湖南高考数学知识清单

高中·数学·教材目录（150分）
高中一年级·数学必修1
1-1：集合与函数的概念
1-2：基本初等函数(Ⅰ)
1-3：函数的应用
高中一年级·数学必修2
2-1：空间几何体
2-2：点、直线、平面之间的位置关系2-3：直线与方程
2-4：圆与方程
高中一年级·数学必修3
3-1：算法初步
3-2：统计
3-3：概率
高中一年级·数学必修4
4-1：三角函数
4-2：平面向量
4-3：三角恒等变换
高中一年级·数学必修5
5-1：解三角形
5-2：数列
5-3：不等式高中二年级·数学选修2-1
选修2-1第1章：常用逻辑用语
选修2-1第2章：圆锥曲线方程
选修2-1第3章：空间向量与立体几何
高中二年级·数学选修2-2
选修2-2第1章：导数及其应用
选修2-2第2章：推理与证明
选修2-2第3章：数系的扩充与复数的引入
高中二年级·数学选修2-3
选修2-3第1章：计数原理
选修2-3第2章：随机变量及其分布
选修2-3第3章：统计案例
数学选修4-1 几何证明
数学选修4-4 坐标系与参数方程
数学选修4-5 不等式
高中数学知识结构（代数、几何、概率统计）
代数：函数（指、对、幂）初中（一次、二次、反）
三角（三角函数、恒等变换、解三角）
数（复数、导数、数列）
式（不等式，逻辑用语、推理证明）
几何：基础（点、直线、平面）
重点（椭圆、双曲线、抛物线）初中（直线、圆）
难点（立体几何中的点、线、面的关系）
方法（向量——几何问题代数处理）
概率统计：概型（古典概型、几何概型）
计数（排列组合，二项式定理）
概率计算（基本概率，事件分解）
统计计算（频率分布，数字特征）
数学必修1—第1章：集合与函数的概念
一、元素与集合
1、集合的含义： 研究对象统称为元素；元素组成的总体叫做集合。

2、元素的性质：确定性、互异性、无序性。

3、集合的表示：列举法、描述法。

4、集合的图示：数轴、Venn 图。

5、集合的分类：空集、有限集、无限集。

6、元素与集合的关系：属于、不属于。

7、集合与集合的关系：相等、包含（子集 真子集）。

8、集合与集合的运算：并集、交集、补集。

二、映射与函数 1、映射
（1）文字描述：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称B A f →：为从集合A 到集合B 的一个映射。

（2）图形理解：
（3）符号表示：B A f →： “f （对应关系） A （原象） B （象）” 2、函数（集合为数集的映射）
设A 、B 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与之对应，那么就称B A f →：为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作 A x x f y ∈=),( （1）域：
定义域： A x 的取值范围自变量
，定义域既要有数学意义又要有物理意义。

值域： {}的子集。

，它是集合
｜构成的集合
函数值B A x x f x f ∈,)( )(
（2）表示方法：解析式 图象法 列表法
（3）性质：单调性，奇偶性，最值（注意定义域内的存在性）。

（4）相等：对应关系完全一致且定义域要相同。

三、抽象函数（没有具体的函数解析式） （1）求解析式方法（参见解读P36）
换元法，湊元法，待定系数法，消去法（互倒或互反），赋值法，分段法 （2）求定义域（参见解读P28）
整式 分式 偶次根式 组合式（取交集） 0
x y =
已知)(x f 的定义域，求复合函数)]([x f ϕ的定义域，实质上是根据)(x ϕ的值域求其定义域。

已知复合函数)]([x f ϕ的定义域，求)(x f 的定义域，实质上是根据)(x ϕ的定义域求其值域。

（2）求值域（参见解读P29）
基本初等函数 （换元得到）基本复合函数 二次函数 两个一次函数的比式 两个二次函数的比式
1、指数函数：）
且1a ,0( ≠>=a a y x 定义域：R x ∈ 值域：),0()(+∞∈x f
2、对数函数：）
且1a ,0( log ≠>=a x y a 定义域：)0(∞+∈，x 值域：R x f ∈)(
3、幂函数：域和值域）
种情况，分别讨论定义隔开分由51,0 ( a x y a =
轴对称性。

