2020年湖北省荆州市中考数学试卷(附答案详解)

2020年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.(2020·广西壮族自治区钦州市·单元测试)有理数−2的相反数是()
A. 2
B. 1
2C. −2 D. −1
2
2.(2020·湖北省荆州市·历年真题)下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是()
A. B. C. D.
3.(2020·湖北省荆州市·历年真题)在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是
()
A. B.
C. D.
4.(2021·浙江省宁波市·期中考试)将一张长方形纸片折
叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度
数是()
A. 45°
B. 55°
C. 65°
D. 75°
5.(2021·湖南省长沙市·月考试卷)八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部
分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则可列方程为()
A. 10
2x −10
x
=20 B. 10
x
−10
2x
=20 C. 10
x
−10
2x
=1
3
D. 10
2x
−10
x
=1
3
6.(2020·陕西省西安市·期中考试)若x为实数，在“(√3+1)□x”的“□”中添上一种
运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是()
A. √3+1
B. √3−1
C. 2√3
D. 1−√3
7.(2021·单元测试)如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，
连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；
④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是()
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
8.(2021·贵州省贵阳市·单元测试)如图，在平面直角坐标
系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正
半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐
标为()
A. (√3,√3)
B. (√3,1)
C. (2,1)
D. (2,√3)
9.(2021·河北省石家庄市·模拟题)定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗
b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3= (4+3)(4−3)−1=7−1=6.若x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()
A. 有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根
10.(2020·湖北省荆州市·历年真题)如图，在6×6的正
方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，
C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则
cos∠BAC的值为()
A. √5
5
B. 2√5
5
C. 1
2
D. √3
2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
)−1，c=|−3|，则a，11.(2020·湖北省荆州市·历年真题)若a=(π−2020)0，b=−(1
2
b，c的大小关系为______.(用“<”号连接)
12.(2020·江苏省·单元测试)若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为
______．
13.(2020·湖北省荆州市·历年真题)已知：△ABC，求作：△
ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平
分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，
OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用
到的数学依据______________．
14.(2021·安徽省芜湖市·单元测试)若标有A，B，C的三只灯
笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到
摘完，则最后一只摘到B的概率是______．
15.(2020·湖北省荆州市·历年真题)“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全
民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC=3
，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→
4
D→A路线跑一圈，则他跑了______km．
16.(2020·广东省·单元测试)我们约定：(a,b，c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，
当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(m,−m−2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.(2021·山西省太原市·同步练习)先化简，再求值：(1−1
a )÷a2−1
a2+2a+1
，其中a是不等
式组{a−2≥2−a ①
2a−1<a+3 ②
的最小整数解．
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）
18.(2021·全国·单元测试)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，
求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4√x2+2x−5=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设√x2+2x=t(t≥0)，则有x2+2x=t2，
原方程可化为：t2+4t−5=0，
【续解】
19.(2021·山东省济宁市·模拟题)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点
C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
(1)求证：BC//AD；
(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
20.(2021·湖南省长沙市·模拟题)6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级
全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：
分数
80859095100人数
年级
七年级22321
八年级124a1
分析数据：
平均数中位数众数方差七年级89b9039
八年级c90d30
根据以上信息回答下列问题：
(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；
(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两
个年级共有多少名学生达到“优秀”？
21.(2021·河南省平顶山市·期末考试)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图
象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；
描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①______；
②______；
(3)①观察发现：如图2.若直线y=2交函数y=2
的图象于A，B两点，连接OA，
|x|
