重庆珊瑚中学八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

重庆珊瑚中学八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
一、压轴题
1．已知，如图1，直线l2⊥l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C 不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3⊥l1，点E在直线l3上，点D的下方．
（1）l2与l3的位置关系是；
（2）如图1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，则∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如图2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G．试说明：∠DGF＝∠DFG；
（4）如图3，若∠DBE＝∠DEB，点C在射线AM上运动，∠BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索∠N:∠BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．
2．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；
（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=2
9
CP，求
PF
AF
的值．
（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）
3．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论
证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．
4．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
（深入探究）
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．
5．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝30°，则∠ACD 的度数是度；
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分别为D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数；
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．
6．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
7．（1）问题发现．
如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ∆∆≌．
②求AEB ∠的度数．
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究．
如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．
①请判断AEB ∠的度数为____________．
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）
8．请按照研究问题的步骤依次完成任务．
（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D ．
（简单应用）
（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P 的度数为 ； （拓展延伸） （4）在图4中，若设∠C=x ，∠B=y ，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13
∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为 （用x 、y 表示∠P ） ；
（5）在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、D 的关系，直接写出结论 ．
9．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，()
0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．
（1）求点C 的坐标；
（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿x 轴正方向向终点C 运动，设运动时间为t 秒，点P 到直线AC 的距离PD 的长为d ，求d 与t 的关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P 到AC 的距离PD 为33AP ，作ACB ∠的平分线分别交PD 、PA 于点M 、N ，求MN 的长．
10．Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α．
（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ； （3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
11．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．
（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．
12．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
13．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，
∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．
14．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED EC
，试确定线段AE与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点E 为AB 的中点时，如图（2），确定线段AE 与DB 的大小关系，请你写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．理由如下：
如图（3），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你将剩余的解答过程完成） （3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若△ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
15．（阅读材料）：
（1）在ABC ∆中，若90C ∠=︒，由“三角形内角和为180°”得
1801809090A B C ∠︒+∠=-∠︒︒-=︒=．
（2）在ABC ∆中，若90A B ∠+∠=︒，由“三角形内角和为180°”得
180()1809090C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
（解决问题）：
如图①，在平面直角坐标系中，点C 是x 轴负半轴上的一个动点．已知//AB x 轴，交y 轴于点E ，连接CE ，CF 是∠ECO 的角平分线，交AB 于点F ，交y 轴于点D ．过E 点作EM 平分∠CEB ，交CF 于点M ．
（1）试判断EM 与CF 的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E 点作PE ⊥CE ，交CF 于点P ．求证：∠EPC=∠EDP ；
（3）在（2）的基础上，作EN 平分∠AEP ，交OC 于点N ，如图③．请问随着C 点的运动，∠NEM 的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．
16．在△ABC 中，已知∠A ＝α．
（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．
17．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。

①当50A ︒∠=时，则BOC ∠=
②当A α∠=时，求BOC ∠的度数（用含α的代数式表示）﹔
（2）应用：如图2，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OB 上运动（点B 不与点O 重合），延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于E F 、，在AEF ∆中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.
