全国理数第58课 不等式选讲

第58课 不等式选讲
1． 绝对值不等式的解法
(1)(经典题，5分)在实数范围内，不等式||－2|－1|≤1的解集为_[0，4]_． 解析：由||||x －2－1≤1得－1≤||x －2－1≤1，
即⎩⎨⎧||x －2≥0，|
|x －2≤2，解得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0，4]．
(2)(2018浙江绍兴二模，4分)已知，a ，b ∈R ，|a －sin 2|≤1，|b ＋cos 2|≤1，则( C ) A ．a ＋b 的取值范围是[－1，3] B ．a ＋b 的取值范围是[－3，1] C ．a －b 的取值范围是[－1，3] D ．a －b 的取值范围是[－3，1]
解析：∵|a －sin 2θ|≤1，|b ＋cos 2θ|≤1，∴－1≤a －sin 2θ≤1，－1≤b ＋cos 2θ≤1，∴sin 2θ－1≤a ≤sin 2θ＋1，cos 2θ－1≤－b ≤cos 2θ＋1，两式相加得sin 2θ＋cos 2θ－2≤a －b ≤sin 2θ＋cos 2θ＋2，即－1≤a －b ≤3.
(3)(2018全国Ⅰ，10分)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集； 答案：⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x >12
解：(Ⅰ)(法一)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.
(2分)
由f (x )>1，得⎩
⎪⎨⎪⎧－1<x <1，
2x >1或x ≥1，
解得1
2
<x <1或x ≥1.
∴不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x >12.(5分) (法二)当a ＝1时，f (x )>1，即|x ＋1|－|x －1|>1，即|x ＋1|>|x －1|＋1.
两边平方并整理，得4x －1>2|x －1|，(2分) ∴4x －1>0，即x >1
4
.(3分)
将4x －1>2|x －1|两边平方并整理，得x 2>1
4，
∴x <－12或x >12
.
又x >14，∴x >12
，
∴不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x >12.(5分) (Ⅱ)若x ∈(0，1)时不等式f (x )>成立，求a 的取值范围．
答案：(0，2]
解析：由f (x )>x 在x ∈(0，1)上恒成立，得|x ＋1|－|ax －1|>x 在x ∈(0，1)上恒成立，即|ax －1|<|x ＋1|－x 在x ∈(0，1)上恒成立，即|ax －1|<x ＋1－x ＝1在x ∈(0，1)上恒成立，(8分)
∴－1<ax －1<1，即0<ax <2，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧a >0，a <2x
在x ∈(0，1)上恒成立， ∴0<a ≤2，即a 的取值范围是(0，2]．(10分)
(4)(2018全国Ⅱ，10分)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； 答案：{x |－2≤x ≤3}
解：当a ＝1时，函数f (x )＝5－|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.(2分)
当x ≤－1时，由f (x )＝2x ＋4≥0得x ≥－2，
解得－2≤x ≤－1；
当－1<x ≤2时， f (x )＝2≥0恒成立； 当x >2时，由f (x )＝－2x ＋6≥0得x ≤3， 解得2<x ≤3.(4分)
综上，不等式f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(5分)
(Ⅱ)若f (x )≤1，求的取值范围． 答案：{a |a ≥2或a ≤－6}
解：若a <－2，则f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3＋a ，x ≤2，7＋a ，2<x ≤－a ，－2x ＋7－a ，x >－a .
易知f (x )≤7＋a .因为f (x )≤1，所以7＋a ≤1，
解得a ≤－6，所以a ≤－6.(7分) 同理，当a ≥－2时， f (x )≤3－a .
因为f (x )≤1，所以3－a ≤1，解得a ≥2， 所以a ≥2.(9分)
综上，a 的取值范围是{a |a ≥2或a ≤－6}．(10分)
(5)(2017全国Ⅰ，10分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集； 答案：⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |－1≤x ≤
－1＋172 解：(Ⅰ)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0①.(1分)
当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0， 解得－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1；
当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，
解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172
.(4分)
综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为{x |－1≤x ≤－1＋17
2
}．(5分)
(Ⅱ)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围． 答案：[－1，1] 解：当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(7分)
又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(10分)
2．数形结合解决含绝对值的不等式问题
(6)(2018全国Ⅲ，10分)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －
1|.
图58－4
(Ⅰ)画出y ＝f (x )的图像； 答案：图像见解答过程
解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－（2x ＋1）－（x －1），x <－1
2，（2x ＋1）－（x －1），－12
≤x ≤1，
（2x ＋1）＋（x －1），x >1，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ，x <－12
，
x ＋2，－12
≤x ≤1，
3x ，x >1.
