
∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．
（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =
①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x =
∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23
x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【点睛】 本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
5．（1）(C 8,43；（2）t=18s ；（3）t 1513=
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．
（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．
（3）设M （﹣5+t ，3），EF 12
=
AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．
∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，
∠CAB=30°，∴BC
1
2
=AB=8，CH=BC•sin60°=43，BH=BC•cos60°=4，∴OH=8，∴C
（8，43）．
（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．
∵MN=MH3MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BH3
==9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．
（3）∵C（8，3B（4，0），A（20，0）．
∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，3），F（14，3），设M（﹣5+t，3），
EF
1
2
=AB=8．
∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+32+（14+5﹣t）2+32=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=1513
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
6．（1）见解析；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，见解析；（3）AH3﹣13+1．
【解析】
【分析】
（1）在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，证明△FAG≌△FBC，根据全等三角形的性质得到FG＝FC，根据等腰三角形的性质得到EG＝EC，即可证明.
（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.
（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】
解：（1）如图2，
在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，FA＝FB，
在△FAG和△FBC中，
,
FA FB
FAG FBC
AG BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FAG≌△FBC（SAS），
∴FG＝FC，
∵FE⊥AC，
∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；
（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，
理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，
∴FA＝FB，FA FB
=,
∴∠FCG＝∠FCB，
在△FCG和△FCB中，
,
CG CB
FCG FCB
FC FC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FCG≌△FCB（SAS），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴
1
223
2
BC AB AC
===
，，
当点P在弦AB上方时，如图4，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，
在△PCG和△PCB中，
,
CG CB
PCG PCB
PC PC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PCG≌△PCB（SAS），
∴PG＝PB，
∴PA＝PG，
∵PH⊥AC，
∴AH＝GH，
∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，
∴2322
AH
=+，
∴
31AH =-，
当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴∠APB ＝90°，
∵∠PAB ＝45°，
∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，
∴PA ＝PB ，
在△PAG 和△PBC 中，
,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAG ≌△PBC （SAS ），
∴PG ＝PC ，
∵PH ⊥AC ，
∴CH ＝GH ，
∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ，
∴2322CH ，
=+ ∴31CH =-，
∴()
233131AH AC CH =-=--=+， 即：当∠PAB ＝45°时，AH 的长为31- 或3 1.+
【点睛】
考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
7．（1）详见解析；（2）5【解析】
【分析】
（1）通过证明OE ∥AD 得出结论OE ⊥CD ，从而证明CD 是⊙0的切线；
（2）在Rt △ADE 中，求出AD ，DE ，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AE 平分∠DAC ，
∴∠CAE ＝∠DAE ．
∵OA ＝OE ，
∴∠OEA ＝∠OAE ．
∴∠DAE ＝∠AEO ，．
∴AD ∥OE ．
∵AD ⊥CD ，
∴OE ⊥CD ．
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）解：连接BF 交OE 于K ．
∵AB 是直径，
∴∠AFB ＝90°，
∵AB ＝10，AF ＝6，
∴BF 22106-8，
∵OE ∥AD ，
∴∠OKB ＝∠AFB ＝90°，
∴OE ⊥BF ，
∴FK ＝BK ＝4，
∵OA ＝OB ，KF ＝KB ，
∴OK ＝12
AF ＝3， ∴EK ＝OE ﹣OK ＝2，
∵∠D ＝∠DFK ＝∠FKE ＝90°，
∴四边形DFKE 是矩形，
∴DE ＝KF ＝4，DF ＝EK ＝2，
∴AD ＝AF+DF ＝8，
在Rt △ADE 中，AE 22AD DE +2284+45． 【点睛】
本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
8．（1）y=−x 2+3；（2）①2或5 63⩽t ⩽62
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）①由D（−3，3），则平移后坐标为D´（−3+t，3），F（t，-t2+3）；则有DF2=（−3+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2，再根据DF=7FB，即可求得t；
②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出的取值范围，确定限制条件是解题的关键
【详解】
(1)由题意得AB的中点坐标为(−3，0),CD的中点坐标为(0，3)，
分别代入y=ax2+b得：
3a b0
b3
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
a1
b3
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y=−x2+3.
（2）①D（−3，3），则平移后坐标为D´（−3+t，3），F（t，-t2+3）；
DF2=（−3+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2
DF=7FB，则（−3+t-t）2+（-t2+3-3）2=7（-t2+3）2
解得：t2=2或5，则t=2或t=5；
②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N.
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足：EE′⩽BE且MN⩾C′N.
∵F(t,3−t2),∴EF=3−(3−t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2，
由EE′⩽BE,得2t2⩽3,解得t⩽
6 2
.
∵3∴C′点的横坐标为3
∴3)2,又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2
由MN⩾C′N,得32⩾3−2t2,解得t63或t⩽63舍去).
