线性方程组的解法5
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1 ） 1.200x1 + 0.802x2 =1.100 （ 2 ） 0.002x1 + 4.000x2 = 3.060 （ 1.100 − 0.802x2 全 元 Gauss消 法 x1 = 主 素 去 ： 代 （ 入 2 ） 1.204 求 ： 出 x1 = 0.404 x2 = 0.765 真 ： 解 x1 = 0.404 x2 = 0.764
P P P P P P
块数： 4×4 子块： 6×6 带宽： 2×6+1
P P
P P P
P P P
P P
按行标准排列
代数方程组求解
对于代数方程组 对于代数方程组Ax=B 代数方程组Ax=B 若|A|的行列式不等于0，则解存在，x=A-1B |A|的行列式不等于 的行列式不等于0 则解存在， 求出A的逆矩阵，即可求解。但是对于A求逆矩阵常常较复杂， 求出A的逆矩阵，即可求解。但是对于A求逆矩阵常常较复杂，在实际 求解时，常把A进行LU分解。 分解。 求解时，常把A进行LU分解 A=LU(L下三角， 上三角) A=LU(L下三角，U上三角) 下三角 LUX=B,令 LUX=B,令UX=Y,LY=B Y=L-1B,X=U-1Y L,U都为三角矩阵，L-1,U-1比较容易求解。 L,U都为三角矩阵， 比较容易求解。 都为三角矩阵
线性方程组的解法
把偏微分方程通过离散转化为线性代数方程组， 把偏微分方程通过离散转化为线性代数方程组，是一个阶数非常高的大型线 性方程组，在用计算机求解时，数值解法可分为直接法和迭代法。 性方程组，在用计算机求解时，数值解法可分为直接法和迭代法。 直接法：以Gauss消取法为基础的一类方法。就是经过对原方程组有限次的 消取法为基础的一类方法。 直接法： Gauss消取法为基础的一类方法 运算处理后，逐个消取部分变量，最后得到一个与原方程等价的，便于求解 运算处理后，逐个消取部分变量，最后得到一个与原方程等价的， 的方程组，以解出各个变量的值。 的方程组，以解出各个变量的值。 如果不考虑计算可能产生的舍入误差，求得方程组的解应该为精确解。 如果不考虑计算可能产生的舍入误差，求得方程组的解应该为精确解。 迭代法：迭代法则与之相反，它先估计一组变量的数值，作为原方程的第一 迭代法：迭代法则与之相反，它先估计一组变量的数值， 次近似或称为初值，然后，利用某种叠代过程，逐步修改这组数值，得到2 次近似或称为初值，然后，利用某种叠代过程，逐步修改这组数值，得到2， 3，k次近似。 它将方程组的求解问题转化为一个无限序列，求其极限即为方 次近似。 它将方程组的求解问题转化为一个无限序列， 程组的解。一般在规定的误差范围内，逼近原方程的真实解。 程组的解。一般在规定的误差范围内，逼近原方程的真实解。
a11 a12 ...a1n a22 ...a2n A= ....... ann
4、对称矩阵 A=[aij]，若aij=aji 以主对角线为轴对称。 以主对角线为轴对称。
a11 a12 ...a1n a a ...a 2n 12 22 A= ....... ann a1n
简 法 单 高 消 法 列 元 斯 去 主 素 主 素 全 元 消 法约 消 法 去 当 去 对 追 法 一 )(* 接 法 直 解 三 角 赶 ( 维 ) D (二 )(* 4 维 ) 劳 分 法 柯 特 解 解 列 分 法 分 法 乔 基 解 大 稀 矩 求 ( A = L ) * U 型 疏 阵 解 解 法 可 迭 雅 比 代 接 法 迭 方 塞 尔 代 间 解 代 法 德 迭 松 因 迭 (P O , L O ) 弛 子 代 S R S R 交 方 隐 迭 替 向 式 代 隐 方 （ 维 (* 强 式 法 三 ）)
列主元素Gauss消去法 列主元素Gauss消去法
全主元素Gauss消去法存在一个缺点 全主元素Gauss消去法存在一个缺点，就是在选 消去法存在一个缺点， 主元时，要进行较多的比较，花费较多的时间， 主元时，要进行较多的比较，花费较多的时间， 为了避免这个缺点，又能使计算达到较高的要求， 为了避免这个缺点，又能使计算达到较高的要求， 常用列主元素Gauss消去法 常用列主元素Gauss消去法——按列进行，每一 消去法——按列进行 按列进行， 次消元在消元所在的列中进行， 次消元在消元所在的列中进行，找绝对值较大的 作为主元。 作为主元。
