数量关系

第一讲：复合应用题
1、王伯伯家买了4筐苹果，李叔叔家买了5筐苹果，和小芳家三家平均分。

小芳的爸爸拿出54元钱给王伯伯和李叔叔。

他们两人各应收回多少钱？
（4＋5）÷3=3筐 54÷3=18元王：18×（4－1）=54元李：54－18=36元
2、山泉农场要完成1500公亩的播种任务，原计划用4部播种机，每天每部播种25公亩。

为了加快速度，增加了2部同样的播种机，这样，能够比原计划提前几天完成任务？
1500÷（4×25）=15天1500÷[（4＋2）×25]=10天 15－10=5天
3、某厂要加工一批机器零件，原打算30人每天工作9小时，40天完成。

后来因为工作需要，抽走了5人，还要提前4天完成任务。

他们每天要工作几小时？
30×9×40÷[（30－5）×（40－4）]=12时
4、金山小学乘7辆同样的汽车外出参观，前5辆车每辆都有14人没有座位，后2辆车一共空一个座位。

如果再增加2辆汽车，却要空出31个座位。

这次外出参观的师生共有多少人？（5×14－1＋31）÷2=50人 50×（7＋2）－31=419人
5、张老师买了2千克苹果和3千克梨共用2.5元。

王老师买苹果的千克数是张老师的2倍，买梨的千克数是张老师的3倍，比张老师多用3.4元。

1千克苹果和1千克梨的价钱各是多少元？
梨：（3.4－2.5）÷3=0.3元苹果：（2.5－0.3×3）÷2=0.8元
6、有甲、乙、丙、丁四个数，这四个数的和是162。

如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。

求甲、乙、丙、丁四个数原来各是多少？
162÷（1＋1＋0.5＋2）=36甲：36－2=34乙：36＋2=38丙：36÷2=18丁：36×2=72
7、100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选（得票数并列第一选举无效）。

唱票过程中累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。

问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票才能保证一定当选？35－16=19票 100－61=39票（39－19）÷2＋1=11票
8、有一筐苹果和一筐梨，如果每天吃掉一个苹果两个梨，梨吃完时还剩三个苹果；如果每天吃掉两个苹果三个梨，苹果吃完时还剩五个梨。

你知道苹果有多少个？梨有多少个？苹果：（5＋2×3）÷（2－3/2）=22个梨：22÷2×3＋5=38个
9、甲、乙两个杯子里各有512克水，小明第一次将甲杯中的水的一半倒入乙杯中，第二次将乙杯中水的三分之一倒入甲杯中，第三次将甲杯中水的四分之一倒入乙杯中……如此进行下去，当他倒完第15次后，这时甲杯中有多少克水？
512×（1－1/16）=480克
10、小花狗非常顽皮，看见楼梯就上。

当它上到楼梯的正中一级台阶时打一个滚，滚下2级台阶；它又上5级台阶，高兴地一跳又跳下2级台阶；它又往上爬4级台阶，这时离最高一层还有3级台阶。

你算一算，这楼梯一共有几级台阶？
（3＋4－2＋5－2）×2＋1=17级
11、有一堆棋子，把它4等分，每堆有棋子A枚，还剩1枚；把A枚棋子再4等分，每堆有棋子B枚，还剩1枚；把B枚棋子再4等分，每堆有棋子C枚，还剩1枚。

原来这堆棋子最少有多少枚？
[（1×4＋1）×4＋1]×4＋1=85枚
12、自行车的前轮轮胎行驶5000千米后报废，后轮轮胎行驶3000千米后报废。

现有一对轮胎，可在适当的时候交换前后位置。

问一辆自行车同时安装上这对轮胎，最多可以行驶多少千米？
2÷（1/5000＋1/3000）=3750千米
13、足球是用黑、白两种颜色的皮缝制而成的。

黑皮是正五边形，白皮是正六边形，其中黑皮有12块，白皮有几块？
12×5÷3=20块
14、莎莎的储蓄罐里有26枚硬币，壹分、贰分和伍分硬币都有。

她先把其中的贰分硬币全部等值地换成伍分硬币，然后又把壹分硬币也全部等值地换成伍分硬币，这样硬币总数变为11枚。

问：莎莎的储蓄罐里原有伍分、贰分和壹分硬币各多少枚？
26－11=15枚2分换5分少5－2=3枚1分换5分少5－1=4枚15=3×1＋4×3
2分：5枚1分：3×5=15枚5分：26－5－15=6枚
15、李阿姨到邻居家当钟点工，星期一到星期五每天工作2小时，每天工资10元；星期六工作1小时，工资5元；星期天休息，没有工资。

