在任意波形激励作用下动态电路的响应与卷积积分

在任意波形激励作用下动态电路的响应与卷积积分
摘要
本文通过对几种电路的的具体时域的分析，导出了用卷积积分进行动态电路的时域分析的方法，从而避免了繁琐的解微分方程带来的麻烦，使对这样的一类电路的分析更简便易用。

关键字：波形激励动态电路响应卷积积分
Based on the specific time of several circuit analysis, the dynamic circuit with convolution integrating the time-domain analysis method, so as to avoid the trival solution of differential equation, make trouble for this type of circuit analysis is more easy to use.
Keywords: The Dynamic Circuit Response waveform convolution integral
引言：本论文讨论了卷积积分，提出了卷积积分的概念，说明了卷积积分的算法，并且列出了卷积积分的性质及其证明，给出了与阶跃函数或冲击函数的卷积计算并证明。

在分析一阶动态电路的过程中，分别讨论了RC与RL电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲激响应；随后对二阶动态电路的讨论与分析，着重讨论了它的激励响应的初始条件以
及RCL 的串联电路的激励响应 。

我们给定变量的初始条件和一、二阶电路的响应，可以通过线性微分方程的两部分解、互补函数和特定解求出我们的待求量，但是我们更可以通过卷积积分这种比较简便的方法去求解电路问题中的各种待求量，这样会简化相当复杂的计算过程。

此论文通过举例应用卷积积分解决电路问题，进而讨论了卷积积分这种数学工具来解决动态电路中的激励响应的若干问题的方法，总结了用卷积积分解决动态电路的一般步骤。

I 、卷积积分
1、 卷积积分的运算方法 （1）卷积积分定理：
任一L TIS 对任意激励信号f(t)的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。

即:
（2）卷积积分的物理意义及原理
对于LEI 系统，冲激响应h(t)是系统在单位冲激信号的激励下产生的零状态响应。

由于信号可以用
的组合表示，即：
τ
τδτd t e t e ⎰
∞
∞
--=
)()()(，将e(t)作用到冲激响应为h(t)的L TI 的系统，
则系统的响应为(1)式，这就是卷积。

其物理意义是描述系统的零状态响应r(t)。

⎰∞
∞--==])()([)]([)(ττδττd t e H e H t r
)
()()()()()()(0
t h t f d h t f d t h f t y t
t t
t zs *=-=
-=
⎰
⎰
ττττττ
τ
ττττδτd t h e d t H e ⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
--=
-=
)()()]([)(
卷积的原理就是将信号分解为之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任意激励信号的零状态响应。

（3）卷积运算方法探讨 ①分段卷积积分法
用此法进行卷积分，数学概念清楚，函数运算简单，适合任何两个信号的卷积运算，注意分清上下限。

例：
0)()(.32
1
=*<t f t f r
⎰
--=⨯=
*≤≤2
2
1
6221)()(,63t t
t dr t f t f t
⎰
-=⨯=
*≤≤t
t
d t f t f t 621)()(,762
1
τ，
t>10,0)()(2
1
=*t f t f
②闸门函数法
这种方法用一函数可将结果全部表示出来，根据各个被积函数
)()(0
1
t u t t u ---ττ所确定的门限，很容易将门的上下限分别确定为积分
的上限)(1t t -，下限)(0t ，积分后各函数的定义域的下限只需由积分的上限减去下限
后即可。

它除了适用于分段函数的卷积外，还适
用于连续函数波形。

2、 卷积积分的性质及其证明:
作为一种数学运算，卷积运算遵守代数运算的某些规律。

(1). 交换律：
证明： 由卷积积分的定义有：
将式中积分变量置换为，于是
这表明卷积结果与两函数的次序无关。

(2). 分配律
证明：由卷积积分的定义有：
实际上这个结果也是线性系统叠加特性的体现。

若和为激励,为系统的冲激响应，则系统对的零状态响应等于系统对和分别作用下的零状态响应之和。

反过来，若为激励，为系统的冲激响应，则该系统对激励的零状态
响应可看作是两个并联子系统与在激励作用下的零状态响应的叠加f2(t)。

(3). 结合律：
证明：由卷积定义有
先交换上式的积分次序，再将置换为，则
其中
即：
3、 与冲击函数或阶跃函数的卷积
（1）与冲击函数的卷积： )()(*)(t f t t f =
δ 抽样性
证明： τ
τδτδd t f t t f )()()(*)(-=⎰∞
∞-
=τ
τδτd t f ⎰∞
∞
--)()(
=)(t f 或写为)
()(*)(t f d t f =-⎰∞
∞
-ττδτ
推论：)()(*)(00t t f t t t f -=
-δ
（2）与阶跃函数的卷积： λ
λd f t f t U t U t f t
⎰
∞
-=
=)()(*()(*)( 证明：λ
λd f t U dt
d t U t f t
⎰
∞
-=)(*)()(*)(
⎰
⎰∞
-∞
-=
=t
t
d f d f t λ
λλ
λδ)()(*)(
4、利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法： 方法步骤:
（1）求出系统的冲击响应h (t )
（2）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得yzs (t )
Ⅱ、任意波形激励下一阶动态电路的响应 基本概念：
零输入响应：如果动态电路中无外接激励源，仅由动态元件初始储能产生的响应称为动态电路的零输入响应。

