广东省广州市海珠中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

广州市海珠中学2021学年第二学期期中考试高一年级数学
试卷
考试时间：120分钟
满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量(2,1),(5,2)a m b == ，若//a b
，则m 的值为（
）A ．15
-
B ．
15
C ．52
-
D ．
54
2．若复数2i
2i
z +=-，则||z =（）
A ．1
B ．3
C D
3．设单位向量,a b 满足,60〈〉=︒
a b ，则|2|a b += （
）
A B
C D
4．某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（）
A ．20
B ．40
C ．60
D ．80
5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3,5,7a b c ===，则ABC 的面积为（）
A B C ．
152
D ．
154
6．在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在[]40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[)40,60之间的学生人数是（
）
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
7．已知||4,||3,12a b a b ==⋅=- ，则向量b 在a
方向上的投影向量为（）
A ．34
a - B ．34
- b C ．43
- b D ．43
a -
8．
如图所示，ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则BE =
（
）
A ．5166
AB AC
-+uu u
r uuu r B ．2133
AB AC
-+
C ．5166AC AB -+
D ．2133
AC AB -+
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分．
9．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数22i
z i
=+，以下说法正确的是（）
A ．复数z 的虚部是4
5
i
B ．||1
z =C ．复数z 的共轭复数是2455
z i =
-D ．复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限
10．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为ABC 的重心，则下述结论中正确的是（
）
A ．A
B B
C CA += B ．
()
12AG AB AC =+ C ．0
AF BD CE ++= D ．0
GA GB GC ++= 11．某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，年龄28293032364045人数
1
3
3
5
4
3
1
有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A ．众数是32B ．众数
是5
C ．极差是17
D ．25%分位数是30
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内
的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=
.
若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅
.则（
）
A ．O 为ABC 的外心
B ．BO
C A π
∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C
=
D ．tan tan tan 0
⋅+⋅+⋅=
A OA
B OB
C OC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z 满足()1i 10z -⋅=，则z 的虚部为______．
14．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：
（单位：分）78，70，72，85，88，79，80，81，94，81，56，98，83，90，91．则这15人成绩的第80百分位数是_________．
15．如图．在ABC 中，已知:1:3=AM AB ，:1:4=AN AC ，BN 与CM 交于点E ，AB a
=
，AC b = ，则AE = _________（用a ，b 表示A E
）
．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C .且满足222,4a b c ab b +=+=.且△ABC 为锐角三角形，则△ABC 面积的取值范围为________.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面向量
()3,2a =-
，()1,2b = .（Ⅰ）求a b ⋅
的值；
（Ⅱ）若a b λ+
与a b - 垂直，求实数λ的值
18．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且222a b c +-=，
（1）求角C ；
（2）若2a b ==，求ABC 的面积．
19．某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男､女工人数如下表：
第一车间
第二车间第三车间
女工170120y
男工
180
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.13，其中第三车间的男女比例为3:2.
（1）求x ，y ，z 的值.
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
20．
已知()sin ,cos a x x ωω=- ，()
cos b x x ωω= ，()f x a b =⋅ ，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为π.
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）锐角ABC 中，()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.
21．某试验田分别种植了甲乙两种水稻，为了研究这两种水稻的产量，抽检了甲、乙两种水稻的谷穗各1000株．经统计，得到每株谷穗的粒数的频率分布直方图如图：
(1)求乙种水稻谷穗的粒数落在325,[375)之间的频率，并将频率分布直方图补齐；(2)试根据频率分布直方图估计甲种水稻谷穗粒数的中位数与平均数（精确到0.1）；(3)根据频率分布直方图，请至少从两方面对甲乙两种水稻谷穗的粒数作出评价．
22．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A
)
1nmile 的B 处有一艘走私船，在A 处
北偏西75°的方向，距离A 2nmile 的C 处的缉私船奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜.
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
参考数值：sin15cos15
︒=︒=。