18．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方
向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．
（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；
（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；
（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
19．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．
解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则
∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．
20．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．
（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；
（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13
，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小
内角的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题
1．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，1 2
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．【详解】
解：（1）直线l2⊥l1，l3⊥l1，
∴l2∥l3，
即l2与l3的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行；
（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝1
2
BCD，
∵∠BCD＝70°，
∴∠DCE＝35°，
∵l2∥l3，
∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案为：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BCF+∠AGC＝90°，
∵CD⊥BD，
∴∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠AGC＝∠CFD，
∵∠AGC ＝∠DGF ，
∴∠DGF ＝∠DFG ；
（4）∠N :∠BCD 的值不会变化，等于12；理由如下： ∵l 2∥l 3，
∴∠BED ＝∠EBH ，
∵∠DBE ＝∠DEB ，
∴∠DBE ＝∠EBH ，
∴∠DBH ＝2∠DBE ，
∵∠BCD+∠BDC ＝∠DBH ，
∴∠BCD+∠BDC ＝2∠DBE ，
∵∠N+∠BDN ＝∠DBE ，
∴∠BCD+∠BDC ＝2∠N+2∠BDN ，
∵DN 平分∠BDC ，
∴∠BDC ＝2∠BDN ，
∴∠BCD ＝2∠N ，
∴∠N :∠BCD ＝
12． 【点睛】
本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．
2．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）
75
【解析】
【分析】
（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒； （2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC 为等边三角形，
∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，
在BCE 和CAD 中，
60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴ BCE CAD ≌（SAS ），
∴∠BCE =∠DAC ，
∵∠BCE +∠ACE =60°，
∴∠DAC +∠ACE =60°，
∴∠AFE =60°．
（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，
∴∠AHF =90°，
在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，
∴∠FAH =30°，
∴AF =2FH ，
∵ EBC DCA ≌，
∴EC =AD ，
∵AD =AF +DF =2FH +DF ，
∴2FH +DF =EC ．
（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，
∵∠AFK =60°，AF =KF ，
∴△AFK 为等边三角形，
∴∠KAF =60°，
∴∠KAB =∠FAC ，
在ABK 和ACF 中，
AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =
∴∠AKB =∠AFC =120°，
∴∠BKE =120°﹣60°=60°，
∵∠BPC =30°，
∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79
PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-
= ∴77955
9
CP PF AF CP == . 【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
3．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .
证明：∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴DF ＝BD
∵点D 是BC 的中点
∴BD ＝CD
∴DF ＝CD
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝
＝ ∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点
∴AD ⊥BC
∴90ADC ∠︒＝
∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝
∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝
在ADF ∆与EDC ∆中
AFD ECD DF CD
ADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌
∴AD ＝DE ；
（2）结论：AD ＝DE .
证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F
∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴BF ＝BD
∴AF ＝DC
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝
＝ ∵∠ADC 是ABD ∆的外角
∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋
∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋
∴∠FAD ＝∠CDE
在AFD ∆与DCE ∆中
AFD DCE AF CD
FAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌
∴AD ＝DE ；
（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.
证明：∵BC CD =
∴AC CD =
∵CE 平分ACD ∠
∴CE 垂直平分AD
∴AE =DE
∵60ADE ∠=︒
∴ADE ∆是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
4．（1）HL ；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；
（2）过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作FH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH ，再利用“角角边”证明△CBG 和△FEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH ，再利用“HL ”证明Rt △ACG 和Rt △DFH 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D ，然后利用“角角边”证明△ABC 和△DEF 全等；
（3）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B 不小于∠A 即可．
【详解】
（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL ．
（2）证明：如图①，分别过点C 、F 作对边AB 、DE 上的高CG 、FH ，其中G 、H 为垂足． ∵∠ABC 、∠DEF 都是钝角
∴G、H分别在AB、DE的延长线上．
∵CG⊥AG，FH⊥DH，
∴∠CGA＝∠FHD＝90°．
∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，
∴∠CBG＝∠FEH．
在△BCG和△EFH中，
∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，
∴△BCG≌△EFH．
∴CG＝FH．
又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．
∴∠A＝∠D．
在△ABC和△DEF中，
∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF．
（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