先消元，转换为易于求解的上三角方程组，由上到下依次进行，---顺过程 顺过程， 先消元，转换为易于求解的上三角方程组，由上到下依次进行，---顺过程，然 后求出， 称为回代方程，由下到上依次进行，---逆过程 后求出，xn,Xn-1,….X1,称为回代方程，由下到上依次进行，---逆过程
全主元素Gauss消去法 全主元素Gauss消去法
a11 a 22 A= ...... ann
2、带状矩阵 方阵A=[a ],若 =0,|i-j|>M(左下角一定范围内与右上角一定范围内 方阵A=[aij],若aij=0,|i-j|>M(左下角一定范围内与右上角一定范围内 元素为0) 元素为0) 称A为带状矩阵，2M+1称为带宽，M称为半带宽。 为带状矩阵，2M+1称为带宽 称为带宽， 称为半带宽。
油藏数值模拟中的许多方法，是综合应用直接解法和迭代 油藏数值模拟中的许多方法， 解法而成。 解法而成。 如强隐式方法既采用了直接解法中的矩阵分解法的原理， 如强隐式方法既采用了直接解法中的矩阵分解法的原理， 既采用了直接解法中的矩阵分解法的原理 同时又采用了迭代过程完成计算的一种方法。 同时又采用了迭代过程完成计算的一种方法。 线松弛方法本身是一种迭代解法，但在每一次迭代过程中， 线松弛方法本身是一种迭代解法，但在每一次迭代过程中， 本身是一种迭代解法 又使用了直接解法中的三对角分解法。 又使用了直接解法中的三对角分解法。
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6Байду номын сангаас
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上面在消去过程中，并没有考虑元素的大小， 上面在消去过程中，并没有考虑元素的大小，按顺序从上 到下消元，但在实际应用时，可能带入一定的误差， 到下消元，但在实际应用时，可能带入一定的误差，每次 计算都可能进行舍入，产生舍入误差，这样误差积累和传 计算都可能进行舍入，产生舍入误差， 播，计算结果与真实解相差较远。 计算结果与真实解相差较远。 因此，必须考虑找出绝对值最大的系数作为主元。 因此，必须考虑找出绝对值最大的系数作为主元。放在第 一个位置，一次类推。————全主元素Gauss消去法 全主元素Gauss消去法 一个位置，一次类推。————全主元素
D4排列 D4排列
对于二维问题，系数矩阵都为五对角矩阵， 对于二维问题，系数矩阵都为五对角矩阵， 二微问题离散后，其矩阵的形式将取决于 二微问题离散后， 排列格式，排列格式不同，其稀疏程度不 排列格式，排列格式不同， 同，计算量和存储量不同。 计算量和存储量不同。
1.标准排列格式 标准排列格式
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线性方程组的解法
刘鹏程
中国地质大学（北京）
一、矩阵的基本知识
一系列按行列顺序排列而成的表。 一系列按行列顺序排列而成的表。 m行n列组成，称m×n阶矩阵，m=n，称为n阶方阵。 列组成， 阶矩阵，m=n，称为n阶方阵。 n阶行列式是n2个数按一定运算规则所确定的一个数。 阶行列式 列式是 个数按一定运算规则所确定的一个数。 向量也是一种矩阵：一个n维向量可以是一个有一列n各元素组 向量也是一种矩阵：一个n维向量可以是一个有一列n 成的矩阵。 成的矩阵。
1 ） 0.002x1 + 4.000x2 = 3.060 （ 1 2 ） .200x1 + 0.802x2 =1.100 （ 3.060 − 4.000x2 去 ： 代 （ 入 2 ） Gauss消 法 x1 = 0.002 求 ： 出 x1 = 2.000 x2 = 0.765
a11 a12 a21 a22 a32 A= ....... an−1,n−2, an−1,n−1, an−1,n an,n−1, an,n
带宽3 带宽 半带宽1 半带宽