倒值影响增减性；值变化规律；）；，性质：过定点（ 1 0y a a a 轴对称性。

倒值影响增减性；值变化规律；）；，性质：过定点（ 0 1x a a a 对称性。

倒值影响增减性；值变化规律；）；，性质：过定点（ y 1 1x a a a =
数学必修2—第1章 空间几何体（基本元素：点、线、面）
一、柱、锥、台、球
1、棱柱：底面平行，侧棱平行。

性质：（1）底面与平行截面全等；（2）侧面和侧棱截面是平行四边形。

2、棱锥：多边形底面，公共顶点。

性质：（1）底面与平行截面相似；（2）（底、侧、全）面积比等于对应边平方比。

正棱锥的概念：底面是正多边形，顶点的射影在底面中心的棱锥。

正棱锥的特点：侧棱相等，斜高相等，侧面是全等等腰三角形。

3、棱台：棱锥被平行于底面的平面所截得的部分。

4、圆柱、圆锥、圆台：以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体。

性质：（1）平行于底面的截面都是圆；（2）轴截面是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。

5、球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体。

性质：（1）半径和直径相等；（2）截面都是圆，过圆心的截面圆最大。

二、三视图和直观图
1、三视图：正视图、侧（左）视图、俯视图。

（长对正，宽相等，高平齐）
2、直观图：找关键点，画轴，点对应，成图。

1、柱体（棱柱、圆柱）体积：底柱体
2、锥体（棱锥、圆锥）体积：h S V 底锥体31 =
3、台体（棱台、圆台）体积：h S S S S V )(1
+'+'=台体
数学必修2—第2章：立体几何
一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（平行于同一平面的两个平面互相平行）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

二、线面的位置关系
1、线线关系：平行、相交、异面
过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，但有无数条直线与已知直线垂直。

2、线面关系：平行、相交、面内
过一点，有无数条直线与已知平面平行，但只有一条直线与已知平面垂直。

3、面面关系：平行、相交、（重合）
过一点，有且只有一个平面与已知平面平行，但有无数个平面与已知平面垂直。

三、线面的平行关系
1、线面平行的判定定理：线线平行则线面平行
2、线面平行的性质定理：线面平行则线线平行
3、面面平行的判定定理：线面平行则面面平行（交线平行则面面平行）
4、面面平行的性质定理：面面平行则线线平行（线面平行，平行线段相等，对应线段成比例）
三、线面的垂直关系
1、线面垂直的判定定理：线线垂直则线面垂直（平行线垂直则线面垂直，平行面垂直则线面垂直）
2、线面垂直的性质定理：线面垂直则线线垂直（线面垂直则线线平行，线面垂直则面面平行）
3、面面垂直的判定定理：线面垂直则面面垂直
4、面面垂直的性质定理：面面垂直则线面垂直（过垂面内一点垂直于平面的垂线在垂面内）
附：三垂线定理及逆定理：平面内的一条直线，垂直射影则垂直斜线，垂直斜线则垂直射影。

四、补充说明
1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线（或既不平行也不相交的两条直线）。

2、异面直线的判定：面内一点与面外一点的连线，与面内不经过该点的直线是异面直线。

3、两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ]
4、直线与平面所成的角：范围为( 0°，90° ]。

5、平面与平面所成的角（平面角）：范围为( 0°，180°]
6、点到直线的距离：垂线段
7、点到平面的距离：垂线段
8、两异面直线的距离：公垂线段(有且只有一条)
1、点斜式：00
2、斜截式： b kx y += )( 存在k
3、两点式：
1
21121x x x x y y y y --=-- 0)(≠k k 存在，
4、截距式：
1
=+b
y a x )0,( 不过原点存在，≠k k 5、一般式：)0( 022≠+=++B A C By Ax
三、两直线的位置关系（注意水平直线、竖直直线，以防对而不全） 1、平行（不重合）：2121b b k k ≠=且， 12211221C A C A B A B A ≠=且
一、圆的方程
1、标准方程：222)()(r b y a x =-+-
2、一般方程：02
2=++++F Ey Dx y x 22
222)2
4()2()2( F E D E y D x -+=+++即： 二、点与圆的位置关系（圆上，圆内、圆外） 1、几何判断： r CM =||，r CM <||，r CM >||
一、算法概念：按照规则解决问题的明确有限步骤。

