《逆命题与逆定理》课件-02

Ａ(x,y)
∴ ∠ＤＯＡ＋ ∠２＝１８０° ∴A，O，B三点在同一直线上
∴点A与点B关于原点对称
Y
Ｄ-X ２ １ o XＣ
-Y
Ｂ(-x,-y)
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逆命题是“在直角坐标系中，关于原点对称的两个点 的坐标是（x，y）与（-x，-y）”
已知：在直角坐标系中，点Ａ，Ｂ关于原点对称
点Ａ坐标是（x,y). 求证：点Ｂ的坐标是(-x,-y).
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么 就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
2
3
证明勾股定理的逆命题
已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2
求证：△ABC是直角三角形
A
A'
c
b
a
B
C
c' b'
a'
C'
B'
分析：如果我们能构造出一个直角三角形，然 后证明⊿ＡＢＣ和所构造的直角三角形全等， 便证得⊿ＡＢＣ是直角三角形．
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已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c
A
A/
且a2＋b2＝c2。
c
求证： △ABC是直角三角形 b
b
c/
证明：如图作Rt△A`B`C`
C
a
B C/
a
B/
使∠C`＝Rt ∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则a2＋b2＝c`2.
∵a2+b2=c2 又∵ BC＝a＝ B`C`， AC＝b＝ A`C`,
B
C
a
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试一试
请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断，
逆命题：如果三角形一条边上的中线等于这一边的一 半，那么这个三角形是直角三角形 是真命题
已知：如图，ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 1 ＡＢ
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求证：⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿
1
证明：∵ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ ∴ＣＤ=AD=BD= 1 AB
∴ c`2=c2 ∴△ ABC≌ △A`B`C,
∵c`＞0，c＞0, ∴∠C=∠C`=Rt∠, 构造法
∴ c`＝ c, ∴△ABC是直角三角形
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勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形
几何语言：∵a2+b2=c2，
A
∴△ABC是Rt△，且∠C=Rt∠
c b
半圆的面积S1，S2，S3满足S1+S2=S3”的逆命题,判断原命
题、逆命题的真假,并给出证明。
C
S2
S1
A
B
S3
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合作学习
1、作点 A(x,-y) 关于x 轴的对称点，并写出它的坐标 2、作点 A(x,-y) 关于y轴的对称点，并写出它的坐标.
y
A（x,y）
O
x
C（—x,-y） （x,—y）
想一想：平面直角坐标系中一点关于x、y轴对称的点
求证：点Ａ，Ｂ关于原点对称
线上，且OA=OB
证明：连接ＡＯ，ＢＯ，作ＡＣ⊥x轴，作ＢＤ⊥y轴，Ｃ，Ｄ分别为垂足 ∵ OC= x , OD= -X , AC= y , BD= -y
∴OC=OD,AC=BD
又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ
∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２
又∵∠ＤＯＡ＋ ∠２＝１８０°
ＡＢ
2
C
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2
∴∠1=∠2, ∠3=∠4
1
∴∠2+∠3=∠4 +∠1=
1
A
×180°=90°
2
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D
B
∴∠ＡＢＣ是Ｒt∠ ∴⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿
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练一练
1、已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5，△ABC
是直角三角形吗？请证明你的判断。
2、说出命题“如图，在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个
的坐标有什么特点？ 9
合作学习
3、作点A(x,y) 关于原点O的对称点，并写出它的坐标
想一想：平面直角坐标系 中一点关于原点对称的点 的坐标有什么特点？
y
A（x,y）
O
x
C（—x,-y）
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例、说出真命题“（在直角坐标系中）关于原点对称的
两个点的坐标是（x，y），（-x，-y）”
的逆命题，并判断逆命题的真假
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1、逆命题的定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题（original statement），另一个 叫做它的逆命题（converse statement）。
2、一个命题的逆命题是真命题还是假命题 3、逆定理的定义
分析：前提条件是 在直角坐标系中
；
条件是：两个点的坐标是（x，y）与（-；x，-y）
y
结论是： 这两点关于原点对称 ；
解：逆命题是
A（x,y）
在直角坐标系中，关于原 点对称的两个点的坐标 是（x，y）与（-x，-y）
D OB
C（—x,-y）
x
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以下先证明原命题： 要证明点A与点B关于原点对称，
已知：在直角坐标系中，点只Ａ，要Ｂ证的明坐A标，分O，别是B三（点x,y在),同(-一x,直-y).
Ａ(x,y)
证明：∵点A与点B关于原点对称 ∴A，O，B三点在同一直线上
∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２
Ｄ２ １o Ｃ
Ｂ
又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０°
∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ
∴OC=OD,AC=BD ∴点Ｂ的坐标是(-x,-y).
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课内练习：
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课内练习：
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