第23讲 图形的位似(原卷版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级北师大版)

第23讲图形的位似
1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大
或缩小；
2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.
一、位似多边形
1.位似多边形定义:
如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
要点：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
二、坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
例
例
例
A．2B．3C．4D．1
例4．如图，ABC
从图示位置绕点
，将DEC
与DEC
都是等边三角形，固定ABC
旋转的过程中，下列说法正确的是（）
一周，在DEC
A ．DEC 总与ABC 位似
B ．DE
C 与ABC 不会位似
C ．当点
D 落在CB 上时，DEC 与ABC 位似
D ．存在DEC 的两个位置使得DEC 与ABC 位似
考点2：位似中心
例5．图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
例6．如图，正方形网格图中的ABC 与A B C ''' 是位似关系图，则位似中心是（）
A ．点O
B ．点P
C ．点Q
D ．点R
考点3：位似图形的性质
例7．已知，如图，A B AB ''∥，B C BC ''∥，且:4:3OA A A ''=，则ABC ∆与__________是位似图形，位似比为____________.
例8．在如图所示的正方形网格中，以点O 为位似中心，作ABC 的位似图形，若点D 是点C 的对应点，则点A 的对应点是点________．
例9．如图，以点O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的2倍得到DEF ，以下说法中错误．．的是（）
A ．ABC DEF ∽△△
B ．AB DE ∥
C ．:1:2OA O
D =D ．4EF BC
=考点4：求位似图形的有关坐标
例10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A ，B 的坐标分别为()3,1-，()1,4-．以点O 为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将OAB 缩小，则点A 的对应点A '的坐标是（）
例
A．
2
1,
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
2
1,
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
例12．如图，在平面直角坐标系中有两点
线段AB缩短为线段CD，其中点
________.
例
点(,
C a b
考点5：求位似图形的有关比值或数值例14．如图，四边形ABCD与四边形的面积与四边形ABCD的面积之比为（
A．5
9
B．
5
4
C．
25
16
D．
25
81例15．《墨子·天文志》记载：
形ABCD的面积为1，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形A B C D
''''的周长为______．
例16．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为
△AOB在第一象限缩小，若点B
例
OABC位似，若
考点6：位似图形的坐标变换，规律性问题
例18．如图，在平面直角坐标系中，正方形111A BB C ，2122A B B C ，3233A B B C 关于原点O 位似，其中点B ，1B ，2B ，3B 都在x 轴上，点1C 在21A B 上，2C 在32A B 上．依此方式，继续作正方形4344A B B C ，若点1A 坐标为(1,1)，则点4C 的坐标为______．
例19．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(1,2)，以点O 为位似中心，在点O 的异侧作OAB 的位似图形11OA B ，使OAB 与11OA B 的相似比为1：2；再以点O 为位似中心，在点O 的异侧作11OA B 的位似图形22OA B △，使11OA B 与22OA B △的相似比为1:2 以此类推，则点2023B 的坐标为_______．
考点7：位似图形的解答题
例20．如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了
ABC 的位似图形111A B C △．
(1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出ABC 与111A B C △的位似中心M 点的位置（保留作图痕迹），并写出点M 的坐标________；
(2)若以点O 为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出111A B C △在y 轴左侧的位似图形222A B C △，
且111A B C △与222A B C △的相似比为21：；
(3)在（2）中，若222A B C △边上的一点2P 的坐标为()a b ，，则点1P 在111A B C △在上的对应点1P 的坐标为________．
一、单选题
1．（2022·重庆·统考中考真题）如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（）
A ．4
B ．6
C ．9
D ．16
2．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，若1:1:2OA OA =，则ABC 与111A B C △的周长比是（）
A．5B．2
4．（2020·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣4 3
5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点ABC
、
A ．()1,0-
B ．()0,0
C ．()0,1
D ．()
1,0二、填空题6．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::，则ABC 和A B C ''' 的周长之比为__________．
7．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是()()()()00102312O A B C -，，，，，，，，若四边形OA B C '''与四边形OABC 关于原点O 位似，且四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，则第一象限内点B '的坐标为___________．
三、解答题
8．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．
一、单选题
1．在下列图形中，不是位似图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（）
A．位似中心一定在图形的外部B．位似中心一定在图形的内部
C．位似中心可能在图形的一个顶点上D．位似中心只能在图形的外部或内部，不可能在图形的一个顶点上
3．如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（）
A ．点M
B ．点N 4．如图，AB
C 中，A ，B 两个顶点在x 下方作ABC 的位似图形A B C ''△，并把ABC 则点B 的横坐标是（）
A ．()132m -+
B ．(12m -5．在平面直角坐标系中，OAB ∆与OAB ∆位似，若B 点的对应点A ．()2,4--B ．(4,--6．如图，四边形ABCD 和A ′B ′
C 与四边形A ′B ′C ′
D ′的面积比为（
:1:2
S S
11
（正方形ABCD 的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD 到正方形1111A B C D ，我们称之作了一次变换，再将正方形1111A B C D 作一次变换就得到正方形2222A B C D ，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形2005200520052005A B C D ，若正方形ABCD 的面积是1，那么正方形2005200520052005A B C D 的面积是多少（）
A ．20053
B ．20043
C ．40103
D ．4009
312．如图，△ABC 与△象限的对应点A1的坐标是13．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为象限内将线段AB 缩小为原来的12
后得到线段
18．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案
位似的三角形是______；
（1）与AOB
△的面积为______．
（2）已知OKL
△的面积是3，则OLM
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．
(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；
(2)求出△A'B'C'的面积．
20．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(2)在图2中，D是边AC
23．（1）【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD （AB BC ）（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到PBC ．
请证明PBC 是等边三角形．
（2）【数学思考】
如图④，小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
（3）【问题解决】
已知矩形一边长为3cm ，另一边长为cm a ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．
24．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将ABC 以点A 为位似中心缩小，得到ADE V ，再将ADE V 沿过点A 的直线l 翻折，得到AFG ，则ABC 和AFG 成自位似轴对称．
(1)如图2，在ABC 中，90ACB AC BC CD AB ∠=︒<⊥，，，垂足为D ．
下列3对三角形：①ABC ACD 和；②BAC BCD 和；③DAC DCB 和．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中，34AC BC ==，，设自位似轴对称变换的对称轴与CD 交于点E ，求CE ；
(3)如图4，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 为ABC 内一点，ABE C BAE CAD ∠=∠∠=∠，，连接DE ，求证：∥DE AC ．。