二、算法描述
1、自然语言：将各步骤用文字进行说明。

2、程序框图（流程图）：起止框、输入输出框、处理框、判断框
起止框（单出入），入出框（单入单出不计算），处理框（单入单出有计算），判断框（单入双出）。

3、程序设计语言：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句
三、算法结构
1、顺序结构：按照顺序依次执行
2、条件结构：条件判断分支执行（AB型A型）
3、循环结构：条件判断循环执行（先循环直到型当型后循环）
注意：计数变量的初值步长终值，累计变量的表示，循环体的位置
1、辗转相除法（相除取余，余0取中，约则倍之）
2、更相减损术（相减取差，差等取中，约则倍之）
3、秦九韶算法（n次多项式需n次乘法和n次加法）
4、进位制（按权展开求和→十进制数→除基取余逆写）
说明：入出框一般不计算，变量名与变量值的关系计数变量与累计变量的技巧
实际问题 → 确定对象 → 收集数据 → 整理数据 → 分析数据 → 作出推断
收集数据：普查 抽样调查
整理数据：条形统计图 拆线统计图 扇形统计图 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图
茎叶图
分析数据：集中趋势（平均数 中位数 众数） 离散程度（极差 方差 标准差）
作出推断：用样本估计总体 变量间的相关关系
0、基本概念
1、总体、个体、容量、抽样、样本：所有对象称总体，每个对象称个体，个体的数目叫容量。

从总体中抽取个体的过程叫抽样，抽出的个体统称样本。

一、随机抽样（机会均等的等可能抽样）
1、简单随机抽样（个体有限 机会均等 逐个抽取 抽不放回）
（1）抽签法：总体容量小，样本容量小。

编号，做签，搅拌均匀，依次抽取，组成样本。

（2）随机数表法：总体容量大，样本容量小。

编号(位数相等)，行列选数，读数，判断，组成样本。

2、系统抽样：总体容量大，样本容量大。

(随机剔除)编号，分段，随机首号，按规则抽取，组成样本。

3、分层抽样：总体分差异明显的几部分。

分层，算抽样比例，算各层个体（有可能需随机剔除部分个
体），各层抽样（简单随机抽样或系统抽样），组成样本。

分层抽样的代表性好。

三、频率分布 计算极差 组数组距 决定分点 列表绘图
1、频率分布表
2、频率分布直方图
3、频率分布折线图
4、茎叶图（保留所有信息，可以随时记录，但容量位数受限）
四、数字特征
1、平均数：反映数据的平均水平，是频率分布的重心 ∑⋅=+++=中点）面积(21n
x x x x n 中位数代表“中等水平”是频率分布的等分线，众数代表“多数水平”是峰值。

2、标准差：反映数据相对平均水平的波动程度。

（差方均根）
n x x x x x x s s n 2
22212
)()()(-++-+-== （1）如果把一组数据中的每一个数据都加减同一常数，平均数加减常数，标准差不变。

一、概率基础
1、基本概念：
（1）随机试验（可重复进行、有明确结果、是随机出现）
（2）确定事件（必然事件、不可能事件）
（3）随机事件（关系：包含、相等、互斥、对立； 运算：并运算A ∪B 、交运算A ∩B ）
（4）基本事件：一次试验中可能出现的每一个结果。

（5）复杂事件：由两个或两个以上基本事件构成的随机事件。

（6）频数与频率：相同条件下重复n 次试验，某事件A 出现的次数A n 称频数，n
n A f A n =)(称频率。

（7）概率：反映随机事件发生的可能性大小，是事件A 的频率在理论上的期望值。

记作：)(A p
2、基本性质：
（1）必然事件的概率P(Ω)=1，不可能事件概率为P(Φ)=0，因此0≤P(A)≤1；
（2）当事件A 与B 互斥时，P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；
（3）当事件A 与B 对立时，P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，即：P(A)=1—P(B)；
二、古典概型的概率计算（基本事件的有限性和每个基本事件发生的等可能性）
（1）写出基本事件的总个数n （按照顺序逐个写出各种可能的结果，要做到不重不漏）。

（2）算出事件A 包含的基本事件个数m 。

（3）事件A 的概率n
m A p =)( （4）较复杂事件的概率计算方法（转化为互斥事件或对立事件）。

三、几何概型的概率计算（基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性）
（1）将基本事件理解为某几何区域内的一点，所有的基本事件构成一个总区域。

（2）将事件A 理解为总区域内的部分区域。

（3）事件A 的概率体积）
（长度、角度、面积、所有基本事件的总区域面积、体积）的区域（长度、角度、构成事件A A p =
)(
一、任意角及弧度制
1、任意角：顶点、始边、终边、旋转方向、旋转圈数。

