百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第三模

百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第
三模拟）
一、选择题：共12题
1．已知全集U=R,集合A={x|x2-x>0},B={x|ln x≤0},则(∁U A)∩B=
A.(0,1]
B.(0,1)
C.∅
D.(-∞,0)∪[1,+∞)
【答案】A
【解析】本题考查一元二次不等式和对数不等式的解法以及集合的交、补运算.解题时,先求出对应不等式的解集,然后根据数轴确定两个集合的运算.
由已知得A=(-∞,0)∪(1,+∞),∴∁U A=[0,1],又B=(0,1],∴(∁U A)∩B=(0,1],故选A.
2．已知i为虚数单位,若复数z=的虚部为-3,则a=
A.2
B.4
C.5
D.7
【答案】C
【解析】本题主要考查复数的虚部、复数的运算,考查考生灵活运用知识的能力和运算求解能力.先根据复数的运算法则将z=化简,然后利用复数的虚部的定义列出方程,求出a的值.
∵z=- i,∴-=-3,∴a=5,故选C.
3．若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)
B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0)
【答案】C
【解析】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定,考查考生对基础知识的掌握情况.
定义域为R的偶函数的定义:∀x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,所以它的否定为特称命题:∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故选C.
4．某饮料店某5天的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间的数据如下表:
甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y之间的四个线性回归方程:①=-x+3,②=-x+2.8,③=-x+2.6,④=-x+2.4,其中正确的方程是
A.①
B.②
C.③
D.④
【答案】B
【解析】本题主要考查统计中线性回归分析的有关知识, 考查考生的理解能力和计算能力.本题只要抓住点(,)一定在回归直线上,就容易检验出结果.
由数据可得(-2-1+0+1+2)=0,(5+4+2+2+1)=2.8,又回归直线经过点(0,2.8),代入验证可知直线=-x+2.8成立,故选B.
5．已知sin(+θ)=-,则2sin2-1=
A. B.- C. D.±
【答案】A
【解析】本题主要考查诱导公式、二倍角公式等,考查考生的运算能力.
通解,∵sin(+θ)=-,∴cosθ=-,∴2sin2-1=-cosθ=,故选A.
优解,特殊值法,取+θ=,∴θ=,2sin2-1=2×()2-1=,故选A.
6．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线3x-4y-5=0垂直,则双曲线的离心率为
A.或
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、基本量之间的关系,考查考生的运算求解能力. 直线3x-4y-5=0的斜率为,∴双曲线的一条渐近线的斜率为-,即-=-,∴b=a,∴c=a,∴e=,故选C.
7．已知x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为
A.8
B.7
C.6
D.5
【答案】D
【解析】本题主要考查线性规划的应用,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x+y,即y=-x+z,显然当直线经过点A时,z的值最大,由可得,即A(3,1),故z max=
×3+1=5,选D.
8．如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A.+4
B.2π+
C.+4
D.π+
【答案】D
【解析】本题考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等,考查空间想象能力和基本的运算能力等.首先根据三视图确定几何体的结构特征,然后根据三视图中的数据确定几何体的几何量,最后求解几何体的体积即可.
由三视图可知,该几何体是一个半圆柱与一个四棱锥的组合体,如图所示,其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面,顶点P在半圆柱所在圆柱OO1的底面圆上,且点P在AB上的射影为底面圆的圆心O.
由三视图中的数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r=1,母线长l=2,故半圆柱的体积V1=
πr2l=π×12×2=π;四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,PO⊥底面ABCD,且PO=r=1,
故其体积V2=S正方形ABCD×PO=×22×1=.故该几何体的体积V=V1+V2=π+.
9．阅读程序框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所组成的集合为
A.{1,2,3}
B.{2,3,4}
C.{2,3}
D.{1,2}
【答案】C
【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的逻辑思维能力和运算能力.解题的关键是读懂程序框图.
通解要使输出的结果中有且只有三个自然数,只能是5,4,2,所以应使5≤<10,解得1<n0≤3,即n0=2,3,所以输入的自然数n0的所有可能值为2,3,故选C.
优解代入验证法,当n0=1时,输出的结果是10,5,4,2,排除选项A,D,当n0=4时,输出的结果是4,2,排除选项B,故选C.
10．已知函数f(x)=a sin x-b cos x(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最小值,则函数y=|f(-x)|的
A.最大值为a,且它的图象关于点(π,0)对称
B.最大值为a,且它的图象关于点(,0)对称
C.最大值为b,且它的图象关于直线x=π对称
D.最大值为b,且它的图象关于直线x=对称
【答案】C
【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质等知识,考查考生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.先由条件求出a与b的关系,再进行三角恒等变换,然后由函数的表达式进行求解.