∴t 的取值范围为：6
−3⩽t ⩽
62
. 【点睛】 本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
.
9．（1）21322y x x =-
++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-
）． 【解析】
【分析】
（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；
（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-
++经过B 、D 两点， 点D 为（2-，52
-），点B 为（3，0），
则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩
，
解得：
1
3
2 b
c
=⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴抛物线的解析式为2
13
22
y x x
=-++；
（2）∵22
131
(1)2
222
y x x x
=-++=--+，
∴点M的坐标为（1，2）
令2
13
22
x x
-++=，
解得：11
x=-，
2
3
x=，
∴点A为（1
-，0）；
令0
x=，则
3
2
y=，
∴点C为（0，
3
2
）；
∴OA=1，OC=
3
2
，
过点M作ME⊥AB于点E，如图：
∴2
ME=，1
OE=，2
BE=，
∴
111
()
222
ABMC
S OA OC OC ME OE BE ME
=•++•+•
四边形
，
∴
13131379
1(2)1222
22222442 ABMC
S=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=
四边形
；（3）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），
∵点P在抛物线上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：
①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；
由平行四边形的性质，
∴点E 为AB 和11PQ 的中点，
∵E 为（1，0），
∵点Q 1为（0，y ），
∴点P 1的横坐标为2；
当2x =时，代入21
3
22y x x =-++， ∴3
2y =，
∴点13
(2,)2P ；
②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，
∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），
∴BQ 2中点的横坐标为3
2，
∵点A 为（1-，0），
∴点P 2的横坐标为4，
当4x =时，代入21322y x x =-
++， ∴52
y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52
-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；
∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），
∴AQ 3的中点的横坐标为12-
， ∵点B （3，0），
∴点P 3的横坐标为4-，
当4x =-时，代入21322y x x =-
++， ∴212
y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212
-）； 综合上述，点P 的坐标为：3
(2,)2或（4，52-
）或（4-，212-）． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．
10．（1）211242y x x =--；（2）①P (2，−2)或(-6，10)，②1122
y x =-或324y x t =-+-或4412424
t t y x t t --=+-++ 【解析】
【分析】
（1）利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ，C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑： （i ）当∠MPC=90°时，PC //x 轴，利用二次函数可求出点P 的坐标；
（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，易证△BOC ∽△COD ，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式，通过解方程组可求出点P 的坐标； ②在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线，分开求解三条中位线方程即可求解．
【详解】 解：（1
）因为直线交抛物线于B 、C 两点，
∴当x =0时，y =12
x −2=−2， ∴点C 的坐标为(0，−2)； 当y =0时，12
x −2=0， 解得：x =4，
∴点B 的坐标为(4，0)．
将B 、C 的坐标分别代入抛物线，得：
2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：142
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242
y x x =--． （2）①∵PM ⊥x 轴，M 在直线BC 上，
∴∠PMC 为固定角且不等于90，
∴可分两种情况考虑，如图1所示：
（i ）当∠MPC=90时，PC //x 轴，
∴点P 的纵坐标为﹣2，
将y p =-2，代入抛物线方程可得：
2112242
x x --=-解得： x 1=2，x 2=0（为C 点坐标，故舍去），
∴点P 的坐标为(2，−2)；
（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，
∵∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠OCD=90°，
∴∠OBC=∠OCD ，
又∵∠BOC=∠COD=90°，
∴BOC ∽COD （AAA ），
∴OD OC OC OB =，即OD=2
OC OB
， 由（1）知，OC=2，OB=4， ∴OD=1，
又∵D 点在X 的负半轴
∴点D 的坐标为(-1，0)，
设直线PC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 是常数)，
将C(0，−2)，D(-1，0)代入直线PC 的解析式，得： 20b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：22
k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2，
联立直线PC 和抛物线方程，得：
22122142
x x x -=---， 解得：x 1=0，y 1=−2，x 2=-6，y 2=10，
点P 的坐标为(-6，10)，
综上所述：当PCM 是直角三角形时，点P 的坐标为(2，−2)或(-6，10)；
②如图2所示，在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线；
（a ）当以CM 为底时，过A 点做CM 的平行线AN ，直线AN 平行于CM 且过点A ，则斜率为12，AN 的方程为：1(+2)2y x =，则中位线方程式为：1122
y x =-； （b ）当以AM 为底时，因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点，则M 的横坐标为t ，且在
直线BC 上，则M 的坐标为：1,22
M t t -（），其中4t >，则AM 的方程为：
44+242t t y x t t --=++，过C 点做AM 的平行线CQ ，则CQ 的方程为：4224t y x t -=-+ ，则中位线方程式为：4412424
t t y x t t --=