5．探究：30；（2）拓展：20°；（3）应用：120
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；
（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；
故答案为：30，
（2）∵BE⊥CP，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CBE＝70°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，
∵AD⊥CP，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；
（3）∵∠ADP是△ACD的外角，
∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，
同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，
∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+
（∠CBE+∠BCE）＝120°，
故答案为120．
【点睛】
此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．
6．（1）（1）①125°；②
1
90
2
α
︒+，（2）
1
BFC
2
α
∠=；（3）
1
BMC90
4
α
︒
∠=+
【解析】
【分析】
（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；
②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC
∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC
∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．
【详解】
解：（1）①∵
1
2
DBC
∠=∠ABC，∠DCB＝
1
2
∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣
12
（180°﹣70°） ＝125° ②∵12DBC ∠=∠ABC ，∠DCB ＝12
∠ACB ， ∴∠BDC ＝180°﹣∠DBC ﹣∠DCB
＝180°﹣
12（∠ABC +∠ACB ） ＝180°﹣
12（180°﹣∠A ） ＝90°+
12∠A ＝90°+12
α． 故答案分别为125°，90°+
12α． （2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2
∠=∠， ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝
11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠ 即1BFC 2
α∠=． （3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=
， 由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+
∠， ∴1BMC 904
α∠=︒+
． 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．
7．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+
【解析】
【分析】
（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；
（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．
【详解】
解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形， ∴AC CB =，CD CE =，
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ACD ECB ∠=∠，
∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．
②∵CDE ∆为等边三角形，
∴60CDE ∠=︒．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，
又∵ADC BEC ∆∆≌，
∴120ADC BEC ∠=∠=︒，
∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．
③AD BE =
ADC BEC ∆∆≌，
∴AD BE =．
故填：AD BE =；
（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形， ∴AC CB =，CD CE =，
又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，
∴ACD ECB ∠=∠，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴E ACD BC ∆∆≌，
∴ADC BEC ∠∠=．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒． ②∵CDA CEB ∆∆≌，
∴BE AD =．
∵CD CE =，CM DE ⊥，
∴DM ME =．
又∵90DCE ∠=︒，
∴2DE CM =，
∴2AE AD DE BE CM =+=+．
故填：①90°；②2AE BE CM =+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=23
x y +；（5）∠P=
1802
B D ︒+∠+∠． 【解析】
【分析】 （1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论； （3）由AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D ，即可解决问题；
（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC ，再结合∠CAP=
13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，得到y+（∠CAB-
13∠CAB ）=∠P+（∠BDC-13∠CDB ），从而可得∠P=y+∠CAB-13∠CAB-∠CDB+13∠CDB =23
x y +； （5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D ，再结合AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到
12∠BAD+∠P=[∠BCD+12（180°-∠BCD ）]+∠D ，所以∠P=90°+
12∠BCD-12∠BAD +∠D=1802
B D ︒+∠+∠. 【详解】
解：（1）证明：在△AOB 中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD 中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD ，
∴∠A+∠B=∠C+∠D ；
（2）解：如图2，∵AP 、CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，
∴∠1=∠2，∠3=∠4， 由（1）的结论得：3124P B P D ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩
①②， ①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D ，
∴∠P=12
（∠B+∠D ）=23°； （3）解：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，
即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，
∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），
即y+（∠CAB-1
3
∠CAB）=∠P+（∠BDC-
1
3
∠CDB），
∴∠P=y+∠CAB-1
3
∠CAB-∠CDB+
1
3
∠CDB
= y+2
3
（∠CAB-∠CDB）
=y+2
3
（x-y）
=21 33 x y
+
故答案为：∠P=21
33
x y
+；
（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，
∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，
∴1
2
∠BAD+∠P=（∠BCD+
1
2
∠BCE）+∠D，
∴12∠BAD+∠P=[∠BCD+12
（180°-∠BCD ）]+∠D ， ∴∠P=90°+
12∠BCD-12∠BAD +∠D =90°+
12（∠BCD-∠BAD ）+∠D =90°+
12（∠B-∠D ）+∠D =1802
B D ︒+∠+∠， 故答案为：∠P=
1802B D ︒+∠+∠. 【点睛】
本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（1）C （4，0）；（2）d =；（3）MN =
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；
（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案； （3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得
CQ AO ==QN =
，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．
【详解】
（1）∵点B 、C 关于y 轴对称， ∴12
OB OC BC ==， ∴AB AC =，
∵60BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等边三角形，
∴8AB BC AC ===， ∴142
OC BC ==， ∴点C 的坐标为：()4,0C ；
（2）连接AP ，