(3分)
画出函数图像，如图：
分)
(Ⅱ)当∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值． 答案：5
解：结合f (x )图像可知，x ≥0时， f (x )≥f (0)＝2.若f (x )≤ax ＋b 恒成立，则b ≥2，a ≥3，所以a ＋b ≥5，当且仅当a ＝3，b ＝2时，等号成立．所以a ＋b 的最小值为5.(10分)
3．绝对值三角不等式的应用
a ．利用绝对值三角不等式解决最值问题
(7)(2018河北衡水中学摸底，10分)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋2|x －3|. (Ⅰ)求不等式f (x )≤7的解集； 答案：[1，＋∞)
解：(Ⅰ)当x ＜－1
2时，不等式为－4x ＋5≤7x ，
解得x ≥5
11
，∴不等式无解；
当－1
2≤x ≤3时，不等式为7≤7x ，解得x ≥1，
∴1≤x ≤3；
当x ＞3时，不等式为4x －5≤7x ，解得x ≥－5
3
，
∴x ＞3.(4分)
综上，不等式f (x )≤7x 的解集是[1，＋∞)．(5分)
(Ⅱ)若关于的方程f (x )＝|m |存在实数解，求实数m 的取值范围． 答案：(－∞，－7]∪[7，＋∞)
解：∵|2x ＋1|＋2|x －3|＝|2x ＋1|＋|2x －6|≥|2x ＋1－(2x －6)|＝7，∴f (x )≥7，当且仅当(2x ＋1)(2x －6)≤0，即－1
2
≤x ≤3时取等号．(8分)
要使方程f (x )＝|m |存在实数解，只需|m |≥7，解得m ≥7或m ≤－7.故实数m 的取值范围是(－∞，－7]∪[7，＋∞)．(10分)
(8)(2018湖北黄冈期末，10分)已知函数f (x )＝|x ＋a |. (Ⅰ)当a ＝－5时，解不等式f (x )≤1＋|1－2x |； 答案：(Ⅰ)⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ≤－3或x ≥53
解：当a ＝－5时，不等式为|x －5|≤1＋|1－2x |，即|x －5|－|2x －1|≤1. 当x ≤1
2时，5－x ＋2x －1≤1，解得x ≤－3，
∴x ≤－3；
当12＜x ＜5时，5－x －2x ＋1≤1，解得x ≥53， ∴5
3
≤x ＜5； 当x ≥5时，x －5－2x ＋1≤1，解得x ≥－5，∴x ≥5. 综上，原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ≤－3或x ≥53.(5分)
(Ⅱ)若f (x )＋f (—x )＜4存在实数解，求实数a 的取值范围． 答案：(－2，2)
解：由题知存在x 使得|x ＋a |＋|－x ＋a |＜4成立， ∴(|x ＋a |＋|－x ＋a |)min ＜4.
∵|x ＋a |＋|－x ＋a |≥| x ＋a －x ＋a |＝2|a |，当且仅当－|a |≤x ≤|a |时取等号，(8分) ∴2|a |＜4，解得－2＜a ＜2，
∴a 的取值范围为(－2，2)．(10分)
(9)(2018河南驻马店期末，10分)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|，g (x )＝
. (Ⅰ)当＝3时，解不等式f (x )≤6； 答案：{x |－2≤x ≤1}
解：当a ＝3时， f (x )≤6，即|2x ＋3|＋|2x －1|≤6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，
－2x －3＋1－2x ≤6或
⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，
2x ＋3＋1－2x ≤6
或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x ＋3＋2x －1≤6，解得－2≤x <－32或－32≤x ≤12或1
2
<x ≤1，∴－2≤x ≤1，
∴不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤1}．(5分)
(Ⅱ)若对任意1∈[1,
]，都存在x 2∈R ，使得(g 1)＝(g 2)成立，求实数a 的取值范围． 答案：[－2，0]
解：∵f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|≥|(2x ＋a )－(2x －1)|＝|a ＋1|，当且仅当(2x ＋a )(2x －1)≤0时取等号，∴f (x )的值域为[|a ＋1|，＋∞)．(8分)
∵g (x )＝6x －52x －1＝3－2
2x －1在⎣⎡
⎦⎤1，52上单调递增， ∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1，5
2 . 依题意得⎣⎡⎦⎤1，5
2⊆[|a ＋1|，＋∞)， ∴||a ＋1≤1，解得－2≤a ≤0，
∴实数a 的取值范围为[－2，0]．(10分)
(10)(2016全国Ⅲ，10分)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集； 答案：{x |－1≤x ≤3}
解：当a ＝2时， f (x )＝|2x －2|＋2， 所以||2x －2＋2≤6等价于|2x －2|≤4， 所以－4≤2x －2≤4，解得－1≤x ≤3.
