高三数学上学期期末考试题苏教版

市上学期高三期末调研考试
数学试题
一、填空题
1.集合{|22},{|1}A x x B x x =-<<=≤，那么A
B = .
2.23(,,i
a bi a
b R i i +=+∈为虚数单位)，那么a b += .
3.函数
()sin()
5f x kx π=+的最小正周期是3π，那么正数k 的值为 . 4.某课题组进展城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城
市数分别为4、12、8.假设用分层抽样抽取6个城市，那么乙组中应该抽取的城市数为 . 5.等差数列
{}
n a 中，
4610
a a +=，假设前5项的和
55
S =，那么其公差为 .
6.运行如下图的流程图，如果输入1,2a b ==， 那么输出的a 的值为 .
7.以抛物线
24y x =的焦点为顶点，顶点为中心， 离心率为2的双曲线标准方程为 . 8.设{1,1},{2,0,2}x y ∈-∈-，那么以(,)x y 为坐标 的点落在不等式21x y +≥所表示的平面区域的 概率为 .
9.函数
()lg(1)2x
a f x =-
的定义域是1
(,)2+∞，
那么实数a 的值为 .
10.一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，那么该圆锥的体积为 . 11.如图，在ABC ∆中，4,6,60AB AC BAC ==∠=︒， 点,D E 分别在边,AB AC 上，且
2,3AB AD AC AE ==，
点F 为DE 中点，那么BF DE 的值为 .
12.函数
2
4,()43,f x x x ⎧=⎨+-⎩,.x m x m ≥<假设函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，那么实数m 的取值围是 .
A D F E
B
C
13.圆
22
:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，假设圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，那么点A 的横坐标的取值围是 .
14.,a b 为正实数，且2a b +=，那么
22
21a b a b ++
+的最小值为 . 二、解答题
15.向量(sin ,2),(cos ,1)a b θθ==，且,a b 共线，其中
(0,)
2π
θ∈.
〔1〕求
tan()
4π
θ+的值； 〔2
〕假设5cos(),02π
θϕϕϕ-=<<
，求ϕ的值.
16.如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，,E F 分别是
1
,AD DD 中点.
求证：〔1〕EF ∥平面1C BD
；
〔2〕1A C ⊥
平面
1C BD
.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
17.如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，角A 为
120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.
〔1〕假设围墙AP,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ 〔2〕AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.假设围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
18.如图，椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A 〔A
点在x 轴下方〕，且线段AB 的中点E 在直线y x =上. 〔1〕求直线AB 的方程；
〔2〕假设点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定值.
A
P
Q
B
C
19.函数
()(1)x
f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. 〔1〕当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； 〔2〕讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；
〔3〕b R ∈，假设函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.
20.数列{}n a 中111
1,3
3n n n a n
a a a n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.
〔1〕是否存在实数λ，使数列2{-}
n a λ是等比数列？假设存在，求λ的值；假设不存在，
请说明理由； 〔2〕假设n
S 是数列
{}
n a 的前n 项和，求满足
n S >的所有正整数n .
数 学
数学Ⅱ附加题局部 考前须知
1．本试卷共2页，均为解答题〔第21题～第23题，共4题〕．本卷总分值为40分，考试时间为30分钟。

考试完毕后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域作答．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-１：几何证明选讲
〔本小题总分值10分〕如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连结OP 与圆O 交于点C ，过C 作AP 的算线，垂足为D ，假设PA ＝12cm ，PC ＝6cm ，求CD 的长。

