2.3 确定二次函数的表达式(第1课时)
确定二次函数的表达式(第一课时)优秀教案
确定二次函数的表达式（1）学习目标：1.能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式。
2.会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式。
3.经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法。
4.能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念。
5.养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识。
学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。
学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。
学习准备：导学案，ppt ，投影仪学习过程：一、 自主学习1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?4. 我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y (k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.待定系数法求函数解析式步骤：1、 2、 3、 4、如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)二、 互动交流：探究一：例1 已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.变式一：已知二次函数的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.变式二：二次函数的图象经过顶点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.引例如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？此题还有其他方法求解吗？探究二：例2 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.想一想结合探究一和探究二在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？三、达标练习：1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.3.已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为-2和1，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式.四、我的收获：(总结反思)总结：五、课后引导：课本习题 2.6 第1，2，3题。
确定二次函数的表达式(第1课时)课件
表达式 （第1课时）
学习目标
1.掌握由两点确定二次函数的表达式。
2.掌握用顶点法确定二次函数表达式。
3.掌握用交点法确定二次函数表达式。
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
图象特征
二次函数
y=a(x-h)2+k
开口方向
a>0
a<0
向上
向下
对称轴
顶点
直线x=h
(h,k)
1
4
1
，
4
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
归纳总结
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
自主合作，探究新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
2.3 确定二次函数的表达式(1)
0)，B(3，0)两点，； (2) 若直线 AM′ 与此抛物线的另一个交点为 C ， 求△ CAB 的面积；
(2)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点Q，
使得四边形 APBQ 为正方形？若存在 ， 求出此抛物线的表达式； 若不存在，请说明理由．
第2章 二次函数
2．3 确定二次函数的表达式
第1课时 已知图象上的两点求表达式
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法 求其表达式.
2 ． 已知抛物线y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示 ， 则该抛物线的 y＝2(x－1)2 ． 表达式为：______________
3 ．如图 ， 已知二次函数 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随
x的增大而增大时，x的取值范围是 1 x> _________ ． 2
• 3．已知二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，最低点到x轴的距离为2，且其图象 经过点(0，3)，求此函数的关系式．
例2、已知二次函数y=ax2+c的图象经过 （2,3）和（-1，-3），求这个二次函 数的表达式。
1 ．抛物线 y ＝ 2x2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 ( － 1 ， 0) ，
例1、一名学生推铅球时，铅球行进 的高度y与水平距离x之间的关系如图所示， 其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y 与x之间的关系吗？
1、已知某二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为
2 ． 已知二次函数的图象经过点 ( － 1 ， 3) ， 且它的顶点是原点，那么这个二次函数的
确定二次函数的表达式
2 初步探究
例 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和
（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数 y=ax2+c中，得 3=4a+c, －3=a+c, 解这个方程组，得 a=2, c=－5. ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5.
3 深入探究
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3） ， 因此设它的关系式为 y a( x 4)2 3 又∵图象过点（10，0） 2 ∴ (10 4) a 3 0 解得
数形结合思想
a 1 12
1 ( x 4) 2 3 12
∴图象的表达式为 y
确定二次函数的表达式需要几个条件？ 确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶 点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件 时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函 数的关系式.
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两 点就可以确定它的表达式？ 小结：1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）
和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的
表达式。
2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如 果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点 的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式.