她从7月下旬的某一天开始工作，24天后就辞去了这份工作（辞职这天她没有为邻居家干活），邻居家按事先的约定付给她工资190元。

已知7月1日是星期天，那么李阿姨辞去工作的那天是8月几号？
5×10＋5=55元 190÷55=3周……25元 10＋10＋5=25元。

所以李阿姨周四开始工作
1＋3×7＋4=26日7月26周四3×7＋4－（31－25）=19日辞去工作的那天是8月19号
16、玛丽、麦克、海伦结伴乘飞机去旅行，三人各自带了若干行李，这些行李一共重100千克，需要随飞机托运。

按照规定，每位旅客托运的行李在规定重量以下，享受免费搬运;超过规定重量以外的部分，按所超出的重量另收搬运费。

玛丽、麦克、海伦三人所带的行李
都超过了规定免费的重量，这样，他们分别应付托运费22元、14元、12元。

如果玛丽的全部行李分给麦克和海伦携带，那么麦克、海伦分别应付托运费38元、34元。

问：（1）按规定每位旅客可享受免费托运的行李重多少千克？（2）超重的行李每千克应付托运费多少元？22＋14＋12=48元 38＋34=72元 72－48=24元 24＋24×3=120元 120÷100=1.2元24÷1.2=20千克
17、某城市收取电费的标准是：若每月用电量不超过50千瓦时，则每千瓦时收电费5角；若每月用电量超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费。

6月份，张家比李家多交电费3元3角，这个月张家、李家各用了多少千瓦时电？（用电量以整数为单位）
33角=5角×5＋8角×1 李家:50－5=45千瓦时张家:50＋1=51千瓦时
第二讲：和差倍问题
1、某校六年级一班有学生49人，其中男生比女生多5人，这个班男、女生各多少人？（49－5）÷2=22人 22＋5=27人
2、把325分成两个数，使两数的和是两数差的5倍，两数各是多少？
325÷5=65（65＋5）÷2=195 325－195=130
3、少先队员种柳树和杨树共148棵，柳树的棵数比杨树棵数的2倍多4棵。

求两种树各种了多少棵？
（148－4）÷（1＋2）=48 148－48=100
4、甲、乙两数的和是32，甲数的3倍与乙数的5倍的和是122。

求甲乙两数各是多少？（122－32×3）÷（5－3）=13 32－13=19
5、甲、乙两打字员合打一份稿件，按分工，平均每人每小时打14页，3小时即可打完。

当两人打完稿件时，乙发现甲比自己多打了12页。

甲、乙两打字员打这份稿件时各打字多少页？（14×2×3－12）÷2=36 36＋12=48
6、甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。

每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的是24辆。

经过几天后，甲站的汽车辆数是乙站的7倍？
（192＋48）÷（1＋7）=30（48－30）÷（24－21）=6
7、有甲、乙、丙三袋化肥。

甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克，甲、丙两袋共重22千克。

甲、乙、丙三袋各重多少千克？
（32＋30＋22）÷2=42 42－30=12 42－22=20 42－32=10
8、六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人，不算丁班，其余三个班的总人数是134人，乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，四个班的总人数是多少
人？
（131＋134－1）÷3×2＋1=177
9、甲、乙两数的和是15.2，如果甲数减少3.1，乙数增加2.1，那么这时甲数还比乙数的2倍多1。

甲、乙两数原来各是多少？
（15.2－3.1＋2.1－1）÷（1＋2）=4.4 4.4－2.1=2.3 15.2－2.3=12.9
10、两个数相除，商3余10，被除数、除数、商及余数的和是143，求被除数是多少？（143―3―10―10）÷（3＋1）=30 30×3＋10=100
11、甲、乙、丙三数的和是100，甲数除以乙数，或丙、乙两数的和除以甲数，结果都是商5余1，问：乙数是多少？
（100－1）÷（1＋5）=16.5（16.5－1）÷5=3.1
12、四年级有学生76人，其中13名女生与男生的一半参加数学竞赛。

剩下的男女生人数相等。

这个年级的男生比女生多多少人？
（76－13）÷（1＋2）－13=8
13、师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件。

徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？
312÷（8÷2×5＋6）=12 12×5÷2=30
14、有两根绳子，长的是短的2倍，现在把每根绳子都剪掉6分米，那么长的一根就是短的一根3倍。

问：这两根绳子原来的长各是多少分米？
6÷（3－2）＋6=12 12×2=24
15、果园里苹果树的棵数是桃树棵数的3倍，管理人员每天能给25棵苹果树和15棵桃树喷撒农药。

几天后，当给桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷农药。

果园里两种树共有多少棵？
140÷（15×3－25）=7 15×7×（1＋3）=420
16、某商店库存花布是白布的2倍，如果每天卖30米白布和40米花布，几天后，白布完全卖完，而花布还剩120米。

原来库存花布多少米？
120÷（30×2－40）=6 6×40＋120=360
17、甲、乙两同学绕一周长400米的跑道行走，他们同时从同一起点反向行走，经过2.5分钟相遇；如果他们同时从同一起点同向行走，经过12.5分钟甲能追上乙。

甲、乙两人每分钟各走几米？
400÷2.5=160 400÷12.5=32（160－32）÷2=64 64＋32=96
18、如下图，有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形。

大长方形（A）的周长是240厘米，大长方形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？
第三讲差倍、年龄问题
1、一个数的小数点向左移动一位，比原数小0.72，原数是多少？
0.72÷(10－1)×10=0.8
2、甲数减去878，就等于乙数，如果甲数加上1142，就等于乙数的5倍。

甲、乙两数各是多少？
(878＋1142)÷(5－1)=505 505＋878=1383
3、把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，它们的和是这个三位数的55倍，这个三位数是多少？
(5000＋400)÷(55－1)=100
4、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中苹果数反而比甲筐多3千克？
(19+3)÷2=11
5、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。

大、中、小三筐共有苹果多少千克？
16÷(4－2)=8 8×2=16 8×4=32
6、有两袋大米，第二袋比第一袋多40千克，如果从第二袋中取出5千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍。

原来两袋大米的重量各是多少千克？
(40－5×2)÷(3－1)=15 15－5=10 10＋40=50
7、有甲、乙两桶油，若从甲桶倒入乙桶15千克，则两桶油重量相等；若从乙桶倒入甲桶48千克，则甲桶油是乙桶油的4倍。

甲桶原有油多少千克？
(15×2＋48×2)÷(4－1)=42 42×4－48=120
8、甲在银行存款4000元，乙在银行存款2000元。

两人从银行中取出同样多的钱后，甲的
存款是乙存款的5倍。

两人各取出多少元？
2000―(4000―2000)÷(5－1)=1500
9、两筐重量相等的苹果，甲筐卖出了7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍。

两筐原来各有苹果多少千克？
(19－7)÷(3－1)＋19=25
我的学生又告诉我一个方法：（19×3－7）÷2=25
10、甲数是乙数的4倍，如果甲数增加20，乙数增加70，则甲数是乙数的2倍。

甲、乙两数各是多少？
（20＋50×2）÷（4－2）=60 60×4=240
11、有甲、乙两个仓库，甲仓储存的大米等于乙仓的4倍。

如果从甲仓运600袋到乙仓，则乙仓的大米等于甲仓的4倍。

甲、乙两个仓库原来各有大米多少袋？
600÷3=200 200×4=800
12、甲、乙、丙三只筐，筐内装球数不等，三只甲筐装的球与四只乙筐装的球相等，两只乙筐装的球刚好等于一个丙，甲筐比丙筐少装60个，乙筐装球多少个？
60÷（2－4/3）=90
13、A、B、C三条公路，B公路的长度是A公路的2倍，C公路比B公路的3倍还多15千米，A公路比C公路短230千米，三条公路各长多少千米？
（230－15）÷（2×3－1）=43 43×2=86 43＋230=273
14、父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子的2倍。

父子年龄各是多少？15÷（5－2）=5 5×5=25 怎么这么年轻就当爸爸了？
15、姐姐年龄比妹妹年龄的3倍多1岁，但妹妹5年后的年龄比姐姐3年前的年龄大1岁。

求姐妹年龄各是多少岁？
（5＋3―1―1）÷（3－1）=3 3×3＋1=10
16、父亲的年龄是50岁，女儿的年龄是16岁，几年后父亲的年龄正好是女儿的3倍？
（50－16）÷（3―1）―16=1
17、学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁。