正角、负角、零角。

象限角、轴线角。

2、角的度量与互化：角度制、弧度制。

分秒化成度，rad 180π对应︒，同一式中不能混用。

3、角的表示：（1）与α终边相同的角集 },2|{Z k k S ∈+⋅==απββ
（2）与α终边同线的直线角集 },|{Z k k S ∈+⋅==απββ
（3）区间角表示 先在（π2~0）内写一个区间，再加周期。

4、应用：象限角均分的象限判断（均分象限，依次标号）。

时钟问题。

弧长与面积的计算。

二、三角函数的基础知识
1、三角函数的定义：
设任意角α的终边上任一点P 的坐标是（x,y ），
它与原点的距离为r ，那么：
sin y
r α=，cos x
r α=，tan y
x α=。

以角为自变量，以比值为函数值的函数，统称三角函数。

2、三角函数的 定义域、值域（结合正弦线余弦线正切线理解）、象限符号（结合坐标理解）
3、诱导公式：将角化成Z k k ∈±︒⋅,90α形式，“奇变偶不变，符号看象限。

”
4、三角函数式的化简与求值：负化正，大化小，化到锐角就完了。

5、同角公式：1cos sin 22=+αα，ααcos sin ±，ααcos sin ⨯，ααα
tan cos sin = (知一全知)
三、三角函数的图象与性质（定义域、值域、最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性）
1、正弦函数x y sin =
2、余弦函数x y cos =
3、正切函数x y tan =
四、函数)sin(ϕω+=x A y 的图象 k x A y ++=)s i n (ϕω
振幅：A ， 周期：ωπ2=T ，频率：πω
2=f ，相位：)(ϕω+x ，初相：ϕ
一、向量的有关概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

区分（几何）有向线段、（代数）向量、（物理）矢量。

2、向量的表示：几何法，字母法a ；代数法j y i x a +=，坐标法),(y x a = 。

3、向量的夹角：两向量的起点移到同一点后所形成的夹角，范围是]180,0[︒︒
4、零向量、单位向量、相等相量、平行向量（向量可以平移，平行向量也即共线向量）
二、向量的基本运算（交换律，结合律，乘法对加法的分配律）
1、加法：法则（首尾相接，坐标相加）；规律（交换律，结合律）
2、减法：法则（连接终点，坐标相减）；规律（减即加反）
3、数乘：法则（a λ，坐标相乘）；规律（交换律，结合律，数加分配律，向加分配律）
4、点乘（点积内积数量积）：法则（θcos |||| b a b a ⋅=⋅，2121 y y x x b a +=⋅）；
规律（交换律，数乘结合律，分配律），切记：点乘不满足向量结合律和向量消去律。

三、向量的基本定理
1、共线相量定理：向量 与非零向量 共线 ⇔ 有且只有一个实数λ，使得 λ=。

2、平面向量定理：如果非零向量21 , e e 共面不共线，那么对于这个平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21 , λλ，使2211 e e a λλ+=。

（向量按方向分解与分解的唯一性）
（1）基底：共面不共线的非零向量21 , e e 叫该平面的一组基底。

（2）正交分解：基底21 , e e 垂直时的向量分解。

直角坐标系中的坐标可以表示一个向量。

四、方法技巧（将平面几何语言转化为向量语言，向量运算，运算结果再转化为平面几何语言）
1、向量加减法：()2121,y y x x ±±=± 加法（首尾连），减法（共起点），化减为加，凑零法。

2、向量相等与平行：2121y y x x ==⇔=且 0//1221=-⇔y x y x
3、相量点乘应用：向量夹角 cos 222221212
121y x y x y y x x +⋅++==θ 0=⋅⇔⊥b a b a
4、证明三点共线：先证相量共线（向量a b λ=，或坐标1221y x y x =），再证相量共点。

5、证明三线共点：先求两线交点，再证交点在第三条线上。

6、重心坐标：（3
3321
3
21y y y x x
x ++++，） 7
=
± 7、向量不等式：|||| |||| b a b a +≤±≤-
五、注意：
1、零向量问题，向量平移，坐标表示的向量起点在原点。

2、与向量共线的单位向量有两个，定比分点隐含有共线关系。

数学必修4—第3章 三角恒等变换
一、三角恒等变换公式
起源公式（差角余弦公式）：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
二、恒等变换公式的应用
1、求值：切化弦法，和积互化，升降幂法，辅助元素法，1的代换法。

