2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：6 函数与方程及函数的应用

专题能力训练6 函数与方程及函数的应用
专题能力训练第18页
一、能力突破训练
1.f (x )=-1
x +log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案:B
解析:由题意,得f (x )单调递增,f (1)=-1<0,f (2)=1
2>0,所以f (x )=-1
x +log 2x 的零点落在区间(1,2)内.
2.设函数f (x )的零点为x 1,函数g (x )=4x +2x-2的零点为x 2.若|x 1-x 2|>1
4,则f (x )可以是( ) A.f (x )=2x-1
2 B.f (x )=-x 2+x-1
4 C.f (x )=1-10x D.f (x )=ln(8x-2)
答案:C
解析:依题意得g (1
4)=√2+1
2-2<0,g (1
2)=1>0,则x 2∈(14,1
2).若f (x )=1-10x , 则有x 1=0,此时|x 1-x 2|>1
4,故选C .
3.已知函数f (x )=3x +x ,g (x )=log 3x+x ,h (x )=sin x+x 的零点依次为x 1,x 2,x 3,则下列结论正确的是( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 3<x 1<x 2 D.x 2<x 3<x 1 答案:B
解析:在同一平面直角坐标系中画出y=3x ,y=log 3x ,y=sin x 与y=-x 的图象,如图所示,可知x 1<0,x 2>0,x 3=0,则x 1<x 3<x 2.
4.已知M 是函数f (x )=e -2|x-1|+2sin [π(x -1
2)]在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M 的值为( ) A.4
B.6
C.8
D.10
答案:C
解析:因为f (x )=e -2|x-1|+2sin [π(x -1
2)]=e -2|x-1|-2cos πx ,所以f (x )=f (2-x ).因为f (1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x ∈[1,5]时,函数y=e -2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cos πx ∈[-2,2],且在区间[1,5]上有两个周期,因此当x ∈[1,5]时,函数y=e -2(x-1)与y=2cos πx 有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.
5.已知函数f (x )=e x +2(x<0)与g (x )=ln(x+a )+2的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,1
e ) B.(-∞,e)
C .(-1
e ,e)
D .(-e ,1
e )
答案:B
解析:由题意,得方程f (-x )-g (x )=0在区间(0,+∞)内有解,
即e -x +2-ln(x+a )-2=0在区间(0,+∞)内有解,
即函数y=e -x 的图象与y=ln(x+a )的图象在区间(0,+∞)内有交点, 把点(0,1)代入y=ln(x+a ),得1=ln a ,解得a=e,故a<e .
6.(2018全国Ⅲ,理15)函数f (x )=cos (3x +π
6)在区间[0,π]上的零点个数为 . 答案:3
解析:令f (x )=cos (3x +π
6)=0,得3x+π
6=π
2+k π,k ∈Z ,∴x=π
9+kπ3
=
(3k+1)π
9
,k ∈Z .则在区间
[0,π]上的零点有π9,
4π9
,
7π
9
.故有3个.
7.已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x-2的零点为a ,函数g (x )=ln x+x-2的零点为b ,则f (a ),f (1),f (b )的大小关系为 .
答案:f (a )<f (1)<f (b )
解析:由题意,知f'(x )=e x +1>0恒成立,则函数f (x )在R 上是单调递增的, 因为f (0)=e 0+0-2=-1<0,f (1)=e 1+1-2=e -1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1). 由题意,知g'(x )=1
x +1>0,
则函数g (x )在区间(0,+∞)内是单调递增的.
又g (1)=ln 1+1-2=-1<0,g (2)=ln 2+2-2=ln 2>0,则函数g (x )的零点b ∈(1,2). 综上,可得0<a<1<b<2.因为f (x )在R 上是单调递增的,所以f (a )<f (1)<f (b ).
8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:
①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;
②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;
③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.
甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元.若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款元.
答案:520
解析:设商品价格为x元,实际付款为y元,
则y={x,0<x≤200,
0.9x,200<x≤500,
500×0.9+0.7(x-500),x>500,
整理,得y={x,0<x≤200,
0.9x,200<x≤500, 100+0.7x,x>500.
∵0.9×200=180>100,
∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,
∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.
9.已知函数f(x)=2x,g(x)=1
2|x|
+2.
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
解:(1)g(x)=1
2|x|+2=(1
2
)|x|+2,
因为|x|≥0,所以0<(1
2
)|x|≤1,
即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].
(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-1
2|x|
-2=0.
当x≤0时,显然不满足方程,
当x>0时,由2x-1
2x
-2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,
解得2x=1±√2.因为2x>0,所以2x=1+√2,
即x=log2(1+√2).
10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数
为110;②其他面的淋雨量之和,其值为1
2.记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=3
2时,
(1)写出y 的表达式;
(2)设0<v ≤10,0<c ≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少. 解:(1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为3
20|v-c|+1
2, 故y=
100v
(320|v -c |+12)=5
v (3|v-c|+10)(v>0).
