精品-新人教版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法优化练习新人教A版选修4_5

三 反证法与放缩法
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )
A ．两个都是偶数
B ．一个是奇数，一个是偶数
C ．至少一个是偶数
D ．恰有一个是偶数
解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至
少一个为偶数．
答案：C
2．设x >0，y >0，A ＝
x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y
1＋y
，则A 与B 的大小关系为( )
A ．A ≥B
B ．A ≤B
C ．A >B
D ．A <B
解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y
1＋y
＝B .
答案：D
3．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y
，b ＝y ＋1z
，c ＝z ＋1x
，则a 、b 、c 三个数( )
A ．至少有一个不大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
解析：假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，这与
a ＋
b ＋
c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x
≥6矛盾．故选C.
答案：C
4．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1
，则( )
A ．M ＝1
B ．M <1
C ．M >1
D ．M 与1大小关系不定
解析：M 是210
项求和，M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210
＝
1，故选B.
答案：B
5．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab)， H ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A
D ．H ≤G ≤A
解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab
≥ab a ＋b 2
＝2ab
a ＋
b ，
又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
为单调减函数，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b ，
∴A ≤G ≤H .
答案：A
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如
果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：
|f (x 1)－f (x 2)|<1
2
.那么它的假设应该是________．
答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥
1
2
7．已知|a |≠|b |，m ＝
|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b|
|a ＋b|
，则m ，n 之间的大小关系是________．
解析：m ＝|a|－|b||a －b|≤|a|－|b|
|a|－|b|
＝1，
n ＝
|a|＋|b||a ＋b|≥|a|＋|b|
|a|＋|b|
＝1.
答案：m ≤n
8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b
b ＋2
，则M 与N 的大小关系是________．
解析：∵a >0，b >0，
∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b
a ＋
b ＋2
＝M .
∴M <N .
答案：M <N
9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是
负数．
证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．
由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．
从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d
2
.
∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d
2
＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一
个是负数．
10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋1
1×2×3×…×n
<3(n ∈N ＋)．
证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝1
2k －1(k 是大于2的自然数)，
得1＋11＋
11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋1
2n －1
＝
1＋1－1
2n 1－
12
＝3－12n －1<3.
∴原不等式成立．
[B 组 能力提升]
1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝
2n ＋3x2n ＋1
(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数
n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为
( )
A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1
C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1
D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0
解析：“x n <x n ＋1或x n >x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一
个”． 答案：B
2．若α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，
Q ＝
1
2
sin 2α，则它们之间的大小关系为( )
A ．M >N >P >Q
B ．M >P >N >Q
C ．M >P >Q >N
D ．N >P >Q >M
解析：∵α∈(π，5
4
π)，∴0>sin α>cos α.
∴|sin α|<|cos α|，
∴P ＝12|sin α＋cos α|＝1
2
(|sin α|＋|cos α|)
>1
2
(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M .
P ＝12
|sin α|＋|cos α|
<1
2
(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .
∴N >P >M .
对于Q ＝
12sin 2α＝ sin αcos α<|sin α|＋|cos α|2
＝P .
而Q ＝sin αcos α> sin2α＝|sin α|＝M .
∴N >P >Q >M .
答案：D
3．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．
解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设
应为“直径的数目至少为n ＋1条”．
答案：直径的数目至少为n ＋1条
4．若二次函数f (x )＝4x 2
－2(p －2)x －2p 2
－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使
f (c )>0, 则实数p 的取值范围是________．
解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f (c )>0，
则⎩
⎪⎨⎪
⎧
－，，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
p≤－1
2或p≥1，p≤－3或p≥3
2
，
所以p ≤－3或p ≥32，取补集为p ∈⎝
⎛⎭⎪⎫－3，32.
故实数p 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－3，32.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－3，32
5．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.
证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立，
则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.
①
由于0<x <2，
∴0<x (2－x )＝－x 2
＋2x ＝－(x －1)2
＋1≤1. 同理：0<y (2－y )≤1，且0<z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1
②
②与①矛盾，故假设不成立．
∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 法二：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1. ∴
－
＋
－
＋
－
>3.
③
又－
＋
－
＋
－
≤
x ＋－2
＋y ＋
－
2＋z ＋
－
2＝
3④
④与③矛盾，故假设不成立． ∴原题设结论成立．
6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n 2
·a n (n ∈N ＋)，
(1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n an ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <7
10.
解析：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2(1＋1n )2
·a n (n ∈N ＋)，
∴a 2＝2(1＋11)2·a 1＝16，a 3＝2(1＋12)2
·a 2＝72.
又∵
an ＋1＋＝2·an
n2
，n ∈N ＋， ∴{an
n2}为等比数列． ∴an n2＝a112·2n －1＝2n
， ∴a n ＝n 2
·2n
.
(2)证明：c n ＝n an ＝1
n·2n ，
∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n
＝
11.2＋12.22＋13.23＋...＋1n.2n <12＋18＋124＋14.(124＋125＋ (12)
) ＝23＋14·124
[1－
12－3]
1－1
2
<23＋14·1
241－
12
＝23＋132
＝6796＝670960<96×796×10＝710，所以结论成立．。