2020-2021学年北师大版高中数学必修五《解三角形》单元练习题及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五
解三角形 同步练习
一、选择题
1．在ABC ∆中，若222a c b ab -+=，则C 等于 （ ）
A ． 60o B. 120o C. 45o 或135o D. 30o
2．在△ABC 中，若AC=16,∠A=60o ，面积S =，则BC 为 （ ）
A ．75 B.51 C. D. 49
3.平行四边形ABCD 中，若AC BD ==18，则这个平行四边形的
面积是 ( )
A.16
B. 35
2 C. 18 D.32
4. 在ABC ∆中,周长7.5,sin :sin :sin 4:5:6p A B C ==,则下列式子成立的个数是
( )
①::4:5:6a b c =；②::2a b c =③::4:5:6A B C =；④2, 2.5,3a b c ===.
A.0
B.1
C. 2
D.3
5. 已知ABC ∆的三边长分别为AB ,AC ,BC =,其中
,,,(0,)m n t ∈+∞,则ABC ∆是 ( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.以上三种情
况都有可能
6. 在ABC ∆中,已知下列条件解三角形,其中有惟一解的个数为 ( )
①60,1A a b ===o ；②30,1,2A a b ===o ；③
30,10,6A c b ===o ；④. 30,15,5A c a ===o
A.0
B.1
C.2
D.3
7. 在ABC ∆中, C=60o,a+b=2(3+1),c=22，则A 等于 ( )
A.45o
B.75o
C. 45o 或75o
D.90o
8. 在ABC ∆中,若60,1,ABC A b S ∆===o 则sin sin sin a b c A B C ++++等于 ( )
A.81
B.3
C.3
D.
9.若满足
30,10A BC ==o 的ABC ∆恰好有不同的两个,则边AB 的长的取值范围是 ( )
A.(10,20)
B. (5,10)
C. [20,)+∞
D. (5,10)[20,)+∞U
10.一艘船以4/km h 的速度沿着与水流方向成120o
的方向航行,已知河水流速为
2/km h
,则经过,该船的实际航程为
( )
A. B.6km C. D.8km
二、填空题
11. 在ABC ∆中，,2,45a xcm b cm B ===o
，若利用正弦定理解三角形时有两解，则x 的取值范围是_____.
12.设,,a b c 分别是ABC ∆中角,,A B C 的对边，若
120,3,5,A b c ===o 则sin sin B C +=_______．
13.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30m 测得塔顶的仰角为2θ,再向
塔前进又测得塔顶的仰角为4θ,则塔高为__________m ．
14. 在ABC ∆中，若48,2ABC S ac c a ∆==-=,则b =_______．
三、解答题
15. 在ABC ∆中，若
2cos(60)b c a C -=+o ,求A .
16．在△ABC 中，已知2cosAsinB=sinC ，且(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，试判断三角形的形
状．
17. 在ABC ∆中，已知
3
2,10,cos 4C A a c A =+==，求： （1）c
a 的值； （2）
b 的值.
18.已知飞机在高空以300/km h 的速度按水平方向向东飞行,飞机的航线和山顶C 在同一铅直平面内,若
机上某人在A 处先测得海拔高度为4000m 的山顶C 的俯角为15o
,经120秒后在B
点又测得山顶C 的俯
角为60o ,求飞机现在的海拔高度.
19.设外接圆半径为6的ABC ∆的边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .若面积
22
()S a b c =--且4
sin sin 3B C +=. (1)求sin A 的值； (2)求ABC ∆面积的最大值.
15o 60o
参考答案
一、选择题
1.A
2.D
3.A
4.C
5.C
6.D
7.B
8.B
9.A
10.B
二、填空题
11.2x << 12. 13.15 14.三、解答题
15.解：∵
2cos(60)2(cos 60cos sin 60sin )b c a C a C C -=+=-o o o .
∴cos b c a C C -=.
由正弦定理，得:sin sin sin cos sin B C A C A C -=-.
又∵()B A C π=-+，∴sin()sin sin cos sin A C C A C A C +-=.
即sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C +-=-.
∴cos sin sin AsicC C A C -=.
∵sin 0C ≠,cos 1A A +=,即
1sin()62A π+=. ∵0A π<<,∴
23A π=.
16.解：(1)∵
3cos 4A =
，∴sin A ====. 又2C A =,
∴
3sin sin 22sin cos 24C A A A ====. 由正弦定理,得:sin sin a c A C =,
∴sin 3sin 2c C a A ===.
(2)由(1)得:
23a c =,又10a c +=, ∴4,6a c ==. 由余弦定理,得:
22222361620cos 22612b c a b b A bc b b +-+-+===⋅⋅. 又已知3cos 4A =, ∴2203124b b +=,即29200b b -+=.
解之,得:4b =,或5b =.经检验知: 4b =不合, ∴5b =.
17.解:(1)由1sin 2S bc A =和题设条件得: 22
1sin ()2bc A a b c =--. 即2221sin 2()2bc A bc b c a =-+-.
根据余弦定理,得: 1sin 22cos 2bc A bc bc A =-.
∴sin 44cos A A =-.
∵22sin cos 1A A +=,∴
224sin sin ()14A A -+=.
解之,得8
sin 17A =.
(2) ∵4sin sin 3B C +=
,由正弦定理,得:4223b c R R +=,即:42163b c R +=⨯=. ∴16c b =-. ∴2211844sin (16)(16)[(8)64]22171717S bc A b b b b b ==-⨯=-+=--+.
∴当8b =时,max 256
17S =.
18．解：如图，15,60BAC DBC ∠=∠=o o ,故45BCA ∠=o ,又
23001060AB =⨯=(km). 则在ABC ∆中，由正弦定理，得:sin15sin 45
AB
BC =o o .
故
10sin151)sin 45AB BC =
==o o (km). 在Rt BDC ∆中
,15sin 601) 3.17022CD BC ==⋅=o (km)=3170m. 从而,有:400031707170+=(m).
答：飞机现在的海拔高度为7170m.
19．解:(1)由1sin 2S bc A =和题设条件,可得: 22
1sin ()2bc A a b c =--,即:
2221sin 2()2bc A bc b c a =-+-.
根据余弦定理,得: 1sin 22cos 2bc A bc bc A =-.
∴sin 44cos A A =-,即:4sin cos 4A
A -=.
∵22sin cos 1A A +=,∴224sin sin ()14A A -+=.
结合sin 0A >的条件,可解得:
8
sin 17A =. (2)∵4sin sin 3B C +=,由正弦定理,得:4223b c R R +=.
42163b c R +=⨯=,即16c b =-.
21184sin (16)(16)221717S bc A b b b b ==-⨯=-+24[(8)64]17b =--+.
∴当8b =时,max 256
17S =.。