高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算练习含解析选修2_1

3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算
1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:+(+)=+×(2)=+=.故选A.
2.下列命题中正确的个数是( A )
①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;
②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;
③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;
②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b 为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故选A.
3.在平行六面体ABCD EFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于( C )
(A) (B) (C) (D)1
解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C.
4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )
(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D
解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.
5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )
(A)P∈AB (B)P∉AB
(C)点P可能在直线AB上 (D)以上都不对
解析:因为m+n=1,所以m=1-n,
所以=(1-n)+n,
即-=n(-),即=n,
所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.
6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )
(A)m,n,p共线(B)m与p共线
(C)n与p共线(D)m,n,p共面
解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.
7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )
(A) (B)9 (C) (D)
解析:因为a,b,c三向量共面,
所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).
所以所以λ=.
8.给出下列命题:
①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条
件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若
=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,
则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.
9.下列命题:
①空间向量就是空间中的一条有向线段;
②不相等的两个空间向量的模必不相等;
③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
④向量与向量的长度相等.
其中真命题有.
解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.
②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.
③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.
④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.
答案:①
10.在直三棱柱ABC A 1B1C1中,若=a,=b,=c,则= .
解析:如图,
=-
=-=--(-)
=-c-(a-b)=-c-a+b.
答案:-c-a+b
11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若++=λ,则λ的值为. 解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,
所以-=2(-),
即3=2+.又2=+,
所以3=++.。