由条件得f()=f(0),∴a=-b,∴f(x)=a sin x+a cos x=a sin(x+),又f(x)在x=处取得最小值,∴a<0,b>0,∴y=|f(-x)|=|a sin(-x+)|=|a sin x|=b|sin x|,故选C.
11．设等比数列{a n}的前n项和为S n,则M=+,N=S n(S2n+S3n)的大小关系是
A.M≥N
B.N≥M
C.M=N
D.不确定
【答案】C
【解析】本题考查等比数列的性质.解题的关键是熟练掌握等比数列的性质,且能进行准确计算.
对于等比数列1,-1,1,-1,1,-1,…,S2k=0,S4k-S2k=0,S8k-S4k=0,令n=2k,此时有M=N=0; 对于
S n,S2n-S n,S3n-S2n,…,各项均不为零时,∵等比数列{a n}的前n项和为S n,设{a n}的公比为q,∴
S n,S2n-S n,S3n-S2n是一个公比为q n的等比数列,∴S2n-S n=S n×q n,S3n-S2n=S n×q2n,∴
M=+×[1+(1+q n)2]=×(2+2q n+q2n)=S n×(S2n+S3n)=N.由上可知,M=N,选C.
12．已知函数f(x)=,若方程f(x)-kx+k=0有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是
A.(-1,-]
B.[-,0)
C.[-1,+∞)
D.[-,+∞)
【答案】B
【解析】本题主要考查分段函数、方程的根等知识,考查考生对数形结合思想的运用能力.
要使方程f(x)-kx+k=0有两个不同的实数根,则函数y=f(x)和y=k(x-1)的图象有两个不同的交点,而f(x)=,画出图象,由于y=k(x-1)过定点(1,0),要使两函数y=f(x)和y=k(x-1)的图象有两个不同的交点,则由图象可知-≤k<0,故选B.
二、填空题：共4题
13．已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且(3a-2b)⊥a,则a与b的夹角θ的大小为.
【答案】
【解析】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量垂直的充要条件,考查考生的运算求解能力.
由题意知(3a-2b)·a=3a2-2a·b=0,即3-2×1×cosθ=0,解得cosθ=,由于0≤θ≤π, 因此θ=.
14．已知函数f(x)=log3(a>0)是奇函数,则使不等式f(x)>1成立的x的取值范围为.
【答案】(1,2)
【解析】本题主要考查奇函数的定义及对数不等式的解法,考查考生的运算求解能力.解决本题的关键是求出a的值.
由题意得f(-x)+f(x)=log3+log3=0,即a2-x2=1-x2,∴a=1或a=-1(舍去),∴log3>1,∴1<x<2.
15．已知点P是抛物线C1:y2=4x上的动点,过点P作圆C2:(x-3)2+y2=2的两条切线,则两切线夹角的最大值为.
【答案】
【解析】本题主要考查抛物线的性质、圆的切线的性质以及函数的最值等有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
由已知得,圆心C2(3,0),半径为 .设点P(,y0),两切点分别为A,B,要使两切线的夹角最大,只需
|PC2|最小,|PC2|=,当=4时,|PC2|min=2,∴∠APC2=∠BPC2=,∴∠APB=.
16．在△ABC中,A=120°,AB=,角B的平分线BD=,则BC=.
【答案】
【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理等知识,意在考查考生的运算求解能力及应用能力.本题先利用正弦定理求出∠ADB,得∠ABC=∠ACB,进而得两边相等,最后用余弦定理求解.
在△ABD中,由正弦定理得,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=45°,∴∠ABD=15°,∴∠ABC=30°,∴∠ACB=30°,∴AC=AB=,∴在△ABC中,由余弦定理得BC=
.
三、解答题：共8题
17．设数列{a n}的前n项积为T n,且T n+2a n=2(n∈N*).
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)设b n=(1-a n)(1-a n+1),求数列{b n}的前n项和S n.
【答案】(1)∵T n+2a n=2,∴当n=1时,T1+2a1=2,∴T1=,即.
又当n≥2时,T n=2-2×,得T n·T n-1=2T n-1-2T n,
∴-,
∴数列{}是以为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)知,数列{}为等差数列,∴+(n-1)=,
∴a n=,
∴b n=(1-a n)(1-a n+1)=-,
∴S n=(-)+(-)+…+(-)=- .
【解析】本题考查数列的基础知识,考查等差数列的定义、通项公式,前n项和的求法等,考查考生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.第(1)问根据已知条件得出数列{}为等差数列;第(2)问利用裂项相消法求和.
【备注】近几年的高考数列试题以等差、等比数列为载体,考查等差、等比数列的判断,求数列的通项公式和前n项和,考查数列的基础知识和逻辑推理能力.在复习数列知识的过程中,
要求考生掌握好求数列的通项公式和前n项和的基本方法,重视等差数列、等比数列与函数、不等式等知识的综合问题,学会运用函数的观点、分类讨论与等价转化的思想方法分析问题和解决问题,提高运算能力.