（1）变角变次变名P160；（2）整体法P175
2、求最值：P172
（1）x x y cos sin = （2）x b x a y cos sin += （3）x x b x x a y cos sin )cos (sin ⋅++=
（4）c x b x a y ++=sin sin 2 （5）d x b c x a y ++=cos sin （6）x
b ax y += 3、化简：不开方不分母，项少种少值最好。

（1）αααα8cos 4cos 2cos cos ⋅⋅⋅加启动式αsin 2
（2）2
)cos (sin 2sin 1ααα±=±
数学必修5—第1章 解三角形
一、三角形边角关系
1、边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。

2、角关系：内角和等于180°，外角等于不相邻的两内角和。

3、边角关系：等边对等角；等角对等边；大边对大角。

4、三角等差则中角︒=60，三角等差且三边等比则是正三角形。

二、正弦定理 2s i n s i n s i n R C c
B b
A a
===（对边对角外接圆）
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②::sin :sin :sin a b c C =A B ③sin 2a
R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ④sin sin sin sin sin sin a b c
a
b
c
C C
++===A +B +A B
三、余弦定理 A bc c b a cos 2222-+= （三边三角6参数，知3得3）
.2a cosC ;2cosB ;2cos 2
222
222
22ab c b ac b c a bc a c b A -+=-+=-+=
四、射影定理 B c C b a c o s c o s +=
五、面积公式 r c b a R a
b c
B c a
C b a h a S a ⋅++==⋅=⋅=⋅=∆)(21
4s i n 21s i n 2121
五、诱导公式： π=++C B A
2
cot 2tan 2sin 2cos 2cos 2sin
tan )tan( cos )cos( sin )sin(C
B A
C B
A C
B A
C B A C B A C B A =+=+=+-=+-=+=+
C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++
六、应用举例：
1、判断三角形的形状： 902sin 2sin ︒=+=⇔=B A B A B A 或
为锐角为钝角为直角A c b a A c b a A c b a , ；, ；,222222222+<+>+=
2、解三角形：三边三角6参数，知3求3
①已知三角（AAA ）不能求解； ②已知三边（SSS ）有解唯一；
③两角夹边（ASA ）有唯一解； ④两边夹角（SAS ）有唯一解；
⑤两角对边（AAS ）有唯一解； ⑥两边对角（SSA ）一解两解或无解；
对于复杂的图形可以把复杂的图形独立画出一些简单的三角形独立求解。

3、证明三角形中的恒等式或不等式：如
4、求三角形中有关最值：将边角混合函数转化成某边函数或某角函数再求最值。

5、实际应用中的名词：坡度坡比，仰角俯角，方位角方向角，基线，
数学必修5—第2章 数列
一、数列基础
1、数列：按照一定次序排列的一列数。

数列与集合 数列与函数
2、数列的分类：有穷无穷 有界无界 递增递减 常数摆动
3、数列的表示：列表法，图象法，通项公式（解析法），递推公式。

4、通项公式：)(n f a n = 统一结构（如分式幂式），分析关系，符号处理，变换处理。

5、求和公式：n n a a a S +++= 21
6、公式转换：
（1）通项公式⇒求和公式：拆项相消（分母是等差数列相乘） )12)(1(6121222++=+++n n n n 2333)]1(2
1[21+=+++n n n P88 （2）求和公式⇒通项公式：直接法)2( 111≥-==-n S S a S a n n n ，；递推法（与n a 有关） （3）递推公式⇒通项公式：累加法)(1n f a a n n +=-，累乘法)(1n g a a n n ⋅=-，
辅助数列法（平方、开方、倒数、线性、其它函数变换）（P56，P78）
二、等差数列 n n S a n d a , , , ,1 知3得2
1、基本公式：通项公式d n a a n )1(1-+= 求和公式d n n na n a a S n n ⋅-+=⋅+=2
)1(211 2、判断：定义式d a a n n =--1,中项式112+-+=n n n a a a ,通项式b dn a n +=,求和式Bn An S n +=2
3、求和最值：函数法（接近取整），图象法，通项法（变号）
三、等比数列 n n S a n q a , , , ,1 知3得2
1、基本公式：通项公式11-⋅=n n q a a 求和公式q
q a q q a a S n n n --=--=1)1(111 )1( ≠q 2、判断：定义式1-⋅=n n a q a ,中项式112+-⋅=n n n a a a ,通项式n n kq a =,求和式)1(-=n n q A S
三、性质与应用
1、主要性质：
（1）一个等差（或等比）数列依次k 项取值或求和，新数列是等差（或等比）数列。

