《导数在研究函数中的应用》同步练习1(新人教A版选修2-2)

选修2–2（导数及其应用1.1–1.3）
一、选择题
1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)
lim
t f x t f x t t
→+--=（ ）
A ．'0()f x
B ．'
02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在
同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
3．（
54 5．曲线3
2
1x y =在点⎪⎭⎫
⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）
A ．02048=-+y x
B ．48200x y ++=
C ．48200x y -+=
D ．4200x y --=
6．已知曲线)1000)(100(5
34002
≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐
标是（ ）．
A ．（-15，76）
B ．（15，67）
C ．（15，76）
D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）
A ．在),0(+∞上递增
B ．在),0(+∞上递减
C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛
e 1,0上递增 D ．在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛e 1,0上递减
8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，
，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
二、填空题
9．函数53)(2
3
--=x x x f 的单调递增区间是_____________．
10．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3(
)3(329)1( )30(
232
2t t t t s 则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．
11．曲线x x y 23
+-=在点（－1，－1）处的切线的倾斜角是________．
12．已知c x x f +=2
)(，且)1()()(2
+==x f x f f x g ，设)()()(x f x g x λϕ-=， )
(x ϕ在)1,(--∞上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数,则λ=________．
13．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2
,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋
∞)上的变量，则(πr 2
)`＝2πr ○
1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○
1的式子： ○2,○2式可以用语言叙述为： ． 14．（2007年江苏卷）已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别
A ．
B ．
C ．
D ．
为,M m ，则M m -= . 三、解答题 15．（1）求曲线1
22+=
x x
y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2
221t t
t S +-=，求t=3时的速度.
16. 设函数()f x 是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x ∈［－1，0）时，2
1()2f x ax x =+（a ∈R ).
（1）当x ∈(0，1］时，求()f x 的解析式；
（2）若a ＞－1，试判断()f x 在（0，1）上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当x ∈（0，1）时，f (x )有最大值－6.
17．函数)(x f 对一切实数y x ,均有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f ，
（1）求)0(f 的值； （2）当1
02
x ≤≤
时，()32f x x a +<+恒成立，求实数a 的取值范围． 18．（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面,中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
19．（2006年天津卷）已知函数()θθcos 16
3
cos 342
3
+
-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．
（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；
（2）要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围． 20.（2007年广东高考压轴题）已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，
'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；
（3）记ln n n n a b a a
β
-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n.
高二(下)数学周周练系列 (3) 理科参考答案
选修2–2（导数及其应用1.1–1.3）
9．)0,(-∞与),2(+∞．10．0
11．.4
3π
α=
12．4.
13．V 球＝3
4
3R π，又32443R R ππ'（）＝ 故○2式可填32443
R R ππ'（）
＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.” 14．32． 三、解答题
15.分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。

瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数.
解：（1）2
22
222)
1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y ，0422|'1=-==x y ， 即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0.
因此曲线1
22+=
x x
y 在（1，1）处的切线方程为y=1. （2）)'2('1'2
2t t t S +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= t t t t t t t t 4214)1(232
42++-=+--=. 27
26
111227291|'3=++-==t S .
16.（1）解：设x ∈(0，1］，则－x ∈［－1，0)，f (－x )=－2ax +21
x
，
∵f (x )是奇函数.∴f (x )=2ax －21
x ，x ∈(0，1］.
（2）证明：∵f ′(x )=2a +)1
(2233x a x +=，
∵a >－1，x ∈(0，1］，31x >1，∴a +31
x
>0.即f ′(x )>0.
∴f (x )在（0，1］上是单调递增函数.
（3）解：当a >－1时，f (x )在（0，1］上单调递增.
f (x )max =f (1)=－6，⇒a =－2
5
(不合题意，舍之）， 当a ≤－1时，f ′(x )=0，x =31
a
-.
如下表：f max (x )=f (31a -
)=－6，解出a =－22. x =2∈(0，1).
17. （Ⅰ）因为x y x y f y x f )12()()(++=-+, 令0,()(0)(1)y f x f x x =-=+， 再令1,(1)(0)2,(0)2x f f f =-==-.
（Ⅱ）由知()(1)2f x x x =+-,即2
()2f x x x =+-.
由()32f x x a +<+恒成立，等价于2
2
13
()231()2
4
a f x x x x x >-+=-+=-+恒成立，即2
max 13[()]2
4
a x >-+．
当102x ≤≤
时，22max 1313
[()][(0)]12424
x -+=-+=． 故(1,)a ∈+∞．
18.解：设OO 1为x m ，则41<<x .
由题设可得正六棱锥底面边长为： 22228)1(3x x x -+=--，（m ） 故底面正六边形的面积为：
(4
36⋅⋅
22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（2m ） 帐篷的体积为：
)28(233V 2x x x -+=
）（]1)1(3
1
[+-x )1216(233x x -+=（3m ） 求导得)312(2
3
V '2x x -=）（.令0V'=）（x ，
解得2-=x （不合题意，舍），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数. ∴当2=x 时，）（x V 最大.
答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163
m .
19. （Ⅰ）解：当cos 0θ=时，3
()4f x x =， 则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）解：2
'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2x x θ==.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
① 当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()f x 在2x =处取得极小值f()2
，且 3cos 13()cos 2416
f θθθ=-+.
要使cos ()02f θ>，必有213
cos (cos )044
θθ-->，可得0cos θ<<.
由于0cos θ≤≤，故3116226
ππππ
θθ<<<<或
②当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且(0)cos .16
f θ= 若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.
综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)6226
ππππ⋃. （III ）解：由（II ）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2
θ
+∞内都是增函数.
由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，
则a 须满足不等式组
21
,0.a a a -<⎧⎨
≤⎩或 21,
121cos .2
a a a θ-<
⎧⎪
⎨-≥⎪⎩ 由（II ）
，参数时311(,)(,)6226
πππ
π
θ∈⋃时，0cos θ<<。

要使不等式1
21cos 2
a θ-≥关于参数θ恒成立，必有21a -≥a ≤. 综上，解得0a ≤
1a ≤<. 所以a 的取值范围是(,0)-∞⋃. 20．解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>， ∴
αβ=
； （2）'()21f x x =+，
=5114
(21)4
212
n
n a a ++
-
+，
∵11a =
，∴有基本不等式可知20a ≥>（当且仅当1a =
时取等号）， ∴20a >， 同样3a ，……，n a α=（n=1,2,……）
， （3）1()()(1)2121
n n n n n n n n a a a a a a a a αββ
ββα+----=--=++++，
而1αβ+=-，即1αβ+=-，
2
1()21
n n n a a a ββ+--=+，
同理2
1()21
n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，
又11ln
1b βα-===-.
2(2n n S =-.。