过点B作BC//OA交x轴于C.则S四边形OABC=______；
②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”，其他条件不变，
则S四边形OABC=______；
(k>0)的图象于A，B两点，连接
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数y=k
|x|
OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则S四边形OABC=______．
22.(2021·福建省福州市·月考试卷)如图，在矩形ABCD
中，AB=20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG
上点H处，此时S△GFH：S△AFH=2：3，
(1)求证：△EGC∽△GFH；
(2)求AD的长；
(3)求tan∠GFH的值．
23.(2020·安徽省·期中考试)为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫
物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表(单位：元/吨)．
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与
x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时，按(2)中设计的调运方案运
输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
24.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图1，在平面直角坐标系中，A(−2,−1)，B(3,−1)，
以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
(1)求证：BC是半圆O的切线；
(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
(3)如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相
似，问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【知识点】相反数
【解析】解：有理数−2的相反数是：2．
故选：A．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．
2.【答案】A
【知识点】作图-三视图、简单几何体的三视图
【解析】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．
故选：A．
俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】解：一次函数y=x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=−1，
∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，
∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限，
故选：C．
依据一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，即可得到一次函数y=x+1的图象经过一二三象限．
本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4.【答案】D
【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行线的性质
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
【解答】
解：如图所示：
∵将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，
∴ED//FA，∠EBC=∠CBA，
∴∠EBC=∠ACB=∠CBA，∠CAB=∠DBA=30°，
∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，
∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，
∴∠ACB=75°，
故选：D．
5.【答案】C
【知识点】由实际问题抽象出分式方程
【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，
依题意，得：10
x −10
2x
=1
3
．
故选：C．
设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合
骑车的学生比乘车的学生多用20min(即1
3
ℎ)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6.【答案】C
【知识点】分母有理化、实数的运算
【解析】【试题解析】
解：A.(√3+1)−(√3+1)=0，故本选项不合题意；
B.(√3+1)(√3−1)=2，故本选项不合题意；
C.(√3+1)与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D.(√3+1)(1−√3)=−2，故本选项不合题意．
故选：C．
根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．
本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．
7.【答案】C
【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定
【解析】解：∵四边形BCD是菱形，
∴BC=CD，AB//CD，
∴∠B=∠DCF，
①∵添加BE=CF，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠CEB=∠F=90°，
∴△BCE≌△CDF(AAS)，
③∵添加CE=DF，
不能确定△BCE≌△CDF；
④∵添加∠BCE=∠CDF，
∴△BCE≌△CDF(ASA)，
故选：C．
根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
8.【答案】B
【知识点】坐标与图形性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线
【解析】解：如图，
∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．
∴∠AOD=30°，
∴AD=1
OA，
2
∵C为OA的中点，
∴AD=AC=OC=BC=1，
∴OA=2，
∴OD=√3，
则点A的坐标为：(√3,1)．
故选：B．
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．
本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9.【答案】C
【知识点】实数的运算、根的判别式
【解析】解：∵x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，
∴(x+k)(x−k)−1=x，
整理得x2−x−k2−1=0，
∵△=(−1)2−4(−k2−1)
=4k2+5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
利用新定义得到(x+k)(x−k)−1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△>0可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有
如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
10.【答案】B
【知识点】解直角三角形、圆周角定理、三角形的外接圆与外心
【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD=√22+42=2√5，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=CD
BD =4
2√5
=2√5
5
，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=2√5
5
，
故选：B．