∵1122APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅，
∵()0,43A ，
∴43OA =，
∵2BP t =，
∴82PC t =-，
∵8AC =，
∴433PC OA PD t AC
⋅==-， 即：433d t =-；
（3）∵点P 到AC 的距离为33，
∴43333d t =-=，
∴1t =，
∴2BP =，
延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，
∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形， ∴1302
BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=
∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌，
∴CQ AO ==
设2QN a =，
在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒，
∴112)22
NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+， ∴111222
BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅，
∴1112822)222
a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，
∴a =
∴QN =
， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，
∴30DPC ∠=︒，
∵30BCQ ∠=︒，
∴PM CM =，
在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12
MD MC =，
∴12MD PM =，PD =
∴PM CM ==
=--==
∴MN CQ QN CM
【点睛】
本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．
10．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析
【解析】
【分析】
(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；
(2)同(1)方法即可；
(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；
(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，
故答案为：150；
(2) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，
设DP 与BE 的交点为F ，
∵∠2＋∠α＝∠DFE ，∠DFE ＋∠C ＝∠1，
∴∠1＝∠C ＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．
(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，
设PE 与AC 的交点为G ，
∵∠PGD ＝∠EGC ，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α．
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．
11．（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形， 进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，
∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，
即∠BCE=∠ACD，
≌（SAS），
∴BCE ACD
∴BE=AD；
（2）①证明：∵ABC和DCE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
ACD BCE（SAS），
∴≌
∴AD=BE，
≌（SAS），
同理：ABD CBF
∴AD=CF，
即AD=BE=CF；
②解：结论：PB+PC+PD=BE，
理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，ACD BCE，
由①知，≌
∴∠CAD=∠CBE，
在ACQ中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BQP=120°，
在BPQ中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，
∴∠DPE=60°，
同理：∠APC=60°，
∴∠=︒∠CPD=120°，
CPE
60,
在PE上取一点M，使PM=PC，
△是等边三角形，
∴CPM
==，∠PCM=∠CMP=60°，
∴CP CM PM
∴∠CME=120°=∠CPD，
△是等边三角形，
∵CDE
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，
∴∠PCD=∠MCE，
≌（SAS），
∴PCD MCE
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
12．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【详解】
解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．
（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．
13．（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点D在BC上移动时，α=β或
α+β=180°；（3）∠ACB=60°．
【解析】
【分析】
（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则
∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；
（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则
∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β；
（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β；
（3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°．【详解】
（1）如图1所示：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B
1
2
=（180°﹣40°）=70°，BD=CE，
∴BC+DC=CE．
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=40°，
∴∠DCE=40°．
故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；
（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
②分三种情况：
（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：
同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°．
∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，
∴α+β=180°；
（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：
同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；
综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；
（3）∠ACB=60°．理由如下：
∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，即∠BAC=∠DCE．
∵CE∥AB，
∴∠ABC=∠DCE，
∴∠ABC=∠BAC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
∵当D在线段BC上时，α+β=180°，
即∠BAC+∠DCE=180°．
∵CE∥AB，
∴∠ABC+∠DCE=180°，
∴∠ABC=∠BAC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°；
综上所述：当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，∠ACB 的度数为60°．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（1）AE DB =，理由详见解析；（2）AE DB =，理由详见解析；（3）3或1
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质、三线合一的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的性质，证明△EFC ≌△DBE 即可；
（3）注意区分当点E 在AB 的延长线上时和当点E 在BA 的延长线上时两种情况，不要遗漏．
【详解】
解：（1）AE DB =，理由如下：
ED EC =，
EDC ECD ∴∠=∠
∵△ABC 是等边三角形，60ACB ABC ∠=∠=︒∴，
点E 为AB 的中点， 1302
ECD ACB ∴︒∠=∠=，30EDC ∠=︒∴，30D DEB ∠=∠=︒∴， DB BE ∴=，
AE BE =，
AE DB ∴=；
故答案为：=；
（2）AE DB =，理由如下：
如图3：
∵△ABC 为等边三角形，且EF ∥BC ，
60AEF ABC ∠=∠=︒∴，60AFE ACB ∠=∠=︒，FEC ECB ∠=∠；
120EFC DBE ∠=∠=︒∴；
ED EC =，D ECB ∴∠=∠，D FEC ∠=∠，
在△EFC 与△DBE 中，。