数学人教B版5学案：2.3.1 等比数列含解析

数学人教B必修5第二章2。

3。

1 等比数列
1．理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的定义
如果一个数列从______起,每一项与它的前一项的比都等于__________,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______,公比通常用字母________表示．定义表达式为__________．
（1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0。

（2)对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒．
(3）“从第2项起"是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4
项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比
数列．
（4）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这
时此数列不是等比数列．
【做一做1】下列数列中,等比数列的个数是______________．
①－1,－2，－4，－8;②1,－错误!，3，－3错误!；③1，1，1,1；④a，a，a，a。

2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则通项公式为____________．其中,a1，q均不为0.
等比数列的通项公式a n＝a1q n－1的另外一种形式为a n＝a m·q n－m.
【做一做2】在等比数列{a n}中，a1＝8,a4＝64,则公比q为(）．
A．2B．3 C．4 D．8
3．等比中项
如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即______．等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项，即a错误!＝a n－1a n＋1，反过来，如果a,b 同号,G＝错误!或－错误!,即G2＝ab，那么G是a，b的等比中项．
（1)x,G,y成等比数列等价于“G2＝xy”（x，y均不为0)，可以用它来判断或证明三数成等比数列，要注意“x，
G，y成等比数列”与“G＝xy”是不等价的，而应与“G＝±错误!”等价．
（2）当x,y同号时,x，y的等比中项有两个，异号时没有等比中项．
(3)在任意两个非零实数x和y之间,也可以插入n个数使之成为等比数列．但要注意：在实数范围内，当xy＞0时,x，y之间可以插入任意个数；当xy＜0时,在x和y之间只能插入偶数个数使之成为等比数列．
【做一做3】若2＋错误!，x，2－错误!成等比数列，则x的值是（)．
A．1 B．－1 C．±1 D．2
一、解读等比数列的主要性质
剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法,但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质．等比数列有以下性质：
（1)两个等比数列的积仍为等比数列．
（2)在等比数列{a n｝中，若m＋n＝p＋q，则a m a n＝a p a q。

（3)数列{a n}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积．
(4）在等比数列｛a n}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k＋1。

(5）当数列{a n}是各项都为正数的等比数列时,数列{lg a n}是公差为lg q的等差数列．
（6）当m，n，p（m，n，p∈N＋）成等差数列时，a m,a n，a p成等比数列．
（7)等比数列｛a n｝中，若公比为q，则数列{λa n｝仍是公比为q的等比数列；若{b n｝是公比为q′的等比数列，则数列｛a n·b n｝是公比为q·q′的等比数列；数列{错误!}是公比为错误!的等比数列;{｜a n｜｝是公比为｜q|的等比数列．
二、求数列通项公式的方法
剖析：1.如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差(或等比）数列的通项公式，求得a1，d（或q）,直接套用公式即可．
2．若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式a n＝错误!用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式;另一种是“合二为一”，即a1和a n(n≥2）合为一个表达式．
3．对于形如a n＋1＝a n＋f(n）型或形如a n＋1＝f（n）a n型的数列，其中f(n）是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘）即可得到通项公式．
4．有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法．例如：在数列｛a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝错误!a n＋1＋错误!a n，我们在上式的两边减去a n＋1，得a n＋2－a n＋1＝－错误!(a n＋1－a n)，即可构造一个等比数列来解决问题．当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化成等差（或等比）数列,从而利用等差(或等比）数列的通项公式求其通项．
三、教材中的“？”
1．为什么q≠0？等比数列中的项有可能等于0吗？
剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为0,除数也不可能为0，故q≠0，在等比数列中，各项都不会为0。

2．等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？
剖析:等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得a n＝a1q n－1。

3．你能通过公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？
剖析：当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，数列｛a n｝为递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0,q＞1时,数列{a n}为递减数列;
当q＝1时，数列｛a n｝为常数列;
当q＜0时,数列｛a n｝为摆动数列．
四、教材中的“思考与讨论"
对于例3中的数列，你是否发现a5，a10,a15，a20恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗?你能由此推导出一个一般性的结论吗?
剖析:在已知数列中，每隔k项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个等比数列．
题型一等比数列定义的应用
【例1】已知数列的通项公式为a n＝3×2n，试问:这个数列是否为等比数列？
分析:可用定义法、等比中项法证明．
反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明．常用的判定等比数列的方法有：（1）定义法:错误!＝q（常数）;(2）等比中项法：a错误!＝a n a n＋2（a n≠0)．。