人教A版必修第二册 8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质 课件(30张)

数学（必修·第二册RJA）
[解析] 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以 n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所 以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m⊂α或 m⊥α或m与α斜交，即③错误.
返回导航
第八章 立体几何初步
题型二 直线与平面垂直性质的应用
【对点练习】❷ 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.
求证：a∥l. [证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
2．直线与平面垂直的性质 (1) lb⊥⊂αα⇒l⊥b；(2) ab⊥⊥αα⇒a∥b；(3) aa⊥∥bα⇒b⊥α； (4) αa⊥∥αβ⇒a⊥β；(5) aa⊥⊥βα⇒α∥β.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
关键能力·攻重难
[错解] 如图所示.
数学（必修·第二册RJA）
分别过 A、B 向平面 α 作垂线，垂足分别为 A1、B1，设直线 AB 和平 面 α 所成角为 θ，则 tanθ＝2－31＝ 33.∵θ∈0，π2，∴θ＝30°.
[错因分析] 解答本题时只考虑 A，B 在平面同一侧的情况，没有考 虑 A，B 在平面两侧的情况而出现漏解.
α∥β
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
其中正确命题的序号是
()
A．②③
B．③④
C．①②
D．①②③④
[答案] A
[解析] ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线
m，n平行或异面，故选A．
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 判定两条直线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
题型探究 题型一 对直线与平面垂直的性质定理的理解
典例 1 已知 m，n 为两条不同直线，α，β 为两个不同平面，给出下
列命题：
①mm⊥ ⊥αn，⇒ n∥α； ③mm⊥ ⊥αβ，⇒ α∥β；
②mn⊥⊥ββ，⇒ m∥n； ④mn⊂⊂βα，，⇒ m∥n.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❶ 已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面.下列
命题中正确的个数为
(B )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1
B．2
C．3
D．0
返回导航
第八章 立体几何初步
返回导航
第八章 立体几何初步
题型三 线与面垂直的判定与性质的综合
数学（必修·第二册RJA）
典例 3 如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直 于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
返回导航
第八章 立体几何初步
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC. 因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB. 因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE. 又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC. 而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的性质定理.(直观
想象)
充分利用长方体模型或所在空间(如
2．能利用线面垂直性质定理解决一 教室)认识线面垂直的性质定理.
些垂直和平行的证明.(逻辑推理)
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
必备知识·探新知
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
由题意可知△BCB1∽△ACA1，
∴BABA11＝BA11CC＝2，∴B1C＝2A1C.
∵B1C＋A1C＝
3，∴B1C＝2
3
3 .
∵tan∠BCB1＝BB1BC1＝2
2
＝ 3
3，∴∠BCB1＝60°，
知识点1 直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线__平__行___
符号语言
ab⊥⊥αα⇒__a_∥__b__
图形语言
Байду номын сангаас
作用
①线面垂直⇒线线平行，②作平行线
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
知识点2 直线、平面间的距离
1．直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上_任__意__一__点____到这个平面 的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2．两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面 的距离都__相__等___，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
返回导航
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❸ 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC， SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于 点E”，结论不变，如何证明？
返回导航
第八章 立体几何初步
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC. 因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB. 因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E， 所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE. 又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC. 而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的 平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的 平面. (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条 相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
易错警示 考虑不周全而致误
典例 4 已知平面 α 外两点 A，B 到平面 α 的距离分别为 1 和 2， A，B 两点在平面 α 内的射影之间的距离为 3，求直线 AB 和平面 α 所成 的角.
返回导航
第八章 立体几何初步
3
∴AB 与平面 α 所成的角为 60°.
综合①②可知，直线 AB 与平面 α 所成的角为 30°或 60°.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❹ 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC ＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝__1_3__.
[解析] 如图，连接 CD，则在 Rt△ABC 中，CD＝12AB.因为 AC＝6， BC＝8，所以 AB＝ 62＋82＝10．所以 CD＝5．因为 EC⊥平面 ABC，CD ⊂平面 ABC，所以 EC⊥CD.所以 ED＝ EC2＋CD2＝ 122＋52＝13．
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一 点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1． [证明] 因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1． 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
素养目标·定方向
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和 另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和 这个平面垂直.
(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性 质.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[正解] ①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所 成的角为30°.
②当点A，B位于平面α的两侧时，如图，过点A，B分别向平面α作 垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α 上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[知识解读] 1．剖析直线与平面垂直的性质定理 (1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直 线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了 “垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)定理的推证过程采用了反证法.