（2）二个等差（或等比）数列的和差（或积商），是等差（或等比）数列。

（3）等差数列为指数的新数列是等比数列，等比数列为真数的新数列为等差数列。

（4）若q p n m +=+，在等差数列中有q p n m a a a a +=+；在等比数列中有q p n m a a a a ⋅=⋅ （5）两等差数列的第n 项之比等于前(2n-1)项的和之比。

1212//--=n n n n T S b a
（6）等差数列2n 项，则1+==n n na S na S 偶奇，，且1// +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶，
（7）等差数列2n-1项，则n n a n S na S )1(-==偶奇，，且)1/(/ -==-n n S S a S S n 偶奇偶奇，
（8）等比数列m n n n m S q S S +=+
2、主要应用：
（1）数列求和的基本方法：等差求和，等比求和，分开求和，错位相减，拆项相消，合比定理法 （2）等差数列和等比数列的对称设项
)11(1)(1d
n n d d n n +-=+
数学必修5—第3章 不等式
一、不等式基础
1、概念：严格与非严格不等式；绝对、条件与矛盾不等式；同向与异向不等式
2、性质：（1）对称性 a b b a <⇒> （2）传递性 c a c b b a >⇒>>且
（3）加法性 c b c a b a +>+⇒> d b c a d c b a +>+⇒>>且
（4）乘法性 bc ac c b a >⇒>>0且 bc ac c b a <⇒<>0且
bd ac d c b a >⇒>>>>00且 n n b a b a >⇒>>0
（5）开方性 n n b a b a >⇒>>0 （6）倒数性 b a b a /1/1<⇒>且同号
3、方法：（1）作差化积定号法；（2）作商变形比1法
4、应用：函数的单调性
二、一元二次不等式 0,)(2≠++==a c bx ax x f y
1、不等式求解：绘图⇒求根⇒写解集
2、求不等式系数：解集⇒写根⇒求系数（韦达定理）， 注意二次项系统！
3、分式不等式：（可能要移项通分）转化为整式不等式并注意分母不为零。

4、高次不等式：根轴法（求根绘轴画线法），平方项和不能分解的二次项处理。

三、二元一次不等式
1、约束条件：由y x ,组成的方程或不等式。

2、由约束方程构成的平面区域：绘函数图象确定平面区域。

注意边界！
3、目标函数：由y x ,决定的解析式（二元函数）。

4、区域内目标函数的最值： （1）线性目标函数By Ax z +=，转化为B z
x B A
y +-=求截距。

（2）圆形目标函数22)()(b y a x z -+-=，转化为点),(b a 到区域求距离。

（3）分式目标函数d cx b
ay z ++=，转化为点),(a b
c d
--与区域点求斜率。

2、重要公式：ab b a 222≥+ ca bc ab c b a ++≥++222 abc c b a 3333≥++
b a ab b
a b a 112
2222+≥≥+≥+ b a b a +≥+4
11
3、极值定理：一正二定三相等（和为定值积有最大，积为定值和有最小），方法（拆项添项变元）
4、常值代换： （1）已知m by ax =+，求y x 1
1
+的最小值。

（2）已知1=+y b
x a ，求y x +的最小值。

数学选修2-1—第1章：常用逻辑用语
一、命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）
1、命题概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。

命题有真有假。

2、命题结构：“若p ，则q ”的结构形式，p 为命题的条件，q 为命题的结论。

3、四种命题及真假性关系：逆否命题具有相同的真假性。

二、条件（充分不必要、必要不充分、充分必要）
1、概念：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

2、判断：定义法；等价法；逆否法；集合法（数轴法）；关系图法。

3、证明：先由结论推条件证必要性，再说明或证明充分性。

二、连接词（且、或、非）
1、且：把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧。

真真才真。

2、或：把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨。

假假才假。

3、非：对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝。

一真一假。

4、否定运算：p p q p q p q p q p =⌝⌝⌝∧⌝=∨⌝⌝∨⌝=∧⌝)(),()()(),()()(
四、量词（全称量词、存在量词）
1、全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中常称全称量词，用“∀”表示。