+-++； （c ）当以AC 为底时，AC 的方程式为：2y x =--，由b 可知M 的坐标为：
1,22M t t -（），过M 做AC 的平行线MR ，则MR 的方程为：322
y x t =-+-，则中位线方程式为：324
y x t =-+-； 综上所述：当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，直线解析式为：1122y x =
-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++． 【点睛】
本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等，解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等．
11．（1）t ＝3；（2）P （
35t +2，45t ﹣4）；（3）t 的值为209秒或4秒或16秒或1609
秒 【解析】
【分析】
（1）如图1，过点C 作CP ⊥OA ，交x 轴于点P ．就可以求出OP 的值，由勾股定理就可以求出的OP 值，进而求出结论；
（2）t ＜10时，P 在OA 或AB 上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P 在OA 上，OP=t ，可得P 的坐标；②当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P 的坐标；
（3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况：
①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；
②当P 在OC 上时，同理可得结论．
【详解】
（1）如图1，
当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 4
5CP C OC
＝＝， 4455
CP CP 即＝，＝， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，
∴331
t ＝＝
（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，
∴P （t ，0）；
当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上， 过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，
则∠AOC ＝∠PAH ， ∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 4
5C ＝， 44 4555
PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴3
33255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，
∴34P t+2t 455
（，﹣）；
（3）设切点为G ，连接PG ，
分两种情况：
①当P 在OA 上时，如图3，
⊙P 与直线AB 相切，
∵OC ∥AB ，
∴∠AOC ＝∠OAG ，
∴sin ∠AOC ＝sin ∠OA 4
5PG G AP
＝＝， t 45-t 5
∴＝， ∴209t ＝
； ⊙P 与BC 相切时，如图4，
则PG＝t＝OP＝4；
②当点P在OC上时，
⊙P与AB相切时，如图5，
∴OP＝PG＝4，
∴4×5﹣t＝4，
t＝16，
⊙P与直线BC相切时，如图6，
∴PG⊥BC，
∵BC∥AO，
∴∠AOC＝∠GCP，
∴sin∠AOC＝sin∠GC
4
5
PG
P
PC
＝＝，
∵OP＝PG＝20﹣t，
∴420
51
t
t
-
=
-
，
∴
160
9
t＝，
综上所述，t的值
20160
416
99
为秒或秒或秒或秒
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏． 12．（1）12；（2）tan EAD ∠=13；（3）51DE CD -=． 【解析】
【分析】
（1）先证明△ADP ≌△CDP ，得到∠DAP=∠DCP ，再证明△ADE ≌△CDO ，得到DE=DO ，根据O 是AD 的中点，AD=CD ，即可得到答案；
（2）先证明△AFD ≌△DOC ，得到∠AFD=∠DOC ，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD ∽△FAD ，根据对应边成比例得到
DP OD AD DF =,设AF=OD=x ，则AD=2x ，DF=5x ，得到DP=255x ，求出PF=35x ，再证明△DEP ∽△FAP ，得到23DE AF =，根据AF=12CD ，即可得到答案；
（3）先证明△FCD ≌△EDA ，得到∠EAD=∠FDC ，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12
AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，OC=5x ，可得PC=OC-OP=5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到514
OD FC +=，进而得到5151
CF CD -==+，即可得到结论. 【详解】
（1）如图①中，
∵四边形ABCD 是正方形，
PDA PDC ∴∠=∠，
DP DP =，DA DC =，
PDA ∴≌()PDC SAS ，
DAE DCO ∴∠=∠，
90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，
ADE ∴≌()CDO ASA ，
OD DE ∴=，
AO OD ∴=，
CE DE ∴=，
12
DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．
AF FB =，OA OD =，AB AD =，
AF OD ∴=，
AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒，
FAD ∴≌()ODC SAS ，
FDA OCD ∴∠=∠，
90FDA CDP ∠=∠=︒，
∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，
90CPD ∴∠=︒，
90FAO FPO ∠=∠=︒，
∴A ，F ，P ，O 四点共圆，
PAO PFO ∴∠=∠，
1tan 2OP OPD PD ∠==， 5OP ∴=，25PD =， 5DF a =，
35PF ∴=， 1tan tan 3
OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13
DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．
CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，
∴ FCD ≌EDA ()SAS ，
CDF EAD ∴∠=∠，
90CDF ADP ∠=∠=︒，
∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，
∴ 90APD ∠=︒，
OA OD =，
∴ OP OA OD ==，
∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，
90ECF EPF ∠=∠=︒，
∴E ，C ，F ，P 四点共圆，
∴ CFE EPC ∠=∠，
∴ CFE DCF ∠=∠，
ECF DCF ∠=∠，
∴ FCE ∽DCF ，
∴ 2·CF CE CD =，
∴ ()2y x x y =+，
∴ 220y xy x --=，
∴ 15y x +=15x -（舍弃）， ∴ 15y x +=， ∴ 155135DE y CD x y +-===++． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。