因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(5分)
(Ⅱ)设函数f (x )＝|2x －1|，当∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 答案：[2，＋∞)
解：因为当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝||2x －a ＋a ＋||1－2x ≥||2x －a ＋1－2x ＋a ＝||1－a ＋a ，当且仅当(2x －a )(1－2x )≥0时取等号，
所以当x ∈R 时， f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.(8分) 当a ≤1时，上式等价于1－a ＋a ≥3，无解； 当a >1时，上式等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．(10分)
(11)(2018山西朔州期末，10分)设函数f (x )＝|x -2|—|x +1|. (Ⅰ)解不等式f (x )>2； 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－1
2 解：由||x －2－||x ＋1>2，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，
－（x －2）＋（x ＋1）>2 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，－（x －2）－（x ＋1）>2 或⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥2，（x －2）－（x ＋1）>2， 解得x ≤－1或－1<x <－1
2
或无解，
∴x <－1
2
，即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12.(5分) (Ⅱ)若关于的不等式a 2－2a ≤f (x )的解集是空集，求实数a 的取值范围．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解：∵a 2－2a ≤f (x )的解集为空集，
∴a 2－2a >f (x )max ，而f (x )＝||x －2－||x ＋1≤||（x －2）－（x ＋1）＝3，当x ≤－1时取等号，(8分)
∴a 2－2a >3，即a >3或a <－1，
∴a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．(10分)
(12)(2018四川绵阳期末，10分)设函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|.
(Ⅰ)求不等式f (x )≥6的解集； 答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)
解：当x ≤－1时， f (x )＝(3－x )－(x ＋1)＝2－2x ，由f (x )≥6，得2－2x ≥6，解得x ≤－2，此时x ≤－2；
当－1<x <3时， f (x )＝3－x ＋x ＋1＝4<6，不等式f (x )≥6不成立； 当x ≥3时， f (x )＝x －3＋x ＋1＝2x －2，
由f (x )≥6，得2x －2≥6，解得x ≥4，此时x ≥4.
综上所述，不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)．(5分)
(Ⅱ)对任意的x ∈R ，不等式m 2－m －2≤f (x )恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：[－2，3]
解：要使m 2－m －2≤f (x )恒成立， 只需m 2－m －2≤f (x )min .
由绝对值三角不等式可得f (x )≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，当－1≤x ≤3时取等号， 所以f (x )min ＝4，(8分)
所以m 2－m －2≤4，即m 2－m －6≤0，解得－2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[－2，3]．(10分)
b ．利用绝对值三角不等式证明绝对值不等式
(13)(2016江苏，10分)设a ＞0，|x －1|＜
，|y －2|＜
，求证：|2x ＋y －4|＜a . 答案：见证明过程
证明：因为||x －1＜a 3，||y －2＜a
3
，
所以||2x ＋y －4＝||2（x －1）＋（y －2）≤2||x －1＋||y －2＜2·a 3＋a
3＝a .(10分)
(14)(2018广西钦州期末，10分)已知函数f (x )＝|2x —1|，x ∈R . (Ⅰ)解不等式＋f (2x —
)+ f (x )= <f (－1)； 答案：(0，1)
解：由f ⎝⎛⎭⎫2x －12＋f (x )<f (－1)，得⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫2x －1
2－1＋||2x －1<3， 即||2x －1<1，解得0<x <1，
所以原不等式的解集是(0，1)．(5分)
(Ⅱ)若对于x ，y ∈R ，有|x —2y |≤
，|4y —3|≤
，求证：f (x )<1. 答案：见证明过程
证明：因为||x －2y ＋1≤13，||4y －3≤1
6，所以f (x )＝||2x －1＝||2（x －2y ＋1）＋（4y －3）≤2||x －2y ＋1＋||4y －3≤23＋16＝5
6
<1，当且仅当(x －2y ＋1)(4y －3)≥0时取等号．
所以f (x )<1.(10分)
随堂普查练58
1．(2015天津，5分)设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析： ∵||x －2＜1，∴1<x <3. ∵(1，2) Ø (1，3)，
∴“1＜x ＜2”是“||x －2＜1”的充分不必要条件． 故选A.