(2)由(1)知,当0<v ≤c 时,y=5
v (3c-3v+10)=5(3c+10)
v
-15;
当c<v ≤10时,y=5
v (3v-3c+10)=
5(10-3c )
v
+15.
故
y={5(3c+10)
v
-15,0<v ≤c ,
5(10-3c )
v +15,c <v ≤10.
①当0<c ≤
10
3
时,y 是关于v 的减函数.故当v=10时,y min =20-3c
2. ②当10
3<c ≤5时,在区间(0,c ]上,y 是关于v 的减函数;在区间(c ,10]上,y 是关于v 的增函数. 故当v=c 时,y min =50
c .
二、思维提升训练
11.如图,偶函数f (x )的图象如字母M,奇函数g (x )的图象如字母N .若方程f (g (x ))=0,g (f (x ))=0的实根个数分别为m ,n ,则m+n=( )
A.18
B.16
C.14
D.12
答案:A
解析:由题中图象知,f (x )=0有3个根0,a ,b ,且a ∈(-2,-1),b ∈(1,2);g (x )=0有3个根0,c ,d ,且c ∈(-1,0),d ∈(0,1).由f (g (x ))=0,得g (x )=0或a ,b ,由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g (f (x ))=0,知f (x )=0或c ,d ,由图象可以看出f (x )=0时对应有3个
根,f (x )=d 时有4个,f (x )=c 时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A .
12.已知函数f (x )={2-|x |,x ≤2,
(x -2)2,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y=f (x )-g (x )的零点个数为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
答案:A
解析:因为f (x )={2+x ,x <0,
2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,
所以f (2-x )={2+(2-x ),2-x <0,
2-(2-x ),0≤2-x ≤2,(2-x -2)2,2-x >2
即f (2-x )={x 2,x <0,
x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,
f (x )+f (2-x )={x 2+x +2,x <0,
2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2,
所以函数y=f (x )-g (x )=f (x )-3+f (2-x )={x 2+x -1,x <0,
-1,0≤x ≤2,x 2-5x +5,x >2.
其图象如图所示.
显然函数图象与x 轴有2个交点,故函数有2个零点. 13.已知函数f (x )=ln x-(12)
x -1
+a 有唯一的零点x 0,且x 0∈(2,3),则实数a 的取值范围
是 . 答案:(1
4-ln3,1
2-ln2) 解析:令f (x )=0,得ln x=(12)
x -1
-a.
在同一平面直角坐标系中分别作出y=ln x 与y=(12)x -1
-a 的图象知,y=ln x 为增函数,
而y=(12)
x -1
-a 为减函数.要使两函数图象交点的横坐标落在区间(2,3)内,必须有
{ln2<(12)2-1
-a ,ln3>(12)3-1
-a ,
解得14-ln 3<a<12-ln 2.
14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,且R (x )={10.8-1
30x 2,0<x ≤10,
108x
-1 0003x 2,x >10.
(1)写出年利润W (单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)
解:(1)当0<x ≤10时,W=xR (x )-(10+2.7x )=8.1x-x 3
30-10; 当x>10时,W=xR (x )-(10+2.7x )=98-1 0003x
-2.7x.
故W={8.1x -x 3
30-10,0<x ≤10,
98-1 000
3x -2.7x ,x >10.
(2)①当0<x ≤10时,由W'=8.1-x 2
10=0,得x=9.当x ∈(0,9)时,W'>0;当x ∈(9,10]时,W'<0. 所以当x=9时,W 取得最大值, 即W max =8.1×9-1
30×93-10=38.6.
②当x>10时,W=98-(1 0003x
+2.7x)≤98-2√
1 0003x
×2.7x =38,
当且仅当
1 0003x
=2.7x ,即x=
1009
时,W 取得最大值38.
综合①②知:当x=9时,W 取得最大值38.6,
故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大. 15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x (单位:元)与年产量q (单位:t)满足函数关系:x=2 000√q.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格).
(1)将乙方的年利润w (单位:元)表示为年产量q (单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)在乙方年产量为q (单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q 2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s 是多少?
解:(1)因为赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2 000√q -sq (q ≥0). 因为w=2 000√q -sq=-s (√q -1 000s
)2+
1 0002
s
,
所以当q=(
1 000s
)2时,w 取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=(1 000s
)2 t .
(2)设甲方净收入为v 元,则v=sq-0.002q 2, 将q=(1 000s
)2代入上式,得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式:
v=
1 0002
s
−
2×1 0003
s 4
.
又v'=-
1 0002s 2
+
8×1 0003
s 5
=
1 0002(8 000-s 3)
s 5
,
令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格s 为20元/吨时,获得最大净收入.。