”那么，这位老师今年多少岁？
39－（39－3）÷3=27
18、小红全家人的年龄加在一起，刚好是90岁。

小红的爸爸比妈妈大3岁，小红比妹妹大5岁。

但是，8年前，他们全家人的年龄和刚好是60岁。

想一想，小红家四人今年各是几岁？
90－60－3×8=6 6＋5=11 （90―6―11―3）÷2=35 35＋3=38
19、有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和，9年后老师年
龄为甲、乙两学生年龄之和；又3年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再3年后，则为乙、丙两学生年龄之和。

求现在各人的年龄？
20、梁老师问陈老师有多少个子女。

陈老师说：“现在我和妻子的年龄和是子女年龄和的
6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。

”陈老师有多少个子女？
分析与解答：
假设陈老师有x个子女，我们用文字等式来表达题目中的等量关系由“我和我爱人的年龄
之和是我们子女年龄和的6倍”可得：陈老师和他爱人年龄之和=子女年龄和的6倍 (1)
由“2年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍”可得：陈老师和他爱人年龄之和-4岁
=10´（子女年龄和-2´x） (2)
由“6年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍”可得陈老师和他爱人年龄之和+12岁=3´
（子女年龄和+6´x） (3)
把(1)分别代入到(2)和(3)中去，得
6´子女年龄和-4岁=10´（子女年龄和-2´x）…….(4) 6´子女年龄和+12岁=3´
（子女年龄和+6´x） (5)
把(4)和(5)整理一下，把一样的项都挪到一边去 20´x-4岁=4´子女年龄和 (6)
18´x=3´子女年龄和+12岁 (7)
把(6)两边都都除以4，(7)两边都除以3，得
5´x-1岁=子女年龄和......(8) 6´x=子女年龄和+4岁 (9)
用(9)减去(8)，得x=3 所以陈老师有3个子女。

现在是6的倍数，-4是10的倍数，+12是3的倍数
84 80 96
14 8 32
6年后，子女增加了18岁，所以是3个
补充内容:
1. 今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？
解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4-1）=5岁，父亲今年是5×5=25岁.
2. 有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。

求现在各人的年龄。

解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.
3. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。

四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。

问：现在各人的年龄是多少？
解答：73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.
4. 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。

问：哥哥现在多少岁？
解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.
5. 今年是1996年。

父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。

四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。

那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？
解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×（弟+兄）+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11岁，兄是25-11=14岁，父是11×4=44岁，母是14×3=42岁（以上都是4年后的年龄，即公元2000年），很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就是公元2001年.
6. 甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？
解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2×a岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2×（17+a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2×（17+a）-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，（113-59）÷3=18，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.
7. 今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。

几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。

又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。

求：祖父今年是多少岁？
解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180等等），今年小明的年龄是：60÷（6-1）=12岁，那么祖父就是12+60=72岁.
第四讲盈亏问题
1、幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友，如果每人2个，则多18个，如果每人3个，则少12个。

问幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个苹果？
（18＋12）÷（3－2）=30 2×30＋18=78
2、一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果每只猴子分8个桃子，则刚好分完。

求有多少只猴子？多少个桃子？
10×2÷（10－8）=10 10×8=80
3、实验小学学生乘车春游，如果每车坐60人，则有15人上不了车；如果每车坐65人，恰好多出一辆车。

问一共有几辆车？有多少个学生？
（15＋65）÷（65－60）=16 60×16＋15=975
4、学生分练习本，如果每人分4本，则多8本；如果有1人分10本，其余每人分6本，则缺
18本。

学生有多少人？练习本有多少本？
[18―（10―6）＋8]÷（6－4）=11 11×4＋8=52
5、小强从家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分；如果每分走60米，就可以比上课时间提前2分到校。

小强家到学校的路程是多少千米？
（3×50＋2×60）÷（60－50）=27（27＋3）×50=1500米=1.5千米
6、张华离家到县城去上学，他以每分50米的速度走了2分后，发现按这个速度走下去就要迟到8分。

于是他加快了速度，每分多走10米，结果到校时，离上课还有5分。

张华家到学校的路程是多少？
[8×50＋5×（50＋10）]÷10=70（70＋2＋8）×50=4000米
7、一组学生植树，每人栽6棵还剩4棵；如果其中3人各栽5棵，其余每人各栽7棵，正好栽完。

