2021版新高考数学(文科)一轮复习集训45 直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质
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一、选择题
1．(2019·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()
A．m∥α，n∥α，则m∥n
B．m∥n，m∥α，则n∥α
C．m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；
对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B不正确；
对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；
对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D 不正确．]
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()
A．①③B．②③
C．①④D．②④
C[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]
3．(2019·哈尔滨模拟)已知互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是()
A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β
B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m
C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，则m∥n
D．若α∩γ，β⊥γ，则α∥β
C[对于A，α与β也可能相交，故排除A.
对于B，l与m也可能是异面直线，故排除B.
对于D，α与β也可能相交，故排除D.
综上知，选C.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；
②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；
④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是()
A．①③B．①④
C．②③D．②④
A[因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，
因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，
所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；
因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；
因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
所以FG∥BC1，
因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，
所以FG∥平面BC1D1，故③正确；
因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误，故选A.]
5．(2019·黄山模拟)E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则()
A．BD1∥CE
B．AC1⊥BD1
C．D1E＝2EC1
D．D1E＝EC1
D[如图，设B1C∩BC1＝O，
可得平面D1BC1∩平面B1CE＝EO，
∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，
∵O为BC1的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1，故选D.]
二、填空题
6．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是．
9
2[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的
中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为9 2.]
7．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面PFED平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面PFED面积为．
a2
4[在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，
在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，
过点D作直线DE∥VB，交BC于E，
∴PF∥DE，∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为1
2a的正方形，故其面积为
a2
4.]
8．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的命题是．
①③④[由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正确的；
对于④，因为水是定量的(定体积V)，
所以S
△BEF ·BC＝V，即
1
2BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝2V
BC(定值)，即④是正确的．]
三、解答题
9．如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SA ＝SB＝2，AB＝23，BC＝3.
(1)证明：SC∥平面BDE；
(2)若BC⊥SB，求三棱锥C-BDE的体积．
[解](1)证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴O为AC的中点，
在△ASC中，E为AS的中点，
∴SC∥OE，
又OE⊂平面BDE，SC⊄平面BDE，
∴SC∥平面BDE.
(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵BC ⊥AB ，且BC ⊥SB ，AB ∩SB ＝B ，
∴BC ⊥平面SAB ，
∵EH ⊂平面ABS ，∴EH ⊥BC ，
又EH ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，
∴EH ⊥平面ABCD ，
在△SAB 中，取AB 中点M ，连接SM ，
∵SA ＝SB ，∴SM ⊥AB ，∴SM ＝1.
∵EH ∥SM ，∴EH ＝12SM ＝12，
∴S △BCD ＝12×3×23＝3 3.
∴V C -BDE ＝V E -BCD ＝13S △BCD ·EH ＝13×33×12＝32.
∴三棱锥C -BDE 的体积为32.
10．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．
(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；
(2)若AB ＝1，BF ＝2，求三棱锥A -CEF 的体积．
[解] (1)证明：如图，设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，连接MN ，
又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.
∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，
∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.
∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.
(2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.
又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF，
又N是AC的中点，∴V
三棱锥A-NEF ＝V
三棱锥C-NEF
，
∴V
三棱锥A-CEF ＝2V
三棱锥A-NEF
＝2×
1
3×AN×S△NEF＝2×
1
3×
2
2×
1
2×2×2＝
2
3，
∴三棱锥A-CEF的体积为2 3.
1．(2019·成都模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是()
A．CE B．CF C．CG D．CC1
B[如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于A1F 1
2AC，
又OC＝1
2AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，
可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD，
可得CF∥平面A1BD，故选B.]
2．(2019·深圳模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是()
A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1Q
C．m⊥B1Q D．m⊥平面ABB1A1
B[由BD∥B1D1知BD∥平面B1D1P，
所以m∥BD∥B1D1.
又m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，
所以m∥平面B1D1Q，故选B.]
3．如图，平面α∥平面β，△P AB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝.
5
2[∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，
则PC
P A＝
CD
AB，∴AB＝
P A×CD
PC＝
5×1
2＝
5
2.]
4．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面P AB⊥平面ABCD，点E，F分别为BC、AP中点．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)若AD＝AP＝PB＝
2
2AB＝1，求三棱锥P-DEF的体积．
[解](1)证明：取PD中点G，连接GF，GC.
在△P AD中，有G，F分别为PD、AP中点，
∴GF 1
2AD.在矩形ABCD中，E为BC中点，
∴CE 1
2AD，
∴GF EC，∴四边形GFEC是平行四边形．∴GC∥EF.
而GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥AB，AD∥BC.
∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面P AB.
∴平面P AD⊥平面P AB，BC∥平面P AD.
∵AD＝AP＝PB＝
2
2AB＝1，
∴AB＝2，满足AP2＋PB2＝AB2.
∴AP⊥PB，∴BP⊥平面P AD.∵BC∥平面P AD，
∴点E到平面P AD的距离等于点B到平面P AD的距离．
而S
△PDF ＝
1
2×PF×AD＝
1
2×
1
2×1＝
1
4，
∴V P-DEF＝1
3S△PDF·BP＝
1
3×
1
4×1＝
1
12.
∴三棱锥P-DEF的体积为1 12.
1．(2019·泰安模拟)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是()
D[由题意可知经过P、Q、R三点的平面为图中正六边形PQEFRG，点N 与点E重合，故排除B、C，又MC1与QE是相交直线，故排除A，因此选D.
]
2．如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.
(1)求证：AB1∥平面A1C1C；
(2)求多面体ABCA1B1C1的体积．
[解](1)证明：如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，
∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，
∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1，
∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，
∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，
又B1D⊄平面A1C1C，C1C⊂平面A1C1C，
∴B1D∥平面A1C1C.
在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，
∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，
∴四边形ADC1A1为平行四边形，∴AD∥A1C1.
又AD⊄平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，
∴AD∥平面A1C1C，
∵B 1D ∩AD ＝D ，∴平面ADB 1∥平面A 1C 1C ， 又AB 1⊂平面ADB 1，∴AB 1∥平面A 1C 1C .
(2)在正方形ABB 1A 1中，A 1B ＝2，
∵△A 1BC 是等边三角形，∴A 1C ＝BC ＝2，
∴AC 2＋AA 21＝A 1C 2，AB 2＋AC 2＝BC 2，
∴AA 1⊥AC ，AC ⊥AB .
又AA 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥CD ， 易得CD ⊥AD ，AD ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ADC 1A 1. 易知多面体ABCA 1B 1C 1是由直三棱柱ABD -A 1B 1C 1和四棱锥C -ADC 1A 1组成的，
直三棱柱ABD -A 1B 1C 1的体积为12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×1×1×1＝14，四棱锥C -ADC 1A 1的体积为13×22×1×22＝16，
∴多面体ABCA 1B 1C 1的体积为14＋16＝512.
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