零状态响应：电路在零初始状态（动态元件初始储能为零）下对外施激励的响应称为零状态响应。

全响应：既有非零初始状态，又有激励共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。

1、 RC 电路：
一阶RC 电路的零状态响应的特点：
①电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值；
②电流在欢呼瞬间发生突变，其值为R u s 即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上电荷增多电容电压的增大，
R u u i C s )(-=减小，最后为零，电容电压为s u ；
③一阶RC 电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。

电源
在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。

且有R L
W W =电源提供的能量只有一半储存
在电容中。

充电效率50%，与电阻电容数值无关。

求：换路后的)(t i 解：(1)
)
0(0>=+t u dt du RC
C C
(2)RC
S 1-=
RC
t ct C Ae
t u t u -==)()(
(3)0)0()0(U u u C C ==-+ 0
U A =
)0()(0+-≥=t e U t u RC
t C
)
0()()(0+-≥=
=
t e
R
U R
t u t i RC
t C
例、如图所示RC 并联电路中，R=5Ω，C=0.5F ，电流源的电流
A t e i t
s )(2ε-=，且电容无初始储能，求)(t u C 。

解：根据一阶RC 并联电路的冲击响应计算方法，很容易求得
)))((25
.011)(5
25
.0511V t e
e
e
C t h t t
t
RC
ε-
⨯-
-==
=
应用式ξ
ξξd h t e t r t
)()()(0
⎰
-=可求得:
)
)(()(3
204422)()()(5
20
5
3
)
5
3(5
20
)
(0
V t e e
d e
e
d e
d e
e
d h t i t u t
t t
t
t
t t
t t
s C εξ
ξξ
ξξξξ
ξξξ---+-----=
==⨯=-=
⎰
⎰⎰
⎰
2、 RL 电路：
一阶RL 电路的零状态响应的特点：
①电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值；
②电压在环路瞬间发生突变，其值s u 即环路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能；
③一阶RL 电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。

电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。

且有R L
W W =电源提供的能量只有一半储存在电感中。

储
存效率50%，与电阻电感数值无关。

例1:已知图示电路，（1）输入为 A t U e t )(2-
电流，求响应
)(t i L 。

（2）输入为 )
2(2)
2(---t U e
t A 电流，求响应)(t i L
'
6R =Ω
2H
L =i L (t )
()
f t
解：1、（1）求得电路的冲击响应：
因为电路KCL ：
（2）卷积求yzs (t )
2、
例2、如图电路中，已知R=2Ω，L=1H ，V
t e
t u t
s
)(10)(6ε-=，求电感电
流)(t i L 。

设0)0(=-L i 。

解：用卷积共识求电感电流L i 。

由式L
Rt e
L
i -=1已知此电路的冲激
响应（这里指L i ）为 )(1)()(t e
L t h t
L R ε-=
利用卷积积分，由式τττd t h e t r t
q )()()(0-=⎰可得：
)
(3)()()()()(3t U e
t U e
L R t h t t i dt
t di R
L t
t
L R L L --==∴=+δ)
()(3)1(3]21[6632)()()(320
20
20
3)
(0
t U e
e
e
e e e d e
e
d e
e
d h t f t i t
t
t t t t t
t
t
t t
L ------------=--=-==⋅=
-=
⎰
⎰
⎰ττ
τ
τττ
τττ)
2()(3)(')
2(3)
2(--=----t U e
e
t i t t L
A
t e
e
d e
e
d e e d e
L
e
d t h u i t
t
t
t
t t
t L R t
t
s L )()(5.21010110)()(620
42)(206)
)((060
εττ
τ
τ
τττ
ττττ
-----------====
-=⎰
⎰⎰
⎰
上述卷积积分中都借助于电路的冲击响应。