作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11.【答案】b<a<c
【知识点】绝对值、负整数指数幂、零指数幂、实数大小比较
【解析】解：∵a=(π−2020)0=1，b=−(1
2
)−1=−2，c=|−3|=3，
∴b<a<c．
故答案为：b<a<c．
利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．
12.【答案】2
【知识点】同类项、算术平方根
【解析】解：根据题意得：m=1，m+n=3，
解得n=2，
所以2m+n=2+2=4，
√2m+n=√4=2．
故答案是：2．
根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出n，m的值，
再代入代数式计算即可．
本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
13.【答案】线段的垂直平分线的性质
【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、作三角形的内切圆与外接圆、三角形的外接圆与外心
【解析】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为△ABC的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14.【答案】2
3
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：画树状图如图：
共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为2
；
3
故答案为：2
．
3
画出树状图，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
15.【答案】24
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】解：过D点作DF⊥BC，
设EF=xkm，则DF=xkm，BF=4
3
xkm，
在Rt△BFD中，BD=√BF2+DF2=5
3
xkm，∵D地在AB正中位置，
∴AB=2BD=10
3
xkm，
∵tan∠ABC=3
4
，
∴cos∠ABC=4
5
，
∴x+4
3
x+1
10 3x
=4
5
，
解得x=3，
则BC=8km，AC=6km，AB=10km，
小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6=24(km)．
故答案为：24．
过D点作DF⊥BC，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=4
3
xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC=8km，AC=6km，AB=10km，从而求解．
此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16.【答案】(1,0)、(2,0)或(0,2)
【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征
【解析】解：根据题意，令y=0，将关联数(m,−m−2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+(−m−2)x+2=0，
△=(−m−2)2−4×2m=(m−2)2>0，
∴mx2+(−m−2)x+2=0有两个根，
由求根公式可得x=m+2±√(−m−2)2−8m
2m
x =
m +2±|m −2|2m x 1=
m+2+(m−2)2m =1，此时m 为不等于0的任意数，不合题意； x 2=
m+2+2−m 2m =42m ，当m =1或2时符合题意；x 2=2或1； x 3=
m+2−m+22m =42m ，当m =1或2时符合题意；x 3=2或1； x 4=m+2−2+m 2m =1，此时m 为不等于0的任意数，不合题意；
所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)；
令x =0，可得y =c =2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)或(0,2)；
故答案为：(2,0)，(1,0)或(0,2)．
根据题意令y =0，将关联数(m,−m −2,2)代入函数y =ax 2+bx +c ，则有mx 2+(−m −2)x +2=0，利用求根公式可得m ，将m 代入可得函数图象与x 轴的交点坐标；令x =0，可得y =c =2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．
本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键． 17.【答案】解：原式=
a−1a ⋅(a+1)2(a+1)(a−1) =a+1a ．
解不等式组{a −2≥2−a ①2a −1<a +3 ②
中的①，得a ≥2． 解不等式②，得a <4．
则2≤a <4．
所以a 的最小整数值是2，
所以，原式=2+12=32．
【知识点】分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解
【解析】先化简分式，然后将a 的整数解代入求值．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
18.【答案】解：t 2+4t −5=0，
(t +5)(t −1)=0，
t +5=0或t −1=0，
∴t 1=−5，t 2=1，
当t =−5时，√x 2+2x =−5，此方程无解；
当t=1时，√x2+2x=1，则x2+2x=1，配方得(x+1)2=2，解得x1=−1+√2，x2=−1−√2；
经检验，原方程的解为x1=−1+√2，x2=−1−√2．
【知识点】无理方程、换元法、解一元二次方程-因式分解法
【解析】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
利用因式分解法解方程t2+4t−5=0得到t1=−5，t2=1，再分别解方程√x2+2x=−5和方程√x2+2x=1，然后进行检验确定原方程的解．
19.【答案】(1)证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE=60°，
∴AB=DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠CBE=∠DAB，
∴BC//AD．
(2)解：由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4
180+60⋅π⋅1
180
=5π
3
．
【知识点】旋转的基本性质、平行线的判定与性质、轨迹
【解析】(1)只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可，
(2)由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)观察八年级95分的有2人，故a=2；
七年级的中位数为90+90
2
=90，故b=90；
八年级的平均数为：1
12
[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90，故c=90；
八年级中90分的最多，故d=90；
(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；
(3)∵600×13
20
=390(人)，
∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．
【知识点】用样本估计总体、中位数、方差、众数
【解析】(1)根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；
(2)利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；
(3)用样本的平均数估计总体的平均数即可．
本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
21.【答案】1 函数的图象关于y轴对称当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小 4 4 2k
【知识点】反比例函数的性质、一次函数与反比例函数综合
【解析】解：
(1)当x<0
时，xy=−2，
而当x>0时，
xy=2，
∴m=1，
故答案为：1；
补全图象如图所示：
