复函3-2

= 6πi .
ez 例 2 计算积分 ∫ dz . z −1 z =2
解 f ( z ) = e z 在复平面内解析 , z = 1 位于 z < 2 内, 由Cauchy积分公式 积分公式 ez dz = 2πi ⋅ e z z 1 = 2eπi . π ∫=2 z − 1 = z
关于Cauchy积分公式的说明: 积分公式的说明: 关于 积分公式的说明 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. 表达式 (这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具) 这是研究解析函数的有力工具 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 即 把函数在 内部任一点的值用它在边界上的 值表示. 这是解析函数的一个重要特征） 值表示 （这是解析函数的一个重要特征） 课堂练习
2
πi
1 1 1 2 2 = sin z = sin( − π ) = − sin π 2 . 2 2 2 0
例3 求 ∫0 z cos zdz 的值. 解
i
因为 z cos z 是解析函数 , 它的一个原函数是 zsinz + cosz , i i = [ zsinz + cosz ]0 ∫ z cos zdz
= ie 1+ i = ie(cos 1 + i sin 1).
Cauchy积分公式 §3.5 Cauchy积分公式
1.问题的提出 1.问题的提出
设 D 为一单连通区域 , z0 为 D 中一点. f (z) 如果 f ( z ) 在 D内解析 , 那末 在 z0 不解析 , z − z0 f (z) 那么∫ dz (其中C 为 D 内围绕 z0 的闭曲线 ) ? C z−z 0
如果 f ( z ) 在 D 内解析 ,
那末
C
C1 C2
C3
其中 C 及 C k 均取正方向;
∫ C
f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz ,
k =1 Ck
n
D
闭路变形原理
设函数 f ( z ) 在多连通域内解析 ( 如图 ),
C 及 C1 为 D 内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向 ), C 及 C1 为边界的区域 D1 全含于 D. ∫ f ( z )dz = ∫
0
= i sin i + cos i − 1 e −1 − e e −1 + e =i + − 1 = e −1 − 1. 2i 2
例4 解
求∫
1+ i
1
ze z dz 的值.
利用分部积分法可得
ze z 的一个原函数为 ( z − 1)e z ,
∫1
1+ i
ze dz = ( z − 1)e
z
z 1+ i 1
例1 解
求 ∫ zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数 , 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 2 1 2 ∫z0 zdz = 2 z z = 2 ( z1 − z0 ). 0
例2 解
求 ∫ z cos z dz 的值.
2 0
πi
∫0
πi
1 πi z cos z dz = cos z 2dz 2 2 ∫0
1 f (z) f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz . 2 πi
Cauchy积分公式 积分公式
C
z0 ⋅
D
∫
C
f (z) dz = 2πi f ( z0 ) z − z0
例 1 求下列积分
sin z (1) ∫ d z; z z =4
解 (1)
2 1 ( 2) ∫ + dz . z + 1 z − 3 z =4
1. 原函数的概念
定义 如果函数 ϕ ( z ) 在区域 D 内的导数为 f ( z ), 即 ϕ ′( z ) = f ( z ), 那末称 ϕ ( z ) 为 f ( z ) 在区域 D 内 的原函数 .
*定理二说明 定理二说明F(z)是f(z)的一个原函数 定理二说明 是 的一个原函数
原函数之间的关系: 原函数之间的关系:
积分的概念
y
n k =1
B
∫
C
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k ) ⋅∆z k .
δ →0
其中 δ = max{∆sk },
1≤ k ≤ n
A
ζ1 ζ2
z1 z2
ζk z k zk−1
C z n−1
积分存在的条件
一定存在 .且 ∫ f ( z )dz = C
o
C
x
如果 f ( z ) 是连续函数而 C 是光滑曲线时 , 积分 ∫ f ( z )dz
sin z ∫=4 z dz z
因为 f ( z ) = sin z 在复平面内解析 ,
z = 0 位于 z < 4 内,
由Cauchy积分公式 积分公式
sin z ∫=4 z dz = 2πi ⋅ sin z z =0 = 0; z
2 1 ( 2) ∫ + dz . z + 1 z − 3 z =4 1 2 dz + ∫ d z = 2 πi ⋅ 1 + 2 πi ⋅ 2 = ∫ z+1 z−3 z =4 z =4
D D
⋅ z1
C1
C2
z0 ⋅
C2
⋅ z1
解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关 即：如 起 为 0, 终 为z1, 果 点 z 点
∫ f (z)dz = C f (z)dz 记为 ∫z ∫ C
1 2
z1
0
f (z)dz
固定z 内变动, 固定 0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分 ,
z0
z
以 所 ∫ f (z)dz = G(z) + c,
z0
z
积分定理, 当 z = z0 时, 根据 Cauchy- Gaursat 积分定理
得 c = −G ( z0 ),
所 ∫ f (z)dz = G(z) −G(z0 ), 以
z0
z
或 ∫ f (z)dz = G(z1) −G(z0).
z0
z1
例4 计算积分
1 dz , Γ 为含 a 的任一简单闭路 , 例5 求 ∫Γ n +1 (z − a) Γ n 为整数 .
解 因为 a 在曲线 Γ 内部,
⋅a
Γ 1
故可取很小的正数 ρ, 作Γ1
使 Γ1 : z − a = ρ 含在 Γ 内部,
由闭路变形原理， 由闭路变形原理， 1 1 ∫Γ ( z − a )n+1 dz = ∫Γ1 ( z − a )n+1 dz
∫C
f (z) f ( z0 ) dz 将接近于 ∫ dz . (δ 缩小) C z− z z − z0 0
1 f ( z0 ) dz = 2πif ( z0 ). dz = f ( z 0 ) ∫ C z− z z − z0 0
∫C
2.Cauchy积分公式 积分公式 2.