2．(经典题，10分)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中>0)． (Ⅰ)当a ＝4时，求不等式的解集； 答案：⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－4≤x ≤23
解：当a ＝4时，不等式为||2x ＋1－||x －1≤2.
当x ＜－1
2时，－x －2≤2，解得x ≥－4，
∴－4≤x ＜－1
2
；
当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得x ≤23，
∴－12≤x ≤23
；
当x ＞1时，x ＋2≤2，此时x 不存在． ∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－4≤x ≤23.(5分)
(Ⅱ)若不等式有解，求实数a 的取值范围．
答案：⎣⎡
⎭
⎫24，＋∞ 解：令f (x )＝||2x ＋1－||x －1，
则f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x －2，x ＜－1
2
，
3x ，－12
≤x ≤1，
x ＋2，x ＞1，
易得f (x )∈⎣⎡⎭⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32
. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2
4，＋∞.(10分)
3. (2018湖北沙市区校级期中，10分)设函数f (x )＝|2x —a |＋2a ，其中a ∈R . (Ⅰ)若不等式f (x )≤6的解集是{x |—6≤x ≤4}，求a 的值；
答案：－2
解：(法一)因为f (x )≤6， 所以||2x －a ＋2a ≤6，
所以2a －6≤2x －a ≤6－2a ， 解得32a －3≤x ≤3－a
2
.(2分)
因为不等式f (x )≤6的解集是{x |－6≤x ≤4}， 所以32a －3＝－6且3－a
2＝4，解得a ＝－2.(5分)
(法二)因为不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}， 所以x ＝－6，x ＝4是方程f (x )＝6的解，
所以⎩⎨⎧f （－6）＝||12＋a ＋2a ＝6，f （4）＝|
|8－a ＋2a ＝6，
两式相减得||8－a ＝||12＋a ，解得a ＝－2.(5分)
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若不等式f (x )≤kx －5的解集非空，求实数k 的取值范围． 答案: (－∞，－1]∪(2，＋∞) 解：由(Ⅰ)知f (x )＝||2x ＋2－4，
所以不等式f (x )≤kx －5的解集非空， 即不等式||2x ＋2－4≤kx －5有解， 即||2x ＋2≤kx －1有解．(7分)
分别作出函数y ＝||2x ＋2，y ＝kx －1的图像，由图像可知k ≤－1或k >2时，不等式|2x ＋2|≤kx －1有解，
故k 的取值范围为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．(10分)
4．(2018西藏拉萨期末，10分)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )≤5； 答案：{x |－3≤x ≤2}
解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－（x －1）－（x ＋2）≤5或⎩⎪⎨⎪
⎧－2≤x ≤1，－（x －1）＋（x ＋2）≤5或
⎩
⎪⎨⎪⎧x >1，
（x －1）＋（x ＋2）≤5， 解得－3≤x <－2或－2≤x ≤1或1<x ≤2，
故不等式f (x )≤5的解集是{x |－3≤x ≤2}．(5分)
(Ⅱ)若f (x )≥|2m －3|对任意的x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． 答案：{m |0≤m ≤3}
解：因为f (x )＝||x －1＋||x ＋2≥|x －1－x －2|＝3，当－2≤x ≤1时取等号，所以f (x )min ＝3.(7分)
因为f (x )≥||2m －3 对任意的x ∈R 恒成立， 所以f (x )min ≥||2m －3，即||2m －3≤3，解得0≤m ≤3，故m 的取值范围是{m |0≤m ≤3}．(10分)
5．(2018山东潍坊奎文区校级模拟，10分)已知函数f (x )＝|x |，且关于x 的不等式f (x －a )<b 的解集为(－1，3)．
(Ⅰ)求实数a ，b 的值； 答案：a ＝1，b ＝2
解：不等式f (x －a )<b ，即|x －a |<b ， ∴a －b <x <a ＋b .
∵f (x －a )<b 的解集为(－1，3)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，a ＋b ＝3，解得a ＝1，b ＝2.(5分) (Ⅱ)证明：f (2x －a )＋f (x －b )≥32.
答案：见证明过程
证明： f (2x －a )＋f (x －b )＝f (2x －1)＋f (x －2)＝|2x －1|＋|x －2|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋|x －2|＋⎪⎪⎪
⎪x －12
≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－（x －2）＋⎪⎪⎪⎪x －12＝32＋|x －12|≥32
， 当⎩
⎨⎧12≤x ≤2，x ＝12，即x ＝12时取等号， ∴f (2x －a )＋f (x －b )≥32
.(10分)
6．(2018安徽蚌埠三模，10分)设f (x )＝|2x －a |＋|x －a |.
