江西省赣州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题附答案解析

江西省赣州市2018-2019学年高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于2的所有实数，所以两个集合的交集为{1}.{1}，故选B.
考点：集合的运算.
2.已知角终边上一点，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】∵角终边上一点，
∴，，，则，故选C．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.下列各组函数中，表示为同一个函数的是
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与且
【答案】D
【解析】
【分析】
A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数
D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数，
故选D．
【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域..
4.的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由余弦函数的二倍角公式把等价转化为，再由诱导公式进一步简化为，由此能求出结果．
【详解】，故选B．
【点睛】本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用，属于基础题.
5.已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长．
【详解】如图所示，
，，过点O作，C为垂足，
延长OC交于D，则，；
中，，
从而弧长为，故选A．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用问题，求出扇形的半径是解题的关键，属于基础题．
6.已知函数，则的值是（）
A. B. -9 C. D. 9
【答案】C
【解析】
分析：先求，再求得解.
详解：由题得=
所以=f(-2)=.故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)类似这种求值，一般从里往外，逐层求值.
7.设，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较，，与1和2的大小得答案．
【详解】∵，且，
，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，寻找中间量是解题的关键，属于基础题．
8.已知函数，则函数的零点所在的区间是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案．
【详解】∵函数和在上均为增函数，
∴在上为单调增函数，
∵，，
∴函数的零点所在的区间是，故选A．
【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题．
9.已知幂函数的图象过点，则的值为
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．
【详解】由设f（x）=x a，图象过点，
∴，解得a=，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．
10.已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）
A. 向右平移个长度单位
B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位
D. 向左平移个长度单位
【答案】A
【解析】
由图象可知，A＝1，，即T＝π，故ω＝2
于是f（x）＝sin（2x＋Φ），且f（）＝sin（＋Φ）＝－1，其中|Φ|＜，可得Φ＝
要得到g（x）＝sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移即可.
考点：三角函数图象及其变换
11.如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数：
；；；，其中“互为生成”函数的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“互为生成”函数的定义，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再结合函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】∵；；
；
，
故把中的函数的图象向右平移后再向下平移1个单位，可得中的函数图
象，故为“互为生成”函数，故选D．
【点睛】本题主要主要考查新定义，三角恒等变换，函数的图象变换规律，属于中档题．12.已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调递增的，，，是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
因为是锐角的三个内角，所以，得，
两边同取余弦函数，可得，
因为在上单调递增，且是偶函数，所以在上减函数，
由，可得，故选C.
点睛：本题考查了比较大小问题，解答中熟练推导抽象函数的图象与性质，合理利用函数的单调性进行比较大小是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，本题的解答中，根据锐角三角形，得出与的大小关系是解答的一个难点.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，根据两角差的正切公式可解得．
【详解】，故答案为：
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查．
14.若函数满足，且当时，则
______．
【答案】1009
【解析】
【分析】
推导出，当时，从而当时，，，由此能求出
的值．
【详解】∵函数满足，
∴，
∵当时，．
∴当时，，，
∴．
故答案为1009．
【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.______．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质结合等式，以及恒等式即可得结果.
【详解】原式．
【点睛】本题主要考查对数的运算性质，对数的定义，属于基础题.
16.下列五个结论：
集合2，3，4，5，，集合，若f：，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；
函数的定义域为，则函数的定义域也是；
存在实数，使得成立；
是函数的对称轴方程；
曲线和直线的公共点个数为m，则m不可能为1；
其中正确的有______写出所有正确的序号
【答案】
【解析】
【分析】
由，，结合映射的定义可判断；由由，解不等式可判断；由辅助角公式和正弦函数的值域，可判断；由正弦函数的对称轴，可判断；由的图象可判断交点个数，可判断．
【详解】由于，，B中无元素对应，故错误；
函数的定义域为，由，可得，
则函数的定义域也是，故正确；
由于的最大值为，，故不正确；
由为最小值，是函数的对称轴方程，故正确；
曲线和直线的公共点个数为m，如图所示，m可能为0，2，3，4，则m不可能为1，故
正确，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的定义域、值域和对称性、图象交点个数，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设全集，已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合. （1）求；
（2）若且,求实数的取值范围.
【答案】（1）{1}；（2）
【解析】
试题分析：（1）函数的定义域为集合，函数的值域为集合
，所以；（2）因为且，所以当时，则
；当时，则；综合以上，.
试题解析：解：（1）由题意知
∴
（2）若则；
若则，
综上，.
考点：集合的运算；函数的定义域和值域；由子集关系求参数范围.
18.已知函数．
求函数的最小正周期与对称中心；
求函数的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期，对称中心为；（2）
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称中心；直接利用整体思想求出函数的单调递增区间．
【详解】函数，
，
，
所以函数的最小正周期为，
令：，解得：，
所以函数的对称中心为．
由于，
令：，
解得：，
所以函数的单调递增区间为．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.
19.改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：
根据上表数据，从下列函数：；；中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由
利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
【答案】（1）见解析；（2）上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【解析】
【分析】
根据函数单调性选择模型；求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值．
【详解】由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，
而函数和均为单调函数，显然不符合题意；
故选择函数模型．
把，，代入得：
，解得：，
∴．
∴上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元．
【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，二次函数在实际中的应用，属于中档题
20.已知函数图象的一个最高点坐标为，相邻的两对称中心的距离为
．
求的解析式
若，且，求a的值
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
根据函数图象的最高点的坐标以及对称中心的距离求出周期和和的值即可；根据条件进行化简，结合三角函数值的对应性进行求解即可．
【详解】图象相邻的两对称中心的距离为，即，则，即，
图象上一个最高点为，∴，则，
，
即，∵，
∴，∴，即，
则，
即函数的解析式为，
若，
则，
即，即，
∵，∴，
∴或，即或．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题.
21.已知函数．
当时，判断在上的单调性并用定义证明；
若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
当时，在上单调递增，利用定义法能进行证明；令，由，得
，利用分离参数思想得，恒成立，求出最值即能求出实数的取值范围．
【详解】当时，在上单调递增．
证明如下：
在上任取，
，
∵，，
∴，
∴当时，在上单调递增．
∵令，由，得，
∵不等式恒成立，
即在内恒成立，
即，∴，恒成立，
又∵当时，，可得
∴实数的取值范围是．
【点睛】本题考查函数的单调性及证明，考查实数的取值范围的求法，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用单调性求出或即得解，是中档题．
22.定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函的一个上界已知函数，．若函数为奇函数，求实数a的值；
在的条件下，求函数，在区间上的所有上界构成的集合；
若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）上界构成集合为；（3）实数的取值范围为.
【解析】
试题分析：（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.
（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，
.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.
（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.
试题解析：（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
即，得，而当时不合题意，故. 4分
（2）由（1）得：，
下面证明函数在区间上单调递增，
证明略. 6分
所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的值域为，
所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分
（3）由题意知，在上恒成立.
，.
在上恒成立.
10分
设，，，由得,
设，，
,
所以在上递减，在上递增， 12分
在上的最大值为，在上的最小值为.
所以实数的取值范围为. 14分
考点：1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.。