南京鼓楼实验学校八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试题(培优专题)

一、选择题
1．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ，若
,9,6BE AC BF CF ===，则AF 的长度为（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5B
解析：B
【分析】 延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，证明()△△ACD GBD SAS ≅，根据全等三角形的性质可得到CAD G ∠=∠，AC=BD ，等量代换得到BE=BG ，再由等腰三角形的性质得到G BEG ∠=∠，推出EF=AF ，即可解决问题；
【详解】
如图，延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴CD=BD ，
在△ACD 与△GBD 中，
CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()△△ACD GBD
SAS ≅， ∴CAD G ∠=∠，AC=BD ，
∵BE=AC ，
∴BE=BG ，
∴G BEG ∠=∠， ∵BEG AEF ∠=∠，
∴AEF EAF ∠=∠，
∴EF=AF ，
∴AF CF BF AF +=-，
即69AF AF +=-， ∴32
AF =
； 故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ． D
解析：D
【分析】
点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 3．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（ ）
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10B
解析：B
【分析】 通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案．
【详解】
解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒
∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒
∴AMB ∠=MDC ∠
∵AM DM =
∴AMB MDC △≌△
∴
AB MC =,MB CD =
∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =
∴=1046BC MB MC -=-=
故选B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个D
解析：D
【分析】
首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与
△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①正确；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG，
又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF，即②正确；
在△DFC与△EGC中，
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG ∥BE ，即③正确；
综上，①②③④都正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
5．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①②③④C
解析：C
【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．
【详解】
解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE ＝∠CEF ，
∴∠AEF ＝∠AFE ，
∴AE ＝AF ，故①正确，
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
AE AF AB AG =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，
∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，
∴CE ＝AF ，故③正确；
∵AE ＝AF ，
∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°C
解析：C
【分析】 根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
7．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）
A ．9cm
B ．11cm
C ．12cm
D ．14cm B
解析：B
【分析】 根据折叠的性质得到：DE=CD ，BE=BC=5cm ，求出AE=4cm ，根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解．
【详解】
由折叠得：DE=CD ，BE=BC=5cm ，
∵AB=9cm ，
∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ，
∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ，
故选：B ．
【点睛】
此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键． 8．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个C
解析：C
【分析】
分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．
【详解】
当AB=AC 时，点C 与点O 重合；
当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；
当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，
共有4个点C ，
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．
9．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．
A．6 B．7 C．8 D．9B
解析：B
【分析】
先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．
【详解】
解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．
10．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
C
解析：C
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】
解：A 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C 、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
二、填空题
11．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：
①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定
正确的是______．
②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE 根据三角形全
等的性质及余角的性质角的和差关系可进行判断进而得出正确答案【详解】解：∠DAC=∠DAC △ABD ≌△ACEBD=CE ∠ABD=∠ACE④正确；
解析：②③④
【分析】
根据题意易证△ABD ≌△ACE ，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．
【详解】 解：90BAC DAE ∠=∠=︒，∠DAC=∠DAC ，
∴BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，④正确；
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
∴45ACE DBC ∠+∠=︒，②正确；
∵90BAC ∠=︒，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴BD ⊥CE ，③正确；
∴由题意可知ACE DBC ∠=∠不一定成立，
综上所述：②③④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
12．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．
5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝
ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可
解析：5
【分析】
连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．
【详解】
解：连接CE ，
∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，
∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，
∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，
即∠BAD ＝∠EAC ，
在△BAD 与△EAC 中，
AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BAD ≌△EAC （SAS ），
∴BD ＝EC ；
∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，
当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，
∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．如图：已知在ABC中，90
ACB︒
∠=，36
BAC︒
∠=，在直线AC上找点P，使ABP
△是等腰三角形，则APB
∠的度数为________．
72°或18°或108°或36°【分析】分四种情
况：①AB＝BP1时②当AB＝AP3时③当AB＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt△ABC中∠C＝9
解析：72°或18°或108°或36°
【分析】
分四种情况：①AB＝BP1时，②当AB＝AP3时，③当AB＝AP2时，④当AP4＝BP4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，
∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝36°，
当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝1
2
∠BAC＝1
2
×36°＝18°，
当AB＝AP4时，∠ABP4＝∠AP4B＝1
2
×（180°−36°）＝72°，
当AP2＝BP2时，∠BAP2＝∠ABP2，
∴∠AP2B＝180°−36°×2＝108°，
∴∠APB的度数为：18°、36°、72°、108°．
故答案为：72°或18°或108°或36°
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．
14．若点P(x-y，y)与点Q(-1，-5)关于x轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y＝5x+y=4+5=9故答案为：9
【点睛】本题
解析：9
【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．
解得x＝4，y＝5，
x+y=4+5=9，
故答案为：9
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．
（1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点
F连接EF交AB于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算
解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形
【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
【详解】
⨯=，
（1）△ABC的周长等于4312
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
16．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．
【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由
线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB
解析：3a b +
【分析】
根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，
∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解．
【详解】
∵AB=AC ，∠ABC=36°，
∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC ＝108°，
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ，
∴∠EAD=∠ECD=36°，
∴∠AEC=108°=∠BAC ，
∴∠BAE ＝∠BAC －∠CAE ＝108°－36°＝72°
∵∠BEA ＝180°－∠AEC ＝180°－108°＝72°
即∠BAE＝∠BEA
∴BA＝BE
∵BE a=，EC b=，
∴BA＝BE＝AC＝a
∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b
故答案为：3a+b．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
17．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=24，点M，N在边OB上，PM=PN，若NM=6，则OM=______________．
9【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角
形POD中求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN 求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】解：过P作PD⊥OB交OB 于点
解析：9
【分析】
过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长．【详解】
解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=1
OP=12．
2
∵PM=PN，PD⊥MN，
∴MD=ND=1
MN=3，
2
∴OM=OD﹣MD=12﹣3=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．
18．如图，ABC 中，AB AC =，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．若11AB cm =，BCE 的周长为17cm ，则BC=________cm ．
6【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE 即可得出AC=BE+CE
根据△BCE 的周长即可得答案【详解】∵DE 是AB 的垂直平分线
∴AE=BE ∵AB=ACAC=AE+CEAB=11∴BE+CE=AC=
解析：6
【分析】
根据垂直平分线的性质可得AE=BE ，即可得出AC=BE+CE ，根据△BCE 的周长即可得答案．
【详解】
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE ，
∵AB=AC ，AC=AE+CE ，AB=11，
∴BE+CE=AC=11， ∵BCE 的周长为17cm ，
∴BC+CE+BE=17，即BC+11=17，
解得：BC=6．
故答案为：6
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线性质，熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题关键．
19．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．
56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出
∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE
解析：56°
【分析】
根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；
【详解】
解：AB AC =，
ABC ACB ∴∠=∠，
∵BE=CF ，BD=CE ，
∴在DBE ∆和CEF ∆中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，
DE EF ∴=，
DEF ∴∆是等腰三角形；
DBE CEF ∆≅∆，
∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，
180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，
1(18044)682
B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°
∴∠CEF +∠DEB=112°
180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，
18068562
EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；
20．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________．7
【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数列方程求解即可
【详解】解：∵点A（a-13）与点B（2-2b-1）关于x轴对称∴a-1=2-2b-1=-3解得a=3b=1∴=2×3+1=7故
解析：7
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【详解】
解：∵点A（a-1，3）与点B（2，-2b-1）关于x轴对称，
∴a-1=2，-2b-1=-3，
解得a=3，b=1，
∴2a b =2×3+1=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
三、解答题
21．如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？
解析：（1）△BMN是等边三角形，见解析；（2）当t=2或t=4时，△BMN是直角三角形．
【分析】
（1）先由等边三角形的性质解得，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN，再根据等边三角形的判定解题即可；
（2）若△MBN是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据直角三角形含30°角的性质列方程解题即可．
【详解】
解：（1）△BMN是等边三角形
当t=2时，AM =4，BN=8，
∵△ABC 是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8，∠B=60°
∴BM=BN
∴△BMN 是等边三角形；
（2）△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t
①当∠BNM=90°时，∠B=60°
∴∠BMN=30° ∴12BN BM = ∴12(122)2t t =-
∴t=2
②当∠BMN=90°时，∠B=60°
∴∠BNM=30°
∴12
BM BN = ∴112222t t -=
⨯ ∴t=4