4 反馈练习 1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过
点（1，-3），求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）
与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
2.3 确定二次函数的表达式 教案
一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称，如图．AB ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm.你能确定右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式 【类型一】 已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式，得a －2＝3，即a ＝5，∴此函数的解析式为y ＝5(x －1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题 【类型二】 已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A (－1，8)、B (3，0)、C (0，3)三点． (1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，再把A 、B 、C 三点坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝8，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型三】 已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式． (1)抛物线经过两点A (1，0)，B (0，－3)，且对称轴是直线x ＝2；(2)抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y ＝a (x －1)(x －3)，然后把B 点坐标代入求出a 即可；(2)可设交点式y ＝a (x ＋2)(x －4)，然后把点(1，－92)代入求出a 即可．解：(1)∵对称轴是直线x ＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式。
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》这一节主要介绍了二次函数的表达式以及如何确定二次函数的表达式。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的表达式以及确定方法具有重要意义。
本节课通过实例引导学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念有一定的了解。
同时，学生已经掌握了二次函数的一般形式，具备了一定的数学思维能力。
但是，对于如何确定二次函数的表达式，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生逐步掌握确定二次函数表达式的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：待定系数法确定二次函数的表达式。
2.教学难点：如何引导学生运用待定系数法确定二次函数的表达式，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次函数的一般形式，引导学生思考如何确定二次函数的表达式。
2.新课讲解：讲解待定系数法确定二次函数的表达式，并通过实例进行分析。
3.课堂互动：学生分组讨论，尝试运用待定系数法确定给定二次函数的表达式。
4.总结提升：教师引导学生总结确定二次函数表达式的步骤，并强调其在实际问题中的应用。
5.课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式课件北师大版
例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)，求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a=
1 ， ∴这条抛物线的表达
4
式为：y= 1 (x-4)2-1.
4
总结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通 常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总结
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个 单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平
移 后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
总结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标 及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移 后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一 个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、 纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求 其表达式时，一般采用二次函数的交点式．
三个
总结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有 几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条 件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫 待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
确定二次函数表达式
第二章二次函数2.3 确定二次函数的表达式（一）一、学生知识状况分析学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识。
并初步具备了敢于探究与实践，乐于合作交流，善于总结提升的良好习惯，自主学习的愿望强烈，主动发展的意识浓厚。
二、学习任务分析本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点。
本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，同时还要启迪学生的思维，引导和规范学生学习。
三、教学目标1、知识目标：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
2、技能目标：会用待定系数法求二次函数的表达式。
3、情感目标：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，加强学生的理想教育，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，真正实现“和谐高效、思维对话”，培养数学的应用意识。
四、教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节：小组讨论,引入课题；第二环节：问题思考；第三环节：合作学习；第四环节：巩固提高；第五环节：我的收获．环节一：小组讨论,引入课题如图 2-7 是一名学生推铅球时，铅球行进高度 y （m ）与水平距离 x （m ）的图象，你能求出其表达式吗？解：设函数表达式为：y ＝a(x-h)2＋k ，由图象得顶点是(4，3)。
则y ＝a(x-4)2＋3，图像经过点(10，0)，故0＝a(10-4)2＋3，a=121-所以函数表达式为y ＝121- (x-4)2＋3 观察图象可得该表达式是一个二次函数，已知二次函数顶点坐标（4,3）和与x 轴交点（10,0）。
联系之前所学二次函数顶点式方程y ＝a(x-h)2＋k 。
【课件】2.3.1确定二次函数的表达式上课课件
第1课时
已知图象上两点求表达式
解：(1)把 x＝0， y＝2 及 h＝2.6 代入到 y＝ a(x－6) ＋h， 1 即 2＝ a(0－6) ＋ 2.6，∴a＝－ ， 60
2
2
1 ∴y＝－ (x－6)2＋ 2.6. 60 1 (2) 当 h＝2.6 时，y＝－ (x－ 6)2＋2.6. 60 1 当 x＝ 9 时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45＞ 2.43， 60
h)2 ＋ k ； (2) 小题二次函数的二次项系数为 1 ， 可设为 y ＝ x2 ＋ bx ＋c；(3)小题其实是告诉二次函数 y＝ax2＋bx＋c中的c＝5，故 可设表达式为y＝ax2＋bx＋c.