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析 , C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线 , 它的内部完全含 于 D , z0 为 C 内) 求积分
z=
1 ∫ 3 ( z 2 + 1)( z 2 + 4) dz
2
§3.6 解析函数的高阶导数
闭曲线， 闭曲线， 而且它的内部全含于 D，
上的解析函数， 设 f ( z )是区域 D上的解析函数，则 f ′( z )仍是区域
D上的解析函数 . 设C 为 D 内围绕 z0 的一条正向简单
α
β
柯西-古萨积分定理 柯西 古萨积分定理
上的解析函数， 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任一简单闭曲线 C , 有 ∫ f ( z )d z = 0 .
c
复合闭路定理 定理： 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
C 1 , C 2 , L , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交 , 并且以 C , C 1 , C 2 , L , C n 为边界的区域全含于 D ,
根据闭路变形原理知, 根据闭路变形原理知 的变化而改变, 求这个值. 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变 求这个值
积分曲线 C 取作以 z 0 为中心 , 半径为很小的 δ 的正向圆周 z − z 0 = δ ,
由 f ( z ) 的连续性 ,
在 C 上函数 f ( z ) 的值将随着 δ 的缩小而逐渐 接近于它在圆心 z0 处的值 ,
∫C udx − vdy + i ∫C vdx + udy
积分的计算
设C : z = z ( t ) = x ( t ) + iy( t ) (α ≤ t ≤ β )是一条光
滑曲线， 的终点， 滑曲线，z (α )是C的起点, z ( β )是C的终点，则
∫
C
f ( z )dz = ∫ f [ z ( t )]z′( t )dt .
故
1 2πi , n = 0 ∫ ( z − a ) n + 1 d z = 0, n ≠ 0. Γ
这一结果很重要。 这一结果很重要。
§3.4
原函数与不定积分
定理一 若函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内处处解析 ,
那末积分 C 无关 .
由此结论可知: 由此结论可知
z0 ⋅
C1
∫C f ( z )dz 与连结起点及终点的路 线
C2
o
1
2
x
ez 函数 在此圆环域和其边界 z 上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路 圆环域的边界构成一条复合闭路,
ez 根据闭路复合原理, 根据闭路复合原理 ∫ dz = 0. z Γ
2z − 1 ∫Γ z 2 − z dz , Γ 为包含圆周 yz = 1 在内的任何正向简单闭 曲线. C2 2z − 1 在复平面 解 因为函数 2 x o 1 z −z C1 内有两个奇点 z = 0 和 z = 1, Γ 包含这两个奇点， 依题意知, 在 Γ依题意知 Γ 包含这两个奇点， 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 C1 和 C 2 , C1 、C2分分只包含一个奇点,由复合闭路原理 2z − 1 2z − 1 2z − 1 ∫ z 2 − z dz = ∫ z 2 − z dz + ∫ z 2 − z dz Γ C1 C2 1 1 1 1 dz + ∫ dz + ∫ dz + ∫ dz = 0 πi2πi + 2πi + 0 =∫ 4+ . z −1 z z −1 z C1 C1 C2 C2
那末它就有无穷多个原函数: 那末它就有无穷多个原函数 F ( z ) + c (c 为任意常数 ) .
称为f ( z )的不定积分 ， 记作 ∫ f ( z )dz = F ( z ) + c
公式) 定理三 ( Newton-Leibniz 公式)
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数 , 那末
z
0
∫
z
z0
f (ζ )dζ
在B内确定了一个单值函数 F(z) = ∫z f (ζ )dζ 对这个函数我们有 如果f(z)在单连通域 内处处解析, 在单连通域B内处处解析 定理二 如果 在单连通域 内处处解析 则函数 F(z)必为 内的一个解析函数 并且 F '(z)=f(z). 必为B内的一个解析函数 必为 内的一个解析函数,
∫z
z1
0
f ( z )dz = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
说明: 有了以上定理, 说明: 有了以上定理 复变函数的积分就可以用 与微积分学中类似的方法去计算. 与微积分学中类似的方法去计算
证
为 因 ∫ f (z)dz 也 f (z)的 函 , 是 原 数
f ( z ) 的任何两个原函数相差
证
一个常数 .
设 G ( z ) 和 H ( z ) 是 f ( z ) 的任何两个原函数 , ′ 那末 [G ( z ) − H ( z )] = G ′( z ) − H ′( z )
= f (z) − f (z) ≡ 0
于是 G ( z ) − H ( z ) = c . (c 为任意常数 ) 根据以上讨论可知: 根据以上讨论可知 如果 f ( z ) 在区域 B 内有一个原函数 F ( z ),
C
D
C
D1
C1
C1
f ( z )dz
，，C 若把C，，C 1− 看成复合闭路 Γ，
则∫
Γ
f ( z )dz = 0
这就是复合闭路定理
典型例题
ez 例3 计算积分 ∫ Γ dz , Γ 为正向圆周 z = 2 和负 z y C1 向圆周 z = 1 所组成. 解 C1 和 C 2 围成一个圆环域 ,
则f ( z ) 在z0处的 n 阶导数为 :
f
( n)
n! f (z) ( z0 ) = ∫ ( z − z 0 ) n + 1 dz 2 πi C ( n = 1,2,L)