这一组学生有多少人？一共栽多少棵？
[4＋（7－5）×3]÷（7－6）=10 10×6＋4=64
8、小红的爷爷买回一筐梨，分给全家人。

如果小红和小妹两人每人分4个，其余每人分两个，还多出4个；如果小红一人分6个，其余每人分4个，又差12个。

小红家有多少人？这筐梨有多少个？
（4＋2×2＋12－2）÷（4－2）=9 4×2＋2×（9－2）＋4=26
9、学校有一批树苗，交给若干少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分了；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。

参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？
12＋8=20 10×20－8=192
10、有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。

这批砖原有多少块？
（32＋49－1）÷2=40 40×40＋32=1632
11、某年级同学春游时租船游湖，若每只船乘10人，还多2个座位；若每只船多坐2人，可少租一条船，这时每人可节省5角钱。

租一只船需要多少钱？
（10＋2－2）÷2=5 5×10－2=48 48×0.5=24
12、小李到市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元。

已知牛肉比猪肉每千克贵8角。

牛肉、猪肉各多少钱一千克？
（0.8×18―4―2）÷（20－18）=4.2 4.2＋0.8=5
13、学校买来一批篮球与排球分给各班，排球是篮球的2倍，若篮球每班分2个，多4个；
若排球每班分5个，少2个。

学校有几个班？篮球与排球各买了几个？
（4×2＋2）÷（5－2×2）=10 5×10－2=48 48÷2=24
14、用绳子量井深，把绳三折来量，井外余4米，把绳折四折量，井外余1米。

求绳长和井深。

整数解法：
把绳三折来量,井外每折余4米,所以井外共余4×３＝１２（米）；把绳四折来量，井外每折余１米，所以井外共余１×４＝４（米）．为什么把绳三折来量井外余１２米，而四折来量余４米呢？这是因为在井内多了４－３＝１（折）的缘故，故井外余绳的差（１２－４）８米就是井内１折的长，也就是井深８米．
列式为：（4×３－１×４）÷（４－３）＝８（米）．．．．．．井深
（８＋４）×３＝３６（米）．．．．．．绳长
分数解法：
把绳三折来量,井外余4米,就是指绳长的1/3比井深多4米；把绳四折来量，井外余１米，就是指绳长的1/4比井深多1米；综合上面两句话，说明绳长的1/3比绳长的1/4多（4-1）3米。

列式为：（4－1）÷（1/3－1/4）＝36（米）......绳长
36×（1/3）－4＝8（米）......井深
答：井深８米，绳长３６米．
方程解法:
解:设井深x米.
3(4+x)=4(1+x)
x=8
绳长: (8+4)*3=36(米)
答:井深8米,绳长36米.
15、用一根绳绕树五周还余1/6米，若用绳的1/3绕树一周还余5/6米．求绳长和树的周长．（5/6×3－1/6）÷（5－3）=7/6 7/6×5＋1/6=6
（5/6－1/6÷5）÷（1/3－1/5）=6 6×1/3－5/6=7/6
第五讲鸡兔同笼问题
1、鸡兔同笼，共有头100个，足316只，求鸡兔各有多少只？
兔:316÷2－100=58鸡:100－58=42
2、小明花4元钱买贺年卡和明信片，共14张，贺年卡每张3角5分，明信片每张2角5分。

问：买了几张贺年卡，几张明信片？
3角5分:（4－0.25×14）÷(0.35－0.25)=5 2角5分:14－5=9
3、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。

鸡兔各几只？
(100－92÷2)=4 鸡:(100－4×4)÷(2＋4)=14 兔:14＋4=18
4、100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃一个。

大、小和尚各有多少人？
大和尚:100÷(3＋1)=25 小和尚:25×3=75
5、30枚硬币，由2分和5分组成，共值9角9分。

两种硬币各多少枚？
5分:（99－2×30）÷(5－2)=13 2分:30－13=17
6、有2角、5角和1元的人民币20张，共计12元，三种票子各多少张？
2角的是5的倍数。

2角5张。

20－5=15张 12－0.2×5=11元
5角:(1×15－11)÷(1－0.5)=8 1元:15－8=7
7、班主任老师带五年级二班50名学生去栽树，张老师一人栽5棵，男生一人栽3棵，女生一人栽两棵，总共栽树120棵。