第1课时
已知图象上两点求表达式
解：(1)设所求函数的表达式为 y＝ a(x－h)2＋ k. ∵图象顶点的坐标为( －2，3)， ∴y＝ a(x＋2) ＋ 3. 将(－ 1，5)代入上式，可得 5＝a(－1＋2) ＋ 3， ∴a＝ 2. ∴所求函数的表达式为 y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋ 8x＋11. (2) 设所求函数的表达式为 y＝x ＋ bx＋c. ∵图象经过(2，－1)与(3，2)两点，代入上式，得
(1) 图象的顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)； (2) 二次项系数为 1 ，且图象经过(2，－1)与(3，2)两点； (3) 图象与 x 轴交点的横坐标为－2 和 4，且经过点(0 ，5)．
第1课时
已知图象上两点求表达式
[ 解析 ] (1) 小题条件给出图象的顶点 ， 一般设为 y ＝ a(x －
C.b= - 8
D.b= - 8 ,
c= 18
2.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
2.3.1确定二次函数的表达式
b=-3, c=5.
因此，所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.
寻找规律
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？
1）顶点（1，-2）
2) 顶点（-1，2）
设y= a(x
设y= a(x
)2
)2
3）顶点（-1，-2）
4）顶点 （h, k）
设y= a(x
设y= a(x
)2
)2
寻找规律
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？
想一想
1、在什么情况下，已知二次函数图象上一点 的坐标就可以确定它的表达式？ 2、在什么情况下，已知二次函数图象上两点 的坐标就可以确定它的表达式？
达标测试
选择最优解法，求下列二次函数表达式：
1.(必做)已知抛物线的图象经过点(1,1)、(-1,-1)、(0,-2)， 设抛物线解析式为_______ ___. y=ax2+bx+c（a≠0 ） 2.(必做) 已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(-1,0) ,设 y=a(x+2)2+3（a≠0） 抛物线解析式为_________ ___. 3.(选做)已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)， 2+6（a≠0 设抛物线解析式为___ ____. y=a(x-h)__ ）
待定系数法
学习目标
1、会用待定系数法确定二次函数表 达式. 2、能根据抛物线上两个或三个点的 坐标，选择恰当的表达式确定二次函 数的表达式。
探究新知
例1（1）二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与y轴的交点坐标
（0，c） 是 ；已知二次函数y=x2+2x+c 的图象过（0，-3），则 c= -3 ，所以表达式为 y=- x2 + 2x-3 。 （2）已知二次函数y=ax2+c 的图象过点（2, 3）和（-1,-3）， 求这个二次函数的表达式。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版九年级数学下册第二章第三节的第一课时内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够根据实际问题确定二次函数的系数。
教材通过简单的实例引导学生探究二次函数的解析式，培养学生的探究能力和数学思维。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对函数有了初步的认识。
但是，对于二次函数的理解还需要进一步的引导和培养。
在导入环节，我会利用学生已有的知识基础，通过一次函数的图像引导学生思考二次函数的特点，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二次函数的解析式的概念，掌握二次函数的解析式的形式。
2.能够根据实际问题确定二次函数的系数。
3.培养学生的探究能力和数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式的概念和形式。
2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的系数。
五. 教学方法1.引导法：通过问题的引导，让学生主动探究二次函数的解析式。
2.实例分析法：通过具体的实例，让学生理解二次函数的解析式的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解二次函数的解析式。
2.实例素材：准备一些实际的例子，用于引导学生分析二次函数的解析式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一次函数的图像，引导学生思考二次函数的特点。
提出问题：“如果我们把一次函数的图像旋转90度，会得到怎样的图像？”让学生思考二次函数的图像特征。
2.呈现（10分钟）通过课件展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
解释二次函数的各个系数的含义，引导学生理解二次函数的解析式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际的例子，尝试确定二次函数的解析式。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）请各组学生汇报他们的讨论结果，教师点评并总结。
2.3第1课时由两点确定二次函数的表达式(教案)
3.数学建模：让学生学会运用数学建模方法，解决实际问题时能够将问题转化为数学问题，并用数学语言进行表达；
4.数形结合：培养学生通过图形直观地理解二次函数的性质，提高数形结合的能力过程中，学生可能会遇到的求解困难，如去括号、移项、合并同类项等。
（2）理解二次函数的顶点式：帮助学生理解顶点式y = a(x - h)^2 + k的含义，并与两点式求解方法相互转化。
难点举例：如何从两点式中推导出顶点式，以及理解顶点式中h、k的几何意义。
（3）数形结合能力的培养：引导学生通过观察图形，理解二次函数的性质，提高数形结合能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解由两点确定二次函数表达式的方法：强调两点式求二次函数的一般步骤，即根据给定的两点（x1, y1）和（x2, y2），建立方程组，解出二次函数的三个参数a、b、c。
举例：给定两点（1, 4）和（3, 0），求解过这两点的二次函数表达式。
（2）运用数形结合理解二次函数性质：通过绘制抛物线图形，让学生观察并理解二次函数的顶点、开口方向、对称轴等性质。
2.3第1课时由两点确定二次函数的表达式（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第三节“二次函数”，第1课时“由两点确定二次函数的表达式”。教学内容主要包括：1.理解由两点确定二次函数的一般方法；2.学会运用两点求解二次函数表达式；3.掌握如何将实际问题抽象为由两点确定二次函数模型。通过以下示例进行教学：
难点举例：如何根据图形判断抛物线的开口方向、顶点、对称轴等，以及将这些性质与二次函数表达式相互关联。