还可以利用电路的阶跃响应来求得电路对于任意激励下的零状态响应。

这时应该把激励分解为许多阶跃信号之和，分别求其响应然后叠加，用这种方法所得积分公式称为杜阿美尔积分，其原理与卷积类似，这里不作介绍。

利用卷积可求得电路的零状态响应，如需要求得电路的全响应时，只需要再计入电路的零输入响应即可。

Ⅲ、任意波形激励下二阶动态电路的响应 1、 初始条件：
分析动态电路时，必须知道微分方程的初始条件。

初始条件则是指电路变量（电压或电流）及其一阶至n －1阶导数在t ＝+0时刻的值。

一般情况下，电容电压)0(+C U 和电容电流
)0(+L i 称为独立的初始条件，其余都被称为非独立的初始条
件。

2、 RLC 串联电路：
解：1. 求)(t i L 、)(t u L
因为0)0(=-C u ，0)0(=-L
i
所以V )()0(t u L δ=
L
dt u L
i i L L L 1)0(1
)0()0(00=
+
=⎰+-
-+
0)0()0(==-+C C u u
2．0>t 时，电路见下图
0)0(=+C u
L
i L 1)0(=
+
][=++C C C u dt
du C
dt d L
dt
du RC
即)
0(0
2
2
>=++t u dt
du RC
dt
u d LC
C C C
２
１，２２0
2
12ωαα-±
-=-
±
-
=LC
L
R L
R S
L
R 2=
α，LC
10
=
ω
设21S S ≠，解出)(])
(1)([
)(221211
t e
S S LC e
S S LC S t u t
S t
S C t ε--
-=
)(])
()
([
)()(21212
211
t e
S S L S e
S S L S dt
du C
t i t i t
S t
S C C L ε--
-===
3．讨论 ① 0
w >α
，即C
L R 2
> 过阻尼情形
21<≠S S ，非振荡
② 0w <α，即C
L R 2
<，欠阻尼情形，令2
20α
ωω-=
d
)
(sin )(2
2
t d e
t u d dt
d
C εωωω-=
)()cos()(0t t e
L t i d dt
d
L εθωωω+=
- 阻尼振荡(衰减振荡)
衰减快慢由衰减因子L
R 2=
α决定。

阻尼振荡角频率2
2
2
0)
2(
1L
R LC
d -=
-=
α
ωω
③ 0
ωα
=，即C
L R
2
=，临界阻尼情形，非振荡
)(1)(t te
LC
t u t
C εα-=
)()1()(t te L
e L t i t
t L εααα---=
④ 0
=α
，即R =0，无阻尼情形，LC
d
10=
=ωω，0
cos
1
==-ωωθ
d
)(sin )(00t t t u C εωω=
)
(cos 1)(0t t L
t i L εω=
等幅振荡，无阻尼振荡
零状态的二阶电路在冲击函数激励下的响应称为二阶电路的冲击响应。

注意电路在冲击激励下初始值发生了跃变。

现以图所示RLC 串联电路为例说明求解方法。

图中激励为冲击电压，因此 t=0时电路受冲击电压激励获得一定的能量。

根据 KVL 和元件的 VCR 得 t=0时刻以电容电压为变量的电路微分方程为：
把上式在 t=0－到0+区间积分并考虑冲击函数的性质，得：
为保证上式成立，u C 不能跃变，因此，等式左边第二和第三项积分为零，式子变为：
即：
最后有：
→
上式说明冲击电压使电感电流跃变，电感中储存了磁场能量，而冲击响应就是该磁场能量引起的变化过程。

t ＞0+后，冲击电压消失，电路为零输入响应问题。

t ＞0+后的电路方程为：
带入初始条件得：
解得：
若 ，
则：
IV 结论：
1、卷积积分求电路响应：
)(*)()()()(t h t f e
k t y t y t y t
i
zs zp i ∑+=
+=λ
（1）卷积
τ
ττd t h f t h t f t
)()()(*)(0-=
⎰
-
（2）常用性质：
①τ
τττd h dt
t dh dt t dh d f t h t f t t ⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)(*)()(*)()(*)(
②)()(*)(00t t f t t t f -=-δ
2、电路微分方程的建立和求解： （1）建立电路微分方程的方法：
①列KCL 、AKVL 或节点方程、A 回路方程 ②列支路VCR
③将②代入①应用微分算符，求得电路微分方程 （2）电路初始条件的求法
（3）求解电路微分方程的两种方法及其区别
3、卷积积分在电路、信号与系统理论中占有重要的地位，随着理论研究的深入及计算机技术的迅速发展。

卷积方法得到更广泛的应用。

应用卷积积分求解LTI 电路完全响应的方法步骤如下： （1）求出LTI 电路的冲击响应)(t h ； （2）应用卷积定理求出LTI 电路的零状态响应
)(*)(t h t f y zs =；
（3）求出电路的零输入响应)(t y zp
；
（4）叠加：)
()()(t y t y t y zs zp +=。

参考文献：
【1】罗光永·《信号与系统分析》·国防出版社 【2】姚建铨·《电路理论基础》·科学出版社 【3】钟建伟·《电路基础》·中国电力出版社
【4】江缉光·《电路原理》·清华大学出版社
【5】李敬社·《电路分析基础》·西安工业大学出版社【6】孙立山·《电路》·科学出版社。