3、三角矩阵 A位于主对角线某一侧元 素全为0 素全为0， A主对角线左下角元素全 为0，上三角矩阵 A主对角线右上角元素全 为0，下三角矩阵
2 3 5 A= 1 4 9
A=
2 3 5 4 6 9
4 r A= 5 6
几种常见的矩阵
1、对角矩阵：方阵A 对角矩阵：方阵A 元素除对角元素外， 元素除对角元素外， 其余全为0 其余全为0，而对角元 素不全为0 素不全为0。 当aii=1(i=1,2 …n),A 为单位矩阵。 为单位矩阵。
5、对角占优矩阵 A主对角线的元素的绝对值不小于它所在行 上其它各元素的绝对值之和。 上其它各元素的绝对值之和。
aii ≥ ∑aij i =1 2...n ,
j=1 j≠i
n
据阵的基本运算
1、矩阵相等：所有元素对应相等。 矩阵相等：所有元素对应相等。 2、矩阵相加：各元素对应相加。 矩阵相加：各元素对应相加。 3、矩阵相减：各元素对应相减。 矩阵相减：各元素对应相减。 4、矩阵与数相乘：与数k相乘：各元素与k相乘。 矩阵与数相乘：与数k相乘：各元素与k相乘。 5、矩阵与矩阵相乘：第二个矩阵的行数必须与第一个矩阵的列数相等，相乘 矩阵与矩阵相乘：第二个矩阵的行数必须与第一个矩阵的列数相等， 后仍得到一个矩阵。其行数与第一个矩阵的行数相等， 后仍得到一个矩阵。其行数与第一个矩阵的行数相等，其列数与第二个矩阵的 列数相等。 列数相等。 矩阵的逆：A为n阶方阵，若AB=I，则B为A的拟矩阵A-1 阶方阵， AB=I， 的拟矩阵A 矩阵的逆： A-1A=AA-1=I。 =I。
Gauss消去法 Gauss消去法
Gauss消去法通过消元转换为易于求解的上三 Gauss消去法通过消元转换为易于求解的上三 角方程组求解。 角方程组求解。
a11 a12 ...a1n x1 b 1 x b a22 ...a2n 2 = 2 ....... .... ... annxn bn
三对角矩阵追赶法
Gauss消去法的一个特例，又称Thomas方法 Gauss消去法的一个特例，又称Thomas方法 消去法的一个特例
ci xi−1 + ai xi + bi xi−1 = di
三对角矩阵形式
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 P P 2 P P P 3 4 5 1 2 3 4 5 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P
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块数： 4×4 子块： 6×6 带宽： 2×6+1
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代数方程组求解
对于代数方程组 对于代数方程组Ax=B 代数方程组Ax=B 若|A|的行列式不等于0，则解存在，x=A-1B |A|的行列式不等于 的行列式不等于0 则解存在， 求出A的逆矩阵，即可求解。但是对于A求逆矩阵常常较复杂， 求出A的逆矩阵，即可求解。但是对于A求逆矩阵常常较复杂，在实际 求解时，常把A进行LU分解。 分解。 求解时，常把A进行LU分解 A=LU(L下三角， 上三角) A=LU(L下三角，U上三角) 下三角 LUX=B,令 LUX=B,令UX=Y,LY=B Y=L-1B,X=U-1Y L,U都为三角矩阵，L-1,U-1比较容易求解。 L,U都为三角矩阵， 比较容易求解。 都为三角矩阵
线性方程组的解法
把偏微分方程通过离散转化为线性代数方程组， 把偏微分方程通过离散转化为线性代数方程组，是一个阶数非常高的大型线 性方程组，在用计算机求解时，数值解法可分为直接法和迭代法。 性方程组，在用计算机求解时，数值解法可分为直接法和迭代法。 直接法：以Gauss消取法为基础的一类方法。就是经过对原方程组有限次的 消取法为基础的一类方法。 直接法： Gauss消取法为基础的一类方法 运算处理后，逐个消取部分变量，最后得到一个与原方程等价的，便于求解 运算处理后，逐个消取部分变量，最后得到一个与原方程等价的， 的方程组，以解出各个变量的值。 的方程组，以解出各个变量的值。 如果不考虑计算可能产生的舍入误差，求得方程组的解应该为精确解。 如果不考虑计算可能产生的舍入误差，求得方程组的解应该为精确解。 迭代法：迭代法则与之相反，它先估计一组变量的数值，作为原方程的第一 迭代法：迭代法则与之相反，它先估计一组变量的数值， 次近似或称为初值，然后，利用某种叠代过程，逐步修改这组数值，得到2 次近似或称为初值，然后，利用某种叠代过程，逐步修改这组数值，得到2， 3，k次近似。 它将方程组的求解问题转化为一个无限序列，求其极限即为方 次近似。 它将方程组的求解问题转化为一个无限序列， 程组的解。一般在规定的误差范围内，逼近原方程的真实解。 程组的解。一般在规定的误差范围内，逼近原方程的真实解。