18．某校拟举办“成语大赛”,高一(1)班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试,在相同的测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)的茎叶图如图所示.
(1)你认为选派谁参赛更好?并说明理由;
(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析,求抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率.
【答案】(1)由茎叶图可知,甲的平均成绩为=73.8(分),乙的平均成绩为=82.8(分),乙的平均成绩大于甲的平均成绩,
又甲的成绩的方差为×[(58-73.8)2+(55-73.8)2+(76-73.8)2+(88-73.8)2+(92-73.8)2]=228.16,
乙的成绩的方差为×[(65-82.8)2+(82-82.8)2+(87-82.8)2+(85-82.8)2+(95-82.8)2]=97.76,
乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差,
因此选派乙参赛更好.
(2)设事件A:抽到的2次成绩中至少有1次高于90分.
从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次,所有的基本事件为
{58,65},{58,82},{58,87},{58,85},{58,95},
{55,65},{55,82},{55,87},{55,85},{55,95},
{76,65},{76,82},{76,87},{76,85},{76,95},
{88,65},{88,82},{88,87},{88,85},{88,95},
{92,65},{92,82},{92,87},{92,85},{92,95},
共25个.
事件A包含的基本事件为
{58,95},{55,95},{76,95},{88,95},
{92,65},{92,82},{92,87},{92,85},{92,95},
共9个.
所以P(A)=,即抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率为.
【解析】本题考查茎叶图、平均数、方差以及古典概型,考查考生分析问题、解决问题的能力及计算能力.第(1)问对数据进行分析得出结论;第(2)问利用列举法,借助古典概型的概率计算公式进行求解.
【备注】在古典概型条件下,当基本事件总数为n时,每一个基本事件发生的概率均为,要求事件A的概率,关键是求出基本事件总数n和事件A所包含的基本事件数m,再由古典概型的概率计算公式P(A)=求出事件A的概率.含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质求解.
19．如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=3,∠ACB=90°,又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上, 且BC=3B
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(2)求三棱锥B1-ABC1的体积.
【答案】(1)∵点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,
∴B1D⊥平面ABC,∵AC⊂平面ABC,∴B1D⊥AC,
又∠ACB=90°,∴BC⊥AC,
又B1D∩BC=D,∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)∵B1D⊥平面ABC,∴B1D⊥BC,又BD=1,B1B=AA1=3,
∴B1D==2,
∴四边形B1BCC1的面积=3×2=6,
∴=3.
由(1)知AC⊥平面BB1C1C,故三棱锥A-B1BC1的高为AC=3,
∴×3×3=3.
【解析】本题主要考查空间几何体中线面垂直的判定、体积的计算,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力及转化与化归思想.第(1)问关键是找到线线垂直,从而得出线面垂直;第(2)问利用等体积法求解.
【备注】立体几何试题在高考中主要考查线面平行、线面垂直的证明,体积、距离的计算.证明一般是判定定理和性质定理的运用,如要证线面平行,先找线线平行,然后利用判定定理证明.多面体体积的计算问题关键是运用化归与转化思想找对底面积和高.
20．已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=4,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知动直线l1(斜率存在)与椭圆E交于P,Q两个不同的点,且△OPQ的面积S△OPQ=1,若N 为线段PQ的中点,问:在x轴上是否存在两个不同的定点A,B,使得直线NA与NB的斜率之积为定值?若存在,求出A,B的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离d=,则直线l被圆O截得的弦长为2,所以b=1,
∵e=,b=1,∴a2=4,b2=1,
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l1的方程为y=kx+m,
由,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,则判别式Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,∴m2<1+4k2,
x1+x2=-,x1x2=,
|PQ|=·|x1-x2|=,
原点O到直线l1的距离d1=,
则S△OPQ=|PQ|·d1==1,
∴2|m|·=1+4k2,令1+4k2=n,则2|m|·=n,
∴n=2m2,1+4k2=2m2.
∵N为PQ的中点,∴x N==-,y N=,
∵1+4k2=2m2,∴x N=-,y N=,∴+2=1.
假设在x轴上存在两个不同的定点A(s,0),B(t,0)(s≠t)满足题意,
则直线NA的斜率k1=,直线NB的斜率k2=,
∴k1k2=·=-· .
当且仅当s+t=0,st=-2时,k1k2=-,
则s=,t=-或s=-,t=,
综上所述,存在两个不同的定点A(,0),B(-,0)或A(-,0),B(,0),使得直线NA与NB的斜率之积为定值.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、性质,考查直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想.
【备注】近几年的高考题中,解析几何一般重点考查圆锥曲线的方程、几何性质和与其他图形结合的综合运用等.第(1)问都是简单的求解方程和离心率,属于送分题;第(2)问重点考查思想方法,一般要利用化归与转化思想和设而不求的思想,需利用坐标将问题转化为比较熟悉的弦长问题、距离问题、方程问题等,然后解决.