有几名男生？几名女生？
120－5=115 女生:(50×3－115)÷(3－2)=35 男生:50－35=15
8、100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每两人栽1棵树，总共栽树100棵，求老师和学生各栽树多少棵？
(2×100－100)÷(3－1/2)=80名学生:80÷2=40棵老师: 100－40=60棵
9、80本语文书和100本数学书总价相等。

已知每本语文书比每本数学书贵5分，语文书和数学书的单价各是多少？
数学书:0.05×80÷(100－80)=0.2 语文书:0.2＋0.05=0.25
反比例方法:语文书和数学书的单价比是: 100:80=5:4 5÷(5－4)×5=25分25－5=20分10、搬运100只玻璃瓶，规定搬一只得搬运费3分，但打破一只要赔5分。

运完后共得运费2.60元，搬运中打破了几只玻璃瓶？
(3×100－260)÷(3＋5)=5
11、一个运输队包运10000只瓶子，每100只可得运费1元5角，如损坏一只不但不给运费，还要赔偿2角。

这个队共得运费146元5角6分，损坏了几只瓶子？
1.5÷100=0.015 (10000×0.015－146.56)÷(0.015＋0.2)=16
12、某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？
15－(8×15－72)÷(8＋4)=11
13、清风小学三名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错一题扣3分。

这3名同学都回答了所有的题。

成绩分别是87分、74分和9分。

他们一共答对了多少题？
10×3－[10×10×3－(87＋74＋9)]÷(10＋3)=20
14、鸡、兔同笼，兔比鸡少15只，脚数共有282只，问：鸡、兔各几只？
兔:(282－15×2)÷(2＋4)=42 鸡:42＋15=57
15、鸡、兔同笼，兔比鸡多15只，脚数共有228只，问：鸡、兔各几只？
鸡:(228－15×4)÷(2＋4)=28 兔:28＋15=43
16、一只螃蟹有10只脚；一只蜻蜓有6只脚，两对翅膀；一只螳螂有6只脚，一对翅膀。

现有螃蟹、晴蜓、螳螂共37只，合计有脚250只，翅膀52对。

求螃蟹、晴蜓、螳螂各有多少只？螃蟹:(250－37×6)÷(10－6)=7 37－7=30
蜻蜓:(52－30×1)÷(2－1)=22 螳螂:30－22=8
17、由甲、乙两个工程队修一段长2136米的公路，先由甲队以每天30米的速度修了若干天，然后再由乙队接着修，每天修42米，两队共用60天修完这段路。

问：两队各修了多少天？甲:(42×60－2136)÷(42－30)=32 乙:60－32=28
18、买单价为2元、3元、5元的图片65张，共花去240元，已知单价5元的图片张数是2元张数的2倍，三种图片各买了多少张？
(2＋5×2)÷(1＋2)=4元 3元: (65×4－240)÷(4－3)=20
2元:(65－20)÷(1＋2)=15 5元:15×2=30
19、公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃子266个，已知一只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘桃5个，又知公猴比母猴少4只，问：小猴有几只？
(10＋8)÷2=9个 38＋4=42只 266＋4×10=306只
小猴:(9×42－306)÷(9－5)=18 公猴:(38－18－4)÷2=8 母猴:8＋4=12
20、传说九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头．现有头580个，有尾900条，问两种鸟各有多少只？
第六讲容斥原理
1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。

他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。

这个团共有多少个小演奏家？
32＋27－11=48
2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。

问：这个班两队都参加的有多少人？
30＋25－42=13
3、京华小学五年级学生采集标本。

采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。

全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？
19＋25－8=36 40－36=4
4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。

既懂英语又懂日语的有多少人？
100－10=90 75＋83－90=68
5、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。

其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人。

既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种都会的有19人。

这个工厂一共有多少人？235＋218＋207－112－71－63＋19=433
6、外语学校有英语、法语和日语教师共27人。

其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语和日语的有5人，能教法语和日语的有3人，能教英语和法语的有4人，能教英语、法语和日语的只有2人。

只能教法语的教师有多少人？
8＋6＋（5－2）＋（4－2）＋（3－2）＋2=22 27－22=5
7、某校五年级有学生54人，每人至少爱好一种球。

其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。

这三种球都爱好的有多少人？
54－（40＋20＋30－18－14－12）=8
8、如图，在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方形纸。

问：桌面上没有被纸片盖住的面积是多少？。