（4）解决实际问题时建模能力的培养：指导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并学会运用所学知识解决问题。
2.3确定二次函数的表达式
想一想
确定二次函数的表达式需要几个 条件？与同伴交流.
二次函数有如下三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0）
（3）两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0）
例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2， 3）和（-1，-3），求这个二次函数的表达 式.
2 已知二次函数y=ax +bx+c图象
上的三个点，可以确定这个二 次函数的表达式吗？
Hale Waihona Puke 例2 已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7） 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将三点（-1，10），（1，4），（2，7）的坐标 分别代入表达式，得
2.3确定二次函数的表 达式
学习方法报数学周刊
内容回顾
二次函数的意义
用描点法画出二次函数的图象
从图象上认识二次函数的性质
确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴
解决简单的实际问题
定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数.
一名学生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距 离x(m)之间的关系如图所示，你能求出y与x之 间的关系式吗？
所以这个二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的 坐标就可以确定它的表达式？ 二次函数y=ax2+bx+c可化为： y=a（x-h)2+k, 顶点是（h,k).如果已知顶点坐标，那么再知 道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二 次函数的表达式. 已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知 道图象上两的坐标，就可以确定这个二次函 数的表达式.
2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案
2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章第3节的内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。
教材通过实例引导学生探究二次函数的解析式，让学生在实际问题中体会数学的应用价值。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本概念，并了解了一次函数和正比例函数的解析式。
因此，学生在学习本节课时，具备了一定的数学基础。
但部分学生对于待定系数法求解二次函数解析式的理解可能存在困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例和讲解，帮助他们理解和掌握待定系数法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。
2.过程与方法：通过探究二次函数的解析式，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式及其求解方法。
2.难点：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生探究二次函数的解析式；以实际案例为例，讲解待定系数法的运用；小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生探究二次函数的解析式。
2.准备PPT，展示二次函数的图像和解析式。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。
然后提出问题：“如何表示这个二次函数？”引发学生的思考。
2.呈现（15分钟）通过PPT呈现二次函数的解析式，解释二次函数的各个系数代表的意义。
同时，引导学生观察解析式与图像之间的关系。
3.操练（20分钟）以实际案例为例，讲解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
北师大版九年级数学下 2.3 确定二次函数的表达式1 教案
2.3 确定二次函数的表达式1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点)2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点)一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，如图．AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm.你能确定右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式【类型一】已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，∴此函数的解析式为y＝5(x－1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A(－1，8)、B(3，0)、C(0，3)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y＝ax2＋bx＋c，再把A、B、C三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a－b＋c＝8，9a＋3b＋c＝0，c＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－4，c＝3.所以抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．(1)抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2；(2)抛物线与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y＝a(x－1)(x－3)，然后把B点坐标代入求出a即可；(2)可设交点式y＝a(x＋2)(x－4)，然后把点(1，－92)代入求出a即可．解：(1)∵对称轴是直线x＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式本节课首先解决有一个系数待定的情况，让绝大部分学生掌握，对于两个系数待定的情况，让中等偏上的学生掌握，学习能力较差的学生慢慢体会，等教学活动结束之后，再跟踪练习，加上教学活动的归纳，就可以让不同水平的学生先后得到提高．但是在教学活动由于过多分析待定系数的情况，导致系数待定的实际应用题的分析得不够彻底.。
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a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以
确定这个二次函数的关系式.