(Ⅰ)若a ＝1，解关于x 的不等式f (x )>2；
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜0或x ＞43 解：若a ＝1，不等式f (x )>2即为||2x －1＋||x －1＞2.
当x ≥1时，2x －1＋x －1＞2，解得x >43
， 所以x >43
； 当x ≤12
时，1－2x ＋1－x ＞2，解得x <0，所以x <0； 当12
＜x ＜1时，2x －1＋1－x ＞2，解得x >2，无解． 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜0或x ＞43 .(5分) (Ⅱ)求证：f (t )＋f ⎝⎛⎭
⎫－1t ≥6. 答案：见证明过程
证明： f (t )＋f ⎝⎛⎭⎫－1t ＝||2t －a ＋||t －a ＋⎪⎪⎪⎪－2t －a ＋⎪⎪⎪⎪－1t －a ≥|2t －a ＋2t
＋a |＋⎪⎪⎪⎪t －a ＋1t ＋a ＝3⎪⎪⎪⎪t ＋1t ＝3⎝⎛⎭
⎫||t ＋1||t ≥3×2＝6， 当且仅当t ＝±1且－1≤a ≤1时取等号．(10分)
课后提分练58 不等式选讲
A 组(巩固提升)
1．(2018河南郑州期末，5分)不等式1＜||x ＋1＜3的解集为( A )
A ．(－4，－2)∪(0，2)
B ．(0，2)
C ．(－2，0)∪(2，4)
D ．(－4，0)
解析：不等式1＜||x ＋1＜3可化为－3＜x ＋1＜－1或1＜x ＋1＜3，解得－4＜x ＜－2或0＜x ＜2，故不等式1＜||x ＋1＜3的解集为(－4，－2)∪(0，2)．
2．(2018浙江绍兴期末，12分)已知f (x )＝|ax －1|(a ∈R )，g (x )＝1－|x |.
(Ⅰ)若a ＝2，解不等式f (x )≤1；
答案：{x |0≤x ≤1}
解：当a ＝2时， f (x )＝||2x －1 .不等式f (x )≤1即||2x －1≤1，化为－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1.∴不等式f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤1}．(5分)
(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解集为R ，求a 的取值范围．
答案：[－1，1]
解：不等式f (x )≥g (x )即||ax －1≥1－|x |, f (x )＝||ax －1的图像经过定点(0，1)．
当a ＝0时，原不等式等价于|x |≥0，恒成立．(8分)
当a ≠0时，作出函数f (x )＝||ax －1和g (x )＝1－|x |的图像，如图．
由图像知1a ≥1或1a
≤－1，解得－1≤a ≤1且a ≠0. 综上，a 的取值范围是[－1，1]．(12分)
3．(2018湖北沙市校级期中，5分)已知函数f (x )＝||x －1＋||x ＋a ，g (x )＝||2x －3＋||x －1，
若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围是_⎝
⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭
⎫－12，＋∞_． 解析：设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}，
则由题意知A ⊆B .
f (x )＝||x －1＋||x ＋a ≥||（x －1）－（x ＋a ）＝||a ＋1，当(x －1)(x ＋a )≤0时取等号．
g (x )＝||2x －3＋||x －1＝⎪⎪⎪⎪x －32＋||x －1＋⎪⎪⎪⎪x －32≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －32－（x －1）＋⎪⎪⎪⎪x －32＝12
＋⎪⎪⎪⎪x －32≥12，当⎩⎨⎧1≤x ≤32，x ＝32，即x ＝32
时取等号， ∴g (x )≥12，∴||a ＋1≥12
， 解得a ≤－32或a ≥－12，∴实数a 的取值范围是(－∞，－32]∪[－12
，＋∞)．
4．(2018广东揭阳期末，10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|.
(Ⅰ)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ；
答案：M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}
解：当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时x <－1；当－1
＜x ＜－12时，原不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时原不等式无解；当x ≥－12
时，原不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1，此时x >1.
综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(5分)
(Ⅱ)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )> f (a )－f (－b )．
答案：见证明过程
证明：(法一)
因为f (ab )＝||ab ＋1＝||（ab ＋b ）＋（1－b ） ≥||ab ＋b －||1－b ＝||b ||a ＋1－||1－b ，(7分) 又因为a ，b ∈M ，所以||b ＞1，||a ＋1＞0,
所以f (ab )＞||a ＋1－||1－b ，
即f (ab )＞f (a )－f (－b )．(10分)
(法二)因为f (a )－f (－b )＝||a ＋1－||－b ＋1≤||a ＋1－（－b ＋1）＝||a ＋b ，
所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b ),
只需证||ab ＋1＞||a ＋b ， (7分)
即证||ab ＋12＞||a ＋b 2, 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，
即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.