含有全称量词的命题称为全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”。

2、存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中常称存在量词，用“∃”表示。

含有存在量词的命题称为特称命题。

特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“)(,00x p M x ∈∃”。

3、否定运算：[])(, )(,00x p M x x p M x ⌝∈∃=∈∀⌝；[])(, )(,00x p M x x p M x ⌝∈∀=∈∃⌝
数学选修2-1—第2章：圆锥曲线与方程
曲线与方程基础（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线；二元方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ）
1、曲线与方程的对应关系：平面曲线的点集 与 二元方程的解集 一一对应
2、已知曲线条件求曲线方程：建系设点，列式代换，化简验证（查漏除杂）。

3、已知曲线方程分析曲线性质：将二元方程转化为标准形式分析
4、求动点的轨迹或方程：直接法、相关法、交点消参法、待定系数法。

轨迹要解释，方程标范围。

5、两曲线的交点：特殊先处理、二元变一元、判别式计算。

一、直线（满足一次方程的点的轨迹。

一般方程：0=++C By Ax ）
1、标准方程：b kx y += （参数意义）。

水平线、竖直线单独分析。

2、平行（不重合）：2121b b k k ≠=且，相交（含垂直）：1 ,2121-=⋅≠k k k k
2、标准方程：222)(
)(r b y a x =-+- （参数意义）
比为常数a
c e = ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆。

定点称焦点，焦距为2c 。

四、双曲线（一般方程022=+++-F Ey Dx Cy Ax ）
1、概念：（1）到两定点的距离之差等于常数2a 的点的轨迹。

（2）到定点的距离与到定直线的距离之比为常数a c
e = ，当1>e 时，点的轨迹是双曲线。

定点称焦点，焦距为2c 。

数学选修2-1—第3章：空间向量与立体几何
一、空间向量的有关概念
1、向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的描述：线描述， p ；点描述z y x ++= ，),,(z y x =。

线点描述互换
3、向量的夹角：两向量的起点移到同一点后所形成的夹角，范围是]180,0[︒︒
4、零向量、单位向量、相等相量、相反向量、共线向量（平行向量）
二、向量的基本运算（交换律，结合律，乘法对加法的分配律）
1、加法：法则（首尾相接，坐标相加）；规律（交换律，结合律）
2、减法：法则（连接终点，坐标相减）；规律（减即加反）
3、数乘：法则（a
λ，坐标相乘）；规律（交换律，结合律，数加分配律，向加分配律） 4、点乘（点积内积数量积）：法则（〉〈⋅=⋅b a b a b a ,cos |||| ，212121 z z y y x x b a ++=⋅）；
规律（交换律，数乘结合律，分配律）， 切记：点乘不满足向量结合律和向量消去律。

应用（求模方、求夹角、证平行、证垂直、证不等式） 三、向量定理及逆定理：
线描述：共线向量 λ=； 共面向量21 λλ+=； 空间向量221 λλλ++=。

点描述：空间向量z y x ⋅+⋅+⋅= 共面向量1, =++⋅+⋅+⋅=++=z y x z y x t s 且
共线向量1, =+⋅+⋅=+=y x y x t 且
四、利用空间向量工具解决立体几何问题（线描述找基，点描述设系）
（避开了复杂的空间想象和抽象的逻辑推理，将几何问题转化为代数问题，但注意两者的区别）
1、三点共线：两向量共线，且有交点；空间三点共线定理。

2、四点共面：三向量共面，且有交点；空间四点共面定理。

3、线线平行：两向量共线，且不重合。

线面平行。

面面平行。

4、线线垂直：点积为零。

线面垂直。

面面垂直。

5、异面直线夹角：先求向量夹角，再转到]90,0[︒︒ 附：向量定理详解
1、共线向量定理：非零向量a ，向量p 与a 共线 ⇔ 有且只有一个实数λ，使得a p λ=。

2、平面向量定理：非零向量 , 不共线， 与 , 共面 ⇔ 有且只有一对实数21 , λλ，使
21 λλ+=。

（有且只有一对实数y x ,，使y x += 。

） 3、空间向量定理：非零向量, , 不共面，空间向量 ⇔ 有且只有一组实数321 , , λλλ，使c b a p 221 λλλ++=。

（有且只有一组实数z y x , ,，使c z b y a x p ++= 。

） 4、空间三点共线定理：三点B A P 、、共线 ⇔1 2121=++=λλλλ，且OB OA OP
5、空间四点共面定理：四点C B A P 、、、共面⇔1 321321=++++=λλλλλλ，且。