21．已知函数f(x)=mx--ln x(m∈R),g(x)=+ln x.
(1)若f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求实数m的取值范围;
(2)设h(x)=,若在[1,e]上至少存在一个实数x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)f(x)-g(x)=mx--2ln x,所以[f(x)-g(x)]'=,
因为f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,
所以mx2-2x+m≥0或mx2-2x+m≤0在[1,+∞)上恒成立.
mx2-2x+m≥0等价于m≥,
,[]max=1(当且仅当x=1时等号成立),所以m≥1.
mx2-2x+m≤0等价于m(1+x2)≤2x,即m≤在[1,+∞)上恒成立,
而∈(0,1],所以m≤0.
综上,m的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x)=mx--2ln x-,
当m≤0时,x∈[1,e],mx-≤0,-2ln x-<0,
所以此时在[1,e]上不存在x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立.
当m>0时,F'(x)=m+-+,
因为x∈[1,e],所以2e-2x≥0,mx2+m>0,所以F'(x)>0在[1,e]上恒成立,
故F(x)在[1,e]上单调递增,F(x)max=m e--4,
所以只需m e--4>0,解得m>,
故实数m的取值范围是(,+∞).
【解析】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想的应用.第(1)问利用导数研究函数的单调性;第(2)问构造函数,利用分类讨论思想求解.
【备注】导数是高考对函数知识考查的重点之一,通常作为压轴题,主要包括极值、最值的求解,不等式的综合,单调性的探讨,导数的几何意义等,常以导数为工具研究函数的图象与性质,并常以方程的根、不等式恒成立、不等式有解相结合的形式出现,解题的关键是正确求导,并注意分类讨论和数形结合思想的运用.
22．如图,四边形ABCD内接于圆O,且对边BA和CD的延长线相交于点E,P是BC延长线上的点,过点P作圆O的切线,切点为F,连接PE,且PE=PF.
求证:(1)AD∥PE;
(2) .
【答案】(1)∵PF是圆O的切线,
∴PF2=PB·PC,
∵PE=PF,∴PE2=PB·PC,即,
又∠EPB=∠CPE,∴△EPB∽△CPE,∴∠EBP=∠CEP.
又四边形ABCD内接于圆O,∴∠ADE=∠EBP,
∴∠ADE=∠CEP,∴AD∥P E.
(2)∵△EPB∽△CPE,∴,
又PE=PF,∴,
∵PF是圆O的切线,∴∠PBF=∠PFC,
又∠BPF=∠CPF,∴△PBF∽△PFC,∴,
∴ .
【解析】本题主要考查平面几何中圆的切线的性质、圆内接四边形的性质与相似三角形的证明,考查考生的转化与化归能力、推理论证能力.第(1)问运用圆的切割线定理进行三角形相似的证明,从而得到线线平行;第(2)问借助弦切角定理证明相等关系,证明三角形相似, 从而得
到线段成比例.
【备注】几何证明选讲要求考生掌握好几个重要定理:直角三角形的射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、相交弦定理与切割
线定理.这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决,因此在复习时要注意总结一些添加辅助线的方法和技巧.
23．已知曲线C1的参数方程为(t为参数), 以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.
(1)求证:曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0;
(2)设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.
【答案】(1)∵ρ=,
∴ρ-ρcosθ=2,即ρ=ρcosθ+2,
∴ρ2=(x+2)2,化简得y2-4x-4=0.
∴曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0.
(2)∵(t为参数),
∴2x+y+4=0,
∴曲线C1的普通方程为2x+y+4=0,
∴曲线C1是直线2x+y+4=0.
∵M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,
∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.
设M2(r2-1,2r),M2到直线2x+y+4=0的距离为d,
则d=≥.
∴|M1M2|的最小值为.
【解析】无
24．已知函数f(x)=|2x-a|.
(1)若f(x)<b的解集为{x|-1<x<2},求实数a,b的值;
(2)若a=2时,不等式f(x)+m≥f(x+2)对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)∵|2x-a|<b,∴<x<,
∵f(x)<b的解集为{x|-1<x<2},
∴,∴ .
(2)由已知,得m≥f(x+2)-f(x)=|2x+2|-|2x-2|对一切实数x均成立,
又|2x+2|-|2x-2|≤|(2x+2)-(2x-2)|=4,
∴m≥4.
【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查考生的转化能力和计算能力.
【备注】对于带有绝对值的不等式的求解,要掌握好三种方法:一是根据绝对值的几何意义,
借助于数轴的直观解法;二是根据绝对值的意义,采用零点分段法去绝对值后,转化为不等式
组的方法;三是构造函数,利用函数图象求解的方法.在解题过程中,应根据不同的问题情境灵活运用这些方法.。