《30°,45°,60°角的三角函数值》 学历案

《30°，45°，60°角的三角函数值》学历案
一、学习目标
1、能够准确记忆 30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。

2、理解并能运用这些特殊角的三角函数值进行简单的计算。

3、通过对特殊角三角函数值的推导和应用，培养逻辑推理和数学
运算能力。

二、学习重难点
1、重点
（1）熟练掌握 30°、45°、60°角的三角函数值。

（2）运用特殊角的三角函数值解决实际问题。

2、难点
（1）对三角函数值的推导过程的理解。

（2）灵活运用特殊角的三角函数值进行综合计算。

三、知识回顾
1、什么是正弦、余弦、正切？
在直角三角形中，正弦（sin）等于对边与斜边的比值，余弦（cos）等于邻边与斜边的比值，正切（tan）等于对边与邻边的比值。

2、直角三角形的三边关系
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

四、新课导入
在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到一些特殊角度的三角形问题。

比如，在建筑设计中，需要计算特定角度的斜坡长度；在物理学中，研究物体的受力分析时也会涉及到特殊角度。

而 30°、45°、60°就是我们经常会碰到的特殊角。

那么，它们的三角函数值分别是多少呢？这就是我们今天要学习的内容。

五、探究特殊角的三角函数值
1、 30°角的三角函数值
我们先来看一个含 30°角的直角三角形。

假设斜边为 2，30°角所对的直角边为 1。

根据勾股定理，另一条直角边为√3。

则 sin30°＝对边/斜边＝ 1/2
cos30°＝邻边/斜边＝√3/2
tan30°＝对边/邻边＝√3/3
2、 45°角的三角函数值
再来看一个等腰直角三角形，两条直角边都为 1，斜边为√2。

sin45°＝对边/斜边＝√2/2
cos45°＝邻边/斜边＝√2/2
tan45°＝对边/邻边＝ 1
3、 60°角的三角函数值
对于含 60°角的直角三角形，假设斜边为 2，60°角所对的直角边为√3，邻边为 1。

sin60°＝√3/2
cos60°＝ 1/2
tan60°＝√3
为了方便记忆，我们可以将这些值总结成一个表格：
｜角度｜正弦（sin）｜余弦（cos）｜正切（tan）｜
｜｜｜｜｜
｜ 30°｜ 1/2 ｜√3/2 ｜√3/3 ｜
｜ 45°｜√2/2 ｜√2/2 ｜ 1 ｜
｜ 60°｜√3/2 ｜ 1/2 ｜√3 ｜
六、特殊角三角函数值的应用
1、计算
例 1：求 sin30°＋ cos45°的值。

解：sin30°＋ cos45°＝ 1/2 ＋√2/2 ＝（1 ＋√2) ／ 2
例 2：计算 tan60° sin60°。

解：tan60° sin60°＝√3 √3/2 ＝√3/2
2、解决实际问题
例 3：在一个斜坡上，坡角为 30°，如果斜坡的高度为 10 米，求斜坡的长度。

解：因为 sin30°＝对边/斜边，所以斜边（斜坡长度）＝对边／sin30°＝ 10 ／（1/2) ＝ 20（米）
例 4：一个等腰直角三角形的斜边长为2√2，求它的面积。

解：因为等腰直角三角形的直角边相等，设直角边为 x，则根据勾股定理 x²＋ x²＝（2√2)²，解得 x ＝ 2。

所以面积为 1/2 × 2 × 2 ＝ 2。

七、课堂练习
1、计算：sin45° × cos60°＋ tan30°。

2、已知一个角的正切值为√3，且这个角在 0°到 90°之间，求这个角的度数。

3、一座塔在地面上的影长为 20 米，此时太阳光线与地面的夹角为60°，求塔的高度。

八、课堂小结
1、回顾 30°、45°、60°角的三角函数值。

2、总结特殊角三角函数值在计算和实际问题中的应用方法。

九、课后作业
1、背诵并默写 30°、45°、60°角的三角函数值。

2、完成课本上相关的练习题。

3、思考：如何利用特殊角的三角函数值解决更复杂的几何问题？
通过本节课的学习，我们掌握了 30°、45°、60°角的三角函数值，
并能够运用它们解决一些简单的计算和实际问题。

在今后的学习中，
我们还会遇到更多与三角函数相关的知识，希望同学们能够扎实基础，不断提高自己的数学能力。