综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、几何动点与一元一次方程等知识，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．如图，BD 是ABC 的角平分线，点E 在边AB 上，且//DE BC ，AE BE =． （1）若5BE =，求DE 的长；
（2）求证：AB BC =．
解析：（1）DE=5；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据角平分线和平行线的性质可得∠ABD=∠EDB ，从而可得DE= BE=5；
（2）根据等边对等角得出∠A=∠ADE ，根据平行线的性质可得∠C=∠ADE ，从而可得∠A=∠C ，根据等角对等边可证得结论．
【详解】
解：（1）∵BD 是ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC ，
∵DE//BC ，
∴∠EDB=∠DBC ，
∴∠ABD=∠EDB ，
∴BE=DE ，
∵BE=5,
∴DE=5；
（2）∵AE=BE ，BE=DE ，
∴AE=DE ，
∴∠A=∠ADE ，
∵DE//BC ，
∴∠C=∠ADE ，
∴∠A=∠C ，
∴AB=BC ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质．解决此题的关键是借助等腰三角形的性质和判定完成边相等与角相等之间的互相转化．
23．（1）问题：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD ∠=︒；
（2）问题：如图②，在三角形ABC 中，45B C ∠=∠=︒，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD ∠=︒．求AE AP PC
+的值．
解析：（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）先证明()ABP PCD HL ≅△△，从而得APB PDC ∠∠=，进而即可得到结论；
（2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，易证()APE FDP AAS ≅△△，DPC △是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】
（1）∵BP PC BC +=，BP AB BC +=，
∴PC AB =，
在t R ABP △与t R PCD 中
∵AP PD AB PC
=⎧⎨=⎩， ∴()ABP PCD HL ≅△△，
∴APB PDC ∠∠=，
∴180APD APB DPC ∠=︒-∠-∠180()PDC DPC =︒-∠+∠18090=︒-︒90=︒； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，
在ABC 中，18090A B C ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
A PFD ∠∠=，
∵90APE DPF +=︒∠∠ ，90AEP APE ∠+∠=︒，
∴DPF AEP ∠∠=，
在APE 与FDP 中 A DFP DPE AEP PE PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()APE FDP AAS ≅△△，
∴AE PF =，AP DF =，
∵在DPC △中，90904545FDC C ∠∠︒︒︒︒=-=-=，
∴DF FC =，
∴AP FC =，
∴PC PF FC AE AP =+=+， ∴1AE AP PC
+=．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
24．如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．
（1）依题意补全图形；
（2）若ADF α∠=．
①求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；
②请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．
解析：（1）补图见解析；（2）①90EDG α∠=︒-；②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．
【分析】
(1)根据题意画出图形解答即可；
(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．
【详解】
解：（1）补全图形，如图所示，
（2）①∵ADF α∠=，∴180BDF α∠=︒-，
由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，
∵DF DE ⊥，∴90EDF ∠=︒，
∴1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，
②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，
如图,连接,GF GE ，
由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，
∵D 是AB 的中点，∴AD BD =，
∵GD BD =，∴AD GD =，
∵90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，
∴
GDE ADE ≌，∴,EGD EAD AE GE ∠=∠=，
∵90EAD B ∠=︒+∠，∴90EGD B ∠=︒+∠，
∴9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒， ∴以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，
∴以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．
25．如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．
（1）求证：DBC ECB △△≌；
（2）求证：OD OE =．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由“AAS”即可证明△BDC ≌△CEB ；
（2）由△BDC ≌△CEB ，推出BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，得到OB=OC ，即可证明结论．
【详解】
（1）∵CD AB ⊥，BE AC ⊥，
∴∠BDC=∠BEC=90︒，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
在△BDC 和△CEB 中，
90BDC BEC ABC ACB BC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△CEB （AAS ）；
（2）∵△BDC ≌△CEB ，
∴CD=BE ，∠BCD=∠CBE ，
∴OB=OC ，
∴OD=OE ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS 证明△BDC ≌△CEB ． 26．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;
（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.
解析：（1）见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）逆用角的平分线性质定理证明.
【详解】
(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF ≌△BAE;
(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,
由（1）知，△CAF ≌△BAE ，
∴CF=BE ，CAF BAE S
S =, ∴1122
CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，
∴DA 平分∠CDE.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.
27．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
①点P 到A ，B 两点的距离相等；
②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．
解析：（1）作图见解析；（2）（4，4）
【分析】
（1）作AB 的垂轴平分线和∠xOy 的角平分线，它们的交点即为P 点；
（2）由于点P 在AB 的垂轴平分线上，则P 点的纵坐标为4，再利用点P 在第一象限的角平分线上，则点P 的横纵坐标相同，从而得到P 点坐标．
【详解】
（1）如图，点P 为所作；
（2）P 点坐标为（4，4）．
故答案为（4，4）．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．
（1）直接写出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点1A 、1B 、1C 的坐标；1A （______，_______）、1B （______，_______）、1C （______，_______）
（2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形222A B C △．
（3）求ABC 的面积．
解析：（1）3，−3，1，−1，4，1；（2）见详解；（3）5
【分析】
（1）由关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得到答案；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
【详解】
（1）∵点A（3，3），B（1，1），C（4，−1）．
∴点A关于x轴的对称点A1（3，−3），B关于x轴的对称点B1（1，−1），C关于x轴的对称点C1（4，1），
故答案为：3，−3，1，−1，4，1；
（2）如图所示，即为所求；
（3）△ABC的面积为：3×4−1
2
×2×2−
1
2
×2×3−
1
2
×1×4＝5．
【点睛】
本题主要考查作图−轴对称变换和点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积．。