最新人教A版高中数学必修第一册第五章测试题及答案

最新人教A 版高中数学必修第一册第五章测试题及答案
第五章 三角函数 章末综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N
D ．M ∩N ＝∅
C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]
2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54
D ．1＋3
4
C [∵cos 75°＝sin 15°，
∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]
3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( )
A ．sin 2α
B ．－sin 2α
C ．cos 2α
D ．－cos 2α
A [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α
＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－2α＝sin 2α.]
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( ) A ．－47
B.47
C.18 D ．－18
A [tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5
＝－47.] 5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β
2的值等于( ) A ．±55 B ．±255 C ．－5
5
D ．－255
A [由已知，得s i n [(α－β)－α]＝sin(－β)＝4
5， 得sin β＝－4
5
.
∵β在第三象限，∴cos β＝－3
5， ∴cos β2＝±
1＋cos β
2
＝±15＝±55.]
6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6，0对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x ＝π
6对称
B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π
3＝3， 当x ＝π6时，y ＝2sin 2π
3＝3， 当x ＝－π
6时，y ＝2sin 0＝0.
所以A 、C 、D 错误，B 正确．]
7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )
A ．ω＝1，φ＝π
3 B ．ω＝1，φ＝－π
3 C ．ω＝12，φ＝π
6
D ．ω＝12，φ＝－π
6
C [由图象知，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.
又当x ＝2π
3时，y ＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×2π3＋φ＝1，
π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.]
8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )
A ．－43
5 B ．－335 C.335
D.435
A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3
cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π12的值为( )
A.
3＋22
6
B.
3－22
6
C.1＋266
D.1－266
A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4＝23，
∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，
又∵sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝13，
∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，π，
∴cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4＝－
1－sin 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4＝－223.
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋3
6
.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )
A ．b ＝a ＋c
B ．2b ＝a ＋c
C ．c ＝a ＋b
D ．c ＝ab
C [由根与系数的关系得： tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α＝－b a ，
tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝c
a ，
tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π4－α
＝
－b
a
1－c a
＝1，得c ＝a ＋b .] 11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
94等于( )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．4a A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12，
得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12
＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14＝a .]
12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙
在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )
B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，
C ，两人的直线距离大于等于零，排除
D ，故选B.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π
2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝3
2， cos α－sin α＝－
1＋32.]
14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x
5，则tan 2α＝________. 24
7 [因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x
5＝
x
x 2
＋16
，所以x ＝－3， 所以tan α＝y x ＝－4
3， 所以tan 2α＝
2tan α1－tan 2α＝24
7
.]
15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α的值为________．
718 [∵cos
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1
2cos 2α
＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.]
16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：
①y ＝f (x )的最大值为2；
②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π24，13π24上单调递减；
④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π
24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3
＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π12，
∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π
2＝π，即②正确．
f (x )的递减区间为2k π≤2x －π
12≤2k π＋π(k ∈Z )， 即k π＋π24≤x ≤k π＋13π
24(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π
24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π
24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，
所以④不正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－1
2，且角α在第四象限，计算： (1)sin(2π－α)； (2)
sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)
sin (π－α)·cos (α＋2n π)
(n ∈Z )．
[解] 因为cos(π＋α)＝－12，
所以－cos α＝－12，cos α＝1
2. 又角α在第四象限，
所以sin α＝－1－cos 2α＝－3
2. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝3
2. (2)
sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)
sin (π－α)·cos (α＋2n π)
＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α
＝－2sin αsin αcos α＝－2
cos α＝－4.
18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝3
5. (1)求sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6的值；
(2)求cos β的值．
[解] (1)∵α为锐角，sin α＝1
7， ∴cos α＝1－sin 2α＝43
7， ∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6
＝17×32＋437×12＝5314.
(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，
由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝4
5
，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋123
35. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？
[解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π
6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．
(2)变换情况如下：
y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π
12个单位长度
y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移3
2个单位长度
y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6＋32.
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．
[解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π
4≤2k π(k ∈Z )， 得－3π8＋k π≤x ≤π
8＋k π(k ∈Z )，
故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．
(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π8，π2上为减函数，又
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.
21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A . (1)试判断△ABC 的形状；
(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值．
[解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，
∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，
化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －3
2cos x
＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，
∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB
＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象
限，求OB 2的最大值．
[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .
设∠OAD ＝θ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，
OA ＝23cos θ， BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－θ＝cos θ，
AH ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－θ＝sin θ，
∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)， OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ
＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2θ＋π3.
由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π
3，
π
12时，OB 2取得最大值7＋4 3.
所以当θ＝。