4 反馈练习 1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点
（1，-3），求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）
与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
3.已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为-2和1，
你能否总结出上述解题的一般步骤?
(1)设二次函数的表达式；
(2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)；
(3)解方程（或方程组）,求出待定系数；
(4)答：写出二次函数的表达式.
布置作业 6
课本 习题2.6 第1，2，3题;
a 1 12
1 ( x 4) 2 3 12
∴图象的表达式为 y
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴或小 组交流。 确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c为常 数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐 标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时， 用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的 关系式.
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式 （第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课时）
1 复习引入
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c
(a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k
(a ≠0)
1 复习引入
3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为 常数，k≠0)的关系式时，通常需要
且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式.
答 案
1. y ( x 1) 1,
2
2. y x x 1,
2
1 3. y （x 2）（x - 1) 2 1 1 x 2 x 1. 2 2
5 总结提升 1.通过上述问题的解决,您能体会到求二次 函数表达式采用的一般方法是什么? （待定系数法）
3 深入探究 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经 过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表 达式.
解：因为抛物线与 y 轴交点纵坐标为 1，所以设抛物 分析：设二次函数式为2 y=ax²+bx+c，确定这个二次函数需 y axa,b,c bx 1, 线关系式为 要三个条件来确定系数 的值，由于这个二次函数图 象与y轴交点的纵坐标为 1，所以c=1，因此可设 ∵经过点 (2,5)和(-2,13), y=ax²+bx+1把已知的两点代入关系式求出a,b的值即可。 ∴ 4a 2b 1 5,
2
解方程组得：a=2,b=-2，c=1 ∴这个二次函数关系式为 y 2 x 2 2 x 1
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就 可以确定它的表达式？
小结：1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图 象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。
2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数
2 个独立的
k 条件.确定反比例函数 y （k≠0)关系式时，通 x
常需要
1
个条件.
如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，
a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？
2 初步探究
如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水 平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3） ， 因此设它的关系式为 y a( x 4)2 3 又∵图象过点（10，0） 2 ∴ (10 4) a 3 0 解得
4a 2b 1 13,
解得：a=2,b=-2. ∴这个二次函数关系式为
y 2x2 2x 1 .
3 深入探究 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经 过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表 达式。 解法2
分析：设二次函数式为y=ax²+bx+c y ax，确定这个二次函数需 bx c ,由题意可 解：设抛物线关系式为 要三个条件来确定系数a,b,c的值，由于这个二次函数图 知，图象经过点（ 0，1 ，(2,5)和(-2,13) 象与y轴交点的纵坐标为 1） ，所以过点（ 0，1），因此可把 c 1 三点坐标代入关系式 ,求出a,b，c的值即可。 ∴ 4a 2b c 5 4a 2b c 13
2 初步探究 例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和 （－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次 函数y=ax2+c中，得 3=4a+c, －3=a+c, 解这个方程组，得 a=2, c=－5. ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5.