芝诺介绍

《庄子· 天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭。” 芝诺与庄子悖论的区别为芝诺悖论一定时间内行 走的距离不变（即速度不变），而庄子时间不变， 这段时间里的工作却越来越少（速度越来越慢）， 可以看出芝诺限制了时间，而庄子的理论可以使 时间为无穷大。

二分说
2015-1-2
追龟说
芝诺
埃利亚的芝诺（Zeno of Elea,生于大约公元前500年），希腊哲 学家，巴门尼德的学生。芝诺在逻辑论证技巧，或者辩证方法论方 面的贡献而著称。

巴门尼德
认为时空中的变化和多样 性是一种纯粹的幻象，实 在或存在是不动的并且是 不可分割的整体。
芝诺
试图揭示持实在变化和 多样性的观念将导致逻 辑上的矛盾，或悖论。

飞箭静止说
2015-1-2

箭悖论的标准解决方案如下：箭在每个时刻都不 动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里 发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如 果一个物体在相邻时刻在相同的位置，那么我们 说它是静止的，反之它就是运动的。
飞箭静止说
2015-1-2
“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同 的空间里时(没有越出它)，它是静止着．如果位 移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间， 那么飞着的箭是不动的．” 亚里士多德接着批驳说：“他的这个说法是错误 的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的， 正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的 那样．”又说：“这个结论是因为把时间当作是 由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前 提，这个结论是不会出现的．”
功绩
2015-1-2
评价
英国数学家B．罗素(Russell)感慨地说：“在这个 变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化 无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品 莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微 妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称 他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是 一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后，这些 “诡辩”才得以正名，…。”
人物简介
国籍：意大利 职业：数学家，哲学家 师承：巴门尼德 代表作品：《论自然》 芝诺悖论
悖论

指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面 上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现 往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻 正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻， 对它 们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等 理论学科的发展，因此具有重要意义。
追龟说
2015-1-2


设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个 特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有 时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻， 而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭 总是静止的，它不可能在运动。 上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情 况，时刻将是时间的最小单元。假设箭在这样一个时刻 中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间 的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点，从 而至少包含两部分。但这明显与时刻是时间是的最小单 元这一前提相矛盾。因此，即使时刻有持续时间，飞行 的箭也不可能在运动。总之，飞矢不动。
类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可 以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程 组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出 了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里 斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我 们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终 是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的 悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面 说到无穷个步骤是难以完成。

飞箭静止说

以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。 悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差 甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系 统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而 芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将 时间间隔取得再小，整个时间轴仍是由无限的时 间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将 时间间隔取为无穷小的极限。
芝诺悖论
2015-1-2
二分说
芝诺：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的 1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的 1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2， 时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......， 则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的 地距离可以为任意小，却到不了。实际上是这个 悖论本身限定了时间，当然到达不了。 芝诺说“你不可能在有限的时间里穿过这个确定 的距离”

追龟说


有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶 不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点， 而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有 新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。 芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑 到终点。
追龟说
2015-1-2

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体 追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点， 此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者 总是在追赶者前面。” 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至 的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来 嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 10.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑 他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0" 思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门 尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。
2015-1-2

当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻 读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间 里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主 要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的 数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷 小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻， 很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。
2015-1-2
被亚里士多德誉为辩证法的发明人 黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主 要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺谢谢！
2015-1-2
功绩
”芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续 和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩 证的考察．虽然不能肯定他对古典希腊数学的发 展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然 的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候， 因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝 诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很 自然地热烈讨论起芝诺悖论来。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌 龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面 100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。 因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发 点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前 爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时， 乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向 那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点， 它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管 这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬， 阿基里斯就永远也追不上乌龟！
飞箭静止说
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？” “那还用说，当然是动的。” “确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支 箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？” “有的，老师。” “在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？” “有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。” “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？” “不动的，老师” “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？” “也是不动的，老师” “所以，射出去的箭是不动的？”
最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等。

这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而 为后人所知。[2]芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴 门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著 名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。 这些方法可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法 用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延 （如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段 组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承 认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决， 是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的 分歧点。