a11 a12 ...a1n a22 ...a2n A= ....... ann
4、对称矩阵 A=[aij]，若aij=aji 以主对角线为轴对称。 以主对角线为轴对称。
a11 a12 ...a1n a a ...a 2n 12 22 A= ....... ann a1n
简 法 单 高 消 法 列 元 斯 去 主 素 主 素 全 元 消 法约 消 法 去 当 去 对 追 法 一 )(* 接 法 直 解 三 角 赶 ( 维 ) D (二 )(* 4 维 ) 劳 分 法 柯 特 解 解 列 分 法 分 法 乔 基 解 大 稀 矩 求 ( A = L ) * U 型 疏 阵 解 解 法 可 迭 雅 比 代 接 法 迭 方 塞 尔 代 间 解 代 法 德 迭 松 因 迭 (P O , L O ) 弛 子 代 S R S R 交 方 隐 迭 替 向 式 代 隐 方 （ 维 (* 强 式 法 三 ）)
列主元素Gauss消去法 列主元素Gauss消去法
全主元素Gauss消去法存在一个缺点 全主元素Gauss消去法存在一个缺点，就是在选 消去法存在一个缺点， 主元时，要进行较多的比较，花费较多的时间， 主元时，要进行较多的比较，花费较多的时间， 为了避免这个缺点，又能使计算达到较高的要求， 为了避免这个缺点，又能使计算达到较高的要求， 常用列主元素Gauss消去法 常用列主元素Gauss消去法——按列进行，每一 消去法——按列进行 按列进行， 次消元在消元所在的列中进行， 次消元在消元所在的列中进行，找绝对值较大的 作为主元。 作为主元。
先消元，转换为易于求解的上三角方程组，由上到下依次进行，---顺过程 顺过程， 先消元，转换为易于求解的上三角方程组，由上到下依次进行，---顺过程，然 后求出， 称为回代方程，由下到上依次进行，---逆过程 后求出，xn,Xn-1,….X1,称为回代方程，由下到上依次进行，---逆过程
全主元素Gauss消去法 全主元素Gauss消去法
a11 a 22 A= ...... ann
2、带状矩阵 方阵A=[a ],若 =0,|i-j|>M(左下角一定范围内与右上角一定范围内 方阵A=[aij],若aij=0,|i-j|>M(左下角一定范围内与右上角一定范围内 元素为0) 元素为0) 称A为带状矩阵，2M+1称为带宽，M称为半带宽。 为带状矩阵，2M+1称为带宽 称为带宽， 称为半带宽。
油藏数值模拟中的许多方法，是综合应用直接解法和迭代 油藏数值模拟中的许多方法， 解法而成。 解法而成。 如强隐式方法既采用了直接解法中的矩阵分解法的原理， 如强隐式方法既采用了直接解法中的矩阵分解法的原理， 既采用了直接解法中的矩阵分解法的原理 同时又采用了迭代过程完成计算的一种方法。 同时又采用了迭代过程完成计算的一种方法。 线松弛方法本身是一种迭代解法，但在每一次迭代过程中， 线松弛方法本身是一种迭代解法，但在每一次迭代过程中， 本身是一种迭代解法 又使用了直接解法中的三对角分解法。 又使用了直接解法中的三对角分解法。
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上面在消去过程中，并没有考虑元素的大小， 上面在消去过程中，并没有考虑元素的大小，按顺序从上 到下消元，但在实际应用时，可能带入一定的误差， 到下消元，但在实际应用时，可能带入一定的误差，每次 计算都可能进行舍入，产生舍入误差，这样误差积累和传 计算都可能进行舍入，产生舍入误差， 播，计算结果与真实解相差较远。 计算结果与真实解相差较远。 因此，必须考虑找出绝对值最大的系数作为主元。 因此，必须考虑找出绝对值最大的系数作为主元。放在第 一个位置，一次类推。————全主元素Gauss消去法 全主元素Gauss消去法 一个位置，一次类推。————全主元素