(2)故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；
(3)如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且
S
四边形OABC =4S△OAM=4×1
2
|k|=2|k|=4，
②同①可知：S四边形OABC=2|k|=4，
③S
四边形OABC
=2|k|=2k，
故答案为：4，4，2k．
(1)根据表格中的数据的变化规律得出当x<0时，xy=−2，而当x>0时，xy=2，求出m的值；补全图象；
(2)根据(1)中的图象，得出两条图象的性质；
(3)由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．
本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
由折叠对称知：∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，
∴∠GHF=∠C=90°，∠EGC+∠HGF=90°，∠GFH+∠HGF=90°，
∴∠EGC=∠GFH，
∴△EGC∽△GFH．
(2)解：∵S△GFH：S△AFH=2：3，且△GFH和△AFH等高，
∴GH：AH=2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
∴AG=AB=GH+AH=20，
∴GH=8，AH=12，
∴AD=AH=12．
(3)解：在Rt△ADG中，DG=√AG2−AD2=√202−122=16，
由折叠的对称性可设DF=FH=x，则GF=16−x，
∵GH2+HF2=GF2，
∴82+x2=(16−x)2，
解得：x=6，
∴HF=6，
在Rt△GFH中，tan∠GFH=GH
HF =8
6
=4
3
．
【知识点】翻折变换(折叠问题)、相似形综合、矩形的性质、锐角三角函数的定义【解析】(1)由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B= 90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；
(2)由面积关系可得出GH ：AH =2：3，由折叠的性质得出AG =AB =GH +AH =20，
求出GH =8，AH =12，则可得出答案；
(3)由勾股定理求出DG =16，设DF =FH =x ，则GF =16−x ，由勾股定理得出方程82+x 2=(16−x)2，解出x =6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 23.【答案】解：(1)设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，则：
{a +b =5002a −b =100
，解得{a =200b =300， 即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
(2)由题意得：y =20(240−x)+25[260−(300−x)]+15x +24(300−x)=−4x +11000，
∵{x ≥0240−x ≥0300−x ≥0x −40≥0
，解得：40≤x ≤240， 又∵−4<0，
∴y 随x 的增大而减小，
∴当x =240时，可以使总运费最少，
∴y 与x 之间的函数关系式为y =−4x +11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B 地，乙厂运往A 地240吨，运往B 地60吨；
(3)由题意和(2)的解答得：y =−4x +11000−500m ，
当x =240时，y 最小=−4×240+11000−500m =10040−500m ，
∴10040−500m ≤5200，解得：m ≥9.68，
而0<m ≤15且m 为整数，
∴m 的最小值为10．
【知识点】一次函数的应用
【解析】(1)设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨，根据题意列方程组解答即可；
(2)根据题意得出y 与x 之间的函数关系式以及x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
(3)根据题意以及(2)的结论可得y =−4x +11000−500m ，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解． 24.【答案】(1)证明：如图1，设AB 与y 轴交于M ，
∵A(−2,−1)，B(3,−1)，
∴AB//x 轴，且AM =2，OM =1，AB =5，
∴OA =OC =√5，
∵DE//BC ，O 是AC 的中点，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴AE =12
AB ，BC =2OE ， ∴E(12,−1)，
∴EM =12，
∴OE =√OM 2+ME 2=√12+(12)2=
√52， ∴BC =2OE =√5，
在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=(2√5)2+(√5)2=25，AB 2=52=25，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，
∴BC ⊥AC ，
∵AC 为半圆O 的直径，
∴BC 是半圆O 的切线；
(2)解：四边形OBCD 是平行四边形，理由是：
如图1，由(1)得：BC =OD =OA =√5，
∵OD//BC ，
∴四边形OBCD 是平行四边形；
(3)解：①如图2，由(1)知：OD =OA =√5，E 是AB 的中点，且E(12,−1)，OE =√52， 过D 作DN ⊥y 轴于N ，则DN//EM ，
∴△ODN∽△OEM ，
∴ON
OM =DN EM =OD OE ，即ON
1=DN
1
2=√5√52，
∴ON =2，DN =1，
∴N(−1,2)，
设此抛物线的解析式为：y =a(x −1
2)2−1，
把N(−1,2)代入得：2=a(−1−12)2−1，
解得：a =43，
∴此抛物线的解析式为：y =43(x −12)2−1，即y =43x 2−43x −23；
②存在，
过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，
∵DG =1+12=32，EG =2+1=3，
∴DE =√DG 2+EG 2=√(32)2+32=
3√52
， tan∠DEG =DG EG =3
23=12，
∵tan∠OAM =OM AM =12，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角， ∴∠DEG =∠OAM ， 如图3，当△EPD∽△AOB 时，EP AO =DE AB ，即EP √5=3√525，
∴EP =32，
∵S △AOB =12AB ⋅OM =12×5×1=52
， ∵S △EPQ =S △OAB ，
∴12⋅EP ⋅|x −12|=52
， 即12×32×|x −12|=52，
解得：x =236
或−176； 如图4，当△OAB∽△DEP 时，AB EP =OA DE ，即5EP =√5
3√5
2，
∴EP =15
2，
同理得：12⋅15
2⋅|x −12|=52，
解得：x =7
6或−16；
综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为236或−176或76或−16．
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC=2OE，,−1)，利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+ E(1
2
BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，可得结论；
(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；
(3)①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，
)2−1，把点D的坐标代入可得结利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y=a(x−1
2
论；
②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ=S△OAB，列方程可得x的值．
本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。