B ．选修4-2：矩阵与变换 〔本小题总分值10分〕
矩阵，A=
1211⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，向量
21
β⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦，求向量α，使得2
A αβ=.
C ．选修4-4：坐标系与参数方程 〔本小题总分值10分〕
在极坐标系中，圆3cos ρθ=与直线2cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，数a 的值.
D ．选修4－5：不等式选讲
〔本小题总分值10分〕设实数x ，y ，z 满足
，的最小值，并
求此时x ，y ，z 的值。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕 如图，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF =. 〔1〕求二面角A-DF-B 的大小；
〔2〕试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60︒.
23、〔10分〕某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲工程，根据市场分析知道：一年
后可能获利10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为111 ,, 244；
如果投资乙工程，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β〔α+β=1〕.
〔1〕如果把10万元投资甲工程，用X表示投资收益〔收益=回收资金-投资资金〕，求X的概率分布列及数学期望E〔X〕.
〔2〕假设10万元资金投资乙工程的平均收益不低于投资甲工程的平均收益，求α的取值围. 市高三调研测试
数学Ⅰ试题2015．1
参考答案与评分标准
1．(－2，1] 2．1 3．6 4．3 5．2
6．9 7．
2
21
3
y
x-=
8．
1
29210．
3
π
A
B
C
D
E
F
A 1
B 1
C 1
D 1
11．4 12．
(]1,2 13．[1,5] 14
．33+
15．解〔1〕∵a ∥b ，∴sin 2cos 0θθ-=，即tan 2θ=．………………………………4分
∴π1tan 12
tan()3
41tan 12θθθ+++===---．………………………………………………7分
〔2〕由〔1〕知tan 2θ=，又
π
(0,)
2θ∈
，∴
sin θθ==
， …………9分
∴5cos()θϕϕ-=，
∴5(cos cos sin sin )θϕθϕϕ+=
ϕϕϕ+=， ∴cos sin ϕϕ=，即tan 1ϕ=， ………………………………………………………12分
又
02π
ϕ<<
，∴
4π
ϕ=
．……………………………………………………………14分
16．证明：〔1〕连结A1D ，
∵ E ，F 分别是AD 和DD1的中点，∴EF ∥AD 1．…………………………………2分 ∵ 正方体ABCD －A1B1C1D1， ∴AB ∥D1C1，AB=D1C1．
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D ∥BC1 ………………………………………4分
∴EF ∥BC1．
又EF ⊄平面C1BD ，BC1⊂平面C1BD ，
∴EF ∥平面AB1D1．……………………………………7分 〔2〕连结AC ，那么AC ⊥BD ．
∵ 正方体ABCD －A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD ， ∴AA1⊥BD ． 又
1
AA AC A
=，∴BD ⊥平面AA1C ，
∴A1C ⊥BD ．……………………………………………11分 同理可证A1C ⊥BC1． 又1BD BC B =，∴A1C ⊥平面C1BD ．……………………………………………… 14分
17．解设AP x =米，AQ y =米． 〔1〕那么200x y +=，APQ ∆的面积
1sin1202
4
S xy xy
=
︒=
．…………………………………………………………3分
∴S
2)
2
x y += 当且仅当100x y ==时取“=〞．…………………………………………………………6分 〔注：不写“＝〞成立条件扣1分〕
〔2〕由题意得100(1 1.5)20000x y ⨯⋅+⋅=，即 1.5200x y +=．…………………8分 要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以
2222cos120PQ x y xy =+-︒22
x y xy =++
22(200 1.5)(200 1.5)y y y y =-++- 2
1.7540040000y y =-+〔
400
03y <<
〕………………………………………11分
当
8007y =
时，PQ 有最小值7，此时
200
7x =
．…………………………13分
答：〔1〕当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ 的面积最大为
〔2〕当
2007AP =
米800
,7AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分
18．解：〔1〕设点E 〔m ，m 〕，由B 〔0，－2〕得A 〔2m ，2m+2〕． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即2
2(1)1
3m m ++=，
解得
3
2m =-
或0m =〔舍〕．………………………………………………3分
所以A 〔3-，1-〕，
故直线AB 的方程为360x y ++=．…………………………………………………6分 〔2〕设00(,)P x y ，那么22001124x y +=，即
22
0043x y =-． 设
(,)
M M M x y ,由A ，P ，M 三点共线，即AP AM ，
∴
00(3)(1)(1)(3)
M M x y y x ++=++，
又点M 在直线y=x 上，解得M 点的横坐标00
0032M y x x x y -=
-+， (9)
分 设(,)
N N N x y ，由B ，P ，N 三点共线，即BP
BN ，
∴
00(2)(2)N N
x y y x +=+，
点N 在直线y=x 上，，解得N 点的横坐标
0022N x x x y -=
--．…………………………12分
所以OM ·
0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003|
|2y x x y --+0
002||
2x x y -⋅--
=20002
00262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000
20
0032||3x x y x x y --=6． (16)
分
19．解：〔1〕当1a =-时，()'e 1
x f x =+，
()'1e 1
f =+，
()1e
f =，………………2分
∴函数()
f x 在点
()()1,1f 处的切线方程为()()e e 11y x -=+-，
即
()e 11
y x =+-． ……………………………………………………………………4分
〔2〕∵
()'e x f x a
=-， ①当0a ≤时，
()'0f x >，函数
()
f x 在R 上单调递增；………………………………6分
②当0a >时，由()'e 0x f x a =-=得ln x a =，
∴
()
,ln x a ∈-∞时，
()'0f x <，
()
f x 单调递减；
()
ln ,x a ∈+∞时，
()'0
f x >，
()
f x 单调递增．
综上，当0a ≤时，函数()
f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数
()
f x 的单
调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． (9)
分
〔3〕由〔2〕知，当0a <时，函数
()
f x 在R 上单调递增，
∴
()f x b
≥不可能恒成立； ………………………………………………………………10分
当0a =时，0b ≤，此时0ab =；………………………………………………………11分 当0a >时，由函数()f x b
≥对任意x ∈R 都成立，得
()
min b f x ≤，
∵
()()min ln 2ln f x f a a a a
==-，∴2ln b a a a -≤………………………………13分
∴22
2ln ab a a a -≤，
设
()()
222ln 0g a a a a a =->，∴
()()'42ln 32ln g a a a a a a a a
=-+=-，
由于0a >，令
()'0
g a =，得
3ln 2a =
，3
2e a =，
当
320,e a ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递增；3
2e ,a ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递减．
∴
()3max e 2g a =
，即ab 的最大值为3e 2， 此时
3
3
2
2
1e ,e 2a b ==．………………………………………………………………… 16分 20．解：〔1〕设
2n n b a λ
=-，
因为
()211
22221
213
n n n n
n n a n b a b a a λ
λλ
λ+++++--=
=--
()()22221162113
3
n n n n a n n a a a λ
λλ
λ
-++-+-==--． …………………………………2分 假设数列{}2n
a λ-是等比数列，那么必须有
221
13
n n a q
a λλ
+-=-〔常数〕，
即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()103110q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩
⇔1332q λ==⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩，…………………5分
此时1213131102326b a a =-=+-=-≠， 所以存在实数3
2λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分
〔注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分〕
〔2〕由〔1〕得{}n b 是以16-为首项，13为公比的等比数列， 故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232n n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分 由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+ ⎪⎝⎭，……10分 所以12121111692692333n n n n n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，
()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++
++()2
11126129333n n n
⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11133(1)2691213n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……
…………………………………………………………12分
显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减，
又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <；
2212231536232n n n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝⎭，
同理，当且仅当1n =时，
210n S ->． 综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分。