D4排列 D4排列
对于二维问题，系数矩阵都为五对角矩阵， 对于二维问题，系数矩阵都为五对角矩阵， 二微问题离散后，其矩阵的形式将取决于 二微问题离散后， 排列格式，排列格式不同，其稀疏程度不 排列格式，排列格式不同， 同，计算量和存储量不同。 计算量和存储量不同。
1.标准排列格式 标准排列格式
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线性方程组的解法
刘鹏程
中国地质大学（北京）
一、矩阵的基本知识
一系列按行列顺序排列而成的表。 一系列按行列顺序排列而成的表。 m行n列组成，称m×n阶矩阵，m=n，称为n阶方阵。 列组成， 阶矩阵，m=n，称为n阶方阵。 n阶行列式是n2个数按一定运算规则所确定的一个数。 阶行列式 列式是 个数按一定运算规则所确定的一个数。 向量也是一种矩阵：一个n维向量可以是一个有一列n各元素组 向量也是一种矩阵：一个n维向量可以是一个有一列n 成的矩阵。 成的矩阵。
1 ） 0.002x1 + 4.000x2 = 3.060 （ 1 2 ） .200x1 + 0.802x2 =1.100 （ 3.060 − 4.000x2 去 ： 代 （ 入 2 ） Gauss消 法 x1 = 0.002 求 ： 出 x1 = 2.000 x2 = 0.765
a11 a12 a21 a22 a32 A= ....... an−1,n−2, an−1,n−1, an−1,n an,n−1, an,n
带宽3 带宽 半带宽1 半带宽
3、三角矩阵 A位于主对角线某一侧元 素全为0 素全为0， A主对角线左下角元素全 为0，上三角矩阵 A主对角线右上角元素全 为0，下三角矩阵
2 3 5 A= 1 4 9
A=
2 3 5 4 6 9
4 r A= 5 6
几种常见的矩阵
1、对角矩阵：方阵A 对角矩阵：方阵A 元素除对角元素外， 元素除对角元素外， 其余全为0 其余全为0，而对角元 素不全为0 素不全为0。 当aii=1(i=1,2 …n),A 为单位矩阵。 为单位矩阵。
5、对角占优矩阵 A主对角线的元素的绝对值不小于它所在行 上其它各元素的绝对值之和。 上其它各元素的绝对值之和。
aii ≥ ∑aij i =1 2...n ,
j=1 j≠i
n
据阵的基本运算
1、矩阵相等：所有元素对应相等。 矩阵相等：所有元素对应相等。 2、矩阵相加：各元素对应相加。 矩阵相加：各元素对应相加。 3、矩阵相减：各元素对应相减。 矩阵相减：各元素对应相减。 4、矩阵与数相乘：与数k相乘：各元素与k相乘。 矩阵与数相乘：与数k相乘：各元素与k相乘。 5、矩阵与矩阵相乘：第二个矩阵的行数必须与第一个矩阵的列数相等，相乘 矩阵与矩阵相乘：第二个矩阵的行数必须与第一个矩阵的列数相等， 后仍得到一个矩阵。其行数与第一个矩阵的行数相等， 后仍得到一个矩阵。其行数与第一个矩阵的行数相等，其列数与第二个矩阵的 列数相等。 列数相等。 矩阵的逆：A为n阶方阵，若AB=I，则B为A的拟矩阵A-1 阶方阵， AB=I， 的拟矩阵A 矩阵的逆： A-1A=AA-1=I。 =I。
Gauss消去法 Gauss消去法
Gauss消去法通过消元转换为易于求解的上三 Gauss消去法通过消元转换为易于求解的上三 角方程组求解。 角方程组求解。
a11 a12 ...a1n x1 b 1 x b a22 ...a2n 2 = 2 ....... .... ... annxn bn
三对角矩阵追赶法
Gauss消去法的一个特例，又称Thomas方法 Gauss消去法的一个特例，又称Thomas方法 消去法的一个特例
ci xi−1 + ai xi + bi xi−1 = di
三对角矩阵形式
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 P P 2 P P P 3 4 5 1 2 3 4 5 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P