因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，
所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．(10分)
5．(2018浙江余姚校级模拟，6分)已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x |≤m 的解集不是空集，则实数m 的取值范围是[2，＋∞)_；若不等式|x 2＋x －1|＋|x 2＋x ＋1|≥||
（a ＋1）＋（3a －1）||a 对任意非零实数a 恒成立，则实数x 的取值范围是_(－∞，－2]∪[1，＋∞)_．
解析：||x ＋2＋|x |≥|(x ＋2)－x |＝2，当且仅当x (x ＋2)≤0，即－2≤x ≤0时取等号． ∵关于x 的不等式||x ＋2＋|x |≤m 的解集不是空集，∴m ≥2.
∵||a ＋1－|3a －1|||a ≤||
（a ＋1）＋（3a －1）||a ＝4，
当a ∈⎝⎛⎦
⎤0，13时取等号， ∴不等式|x 2＋x －1|＋|x 2＋x ＋1|≥
||a ＋1－|3a －1|||a 对任意非零实数a 恒成立⇔不等式|x 2＋x －1|＋|x 2＋x ＋1|≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a ＋1|－|3a －1|||a max ＝4. 令x 2＋x ＝t ⎝
⎛⎭⎫t ≥－14，则||t －1＋||t ＋1≥4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，（t －1）＋（t ＋1）≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－14
≤t ＜1，－（t －1）＋（t ＋1）≥4，
解得t ≥2或无解，
∴x 2＋x ≥2，解得x ≥1或x ≤－2，
∴实数x 的取值范围是(－∞，－2 ]∪[1，＋∞)．
6．(2018河南郑州期末，5分)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为__[0，2]__．
解析：∵||x ＋||x －1≥||x －（x －1）＝1，当且仅当0≤x ≤1时取等号；||y ＋||y －1≥||y －（y －1）＝1，当且仅当0≤y ≤1时取等号，∴||x ＋||y ＋||x －1＋||y －1≥2.①
又∵||x ＋||y ＋||x －1＋||y －1≤2, ②
∴只有当0≤x ≤1，0≤y ≤1时， ①②两式同时成立．
∴0≤x ＋y ≤2.
B 组(冲刺满分)
7.(经典题，10分)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；
答案：{x |x ≤0或x ≥4}
解：当a ＝1时，不等式即为||x －1＋||2x －5≥6.
当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6，
∴x ≤0；当1＜x ＜52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ≤－2，与1<x <52
矛盾；当x ≥52
时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4. 综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}．(5分)
(Ⅱ)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1，2]⊆ A ，求a 的取值范围． 答案：(－∞，1]∪[5，＋∞)
解：∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|，
∴－|a －3|≤g (x )≤|a －3|，
又∵g (a )＝－|a －3|，g (3)＝|a －3|，
∴函数g (x )的值域A 为[－||a －3，||a －3]．(7分)
∵[－1，2]⊆A ，∴⎩
⎨⎧－||a －3≤－1，||a －3≥2， 解得a ≤1或a ≥5，
∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．(10分)
8．(2018辽宁期末，10分)已知f (x )＝|x 2－2mx －1|.
(Ⅰ)若m ＝12，解不等式f (x )>|x |x
； 答案：{x |x <0或0<x <1或x >2}
解：当m ＝12
时， f (x )＝|x 2－x －1|. 当x <0时， f (x )>|x |x
＝－1恒成立；
当x >0时， f (x )>|x |x ＝1⇔⎩
⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－x －1>1 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－x －1<－1，
解得x >2或0<x <1. 综上，m ＝12时，不等式f (x )>|x |x
的解集为{x |x <0或0<x <1或x >2}．(5分) (Ⅱ)若|x －2m |<1，求证：f (x )<2(|m |＋1)．
答案：见证明过程
证明：∵|x －2m |<1，∴f (x )＝|x 2－2mx －1|≤|x 2－2mx |＋1＝|x |·|x －2m |＋1<|x |＋1＝|x －2m ＋2m |＋1≤|x －2m |＋|2m |＋1<2|m |＋2＝2(|m |＋1)，即f (x )<2(|m |＋1)．(10分)。