江西省南昌大学附属中学2021学年高一数学下学期第三次月考试题 理(含解析)

江西省南昌大学附属中学2021学年高一数学下学期第三次月考试题
理（含解析）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列给出的赋值语句中正确的是（ ） A. 62a b +=-
B. 0b =
C. 2d d =+
D.
5x y -=
【答案】C 【解析】 【分析】
由赋值号左边只能是变量名字，不能是表达式，比较各个选项即可得解． 【详解】赋值号左边只能是变量名字，不能是表达式，且赋值号左右不能对换．
对于B ，赋值号左边是常数，不合要求；对于A ，赋值号左边是表达式，不合要求；对于D 赋值号左边是表达式. 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了赋值语句的表示形式，属于基础题．
2.若122018x x x ，....的平均数为3，方差为4，且()32i i y x =--，1,2,3,......,2018i =则新数据122018,......y y y ，的平均数和方差分别为（ ） A. 3- 12
B. 6- 12
C. 3- 36
D. 6-
36
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平均数和方差公式依次计算得到结果即可. 【详解】122018,......y y y ，的平均数为
(
)()()1220181220183232.......32....20182018x x x y y y ------+++=
()120183 (62018)
36 3.2018
x x x -+++⨯=
=-+=-
方差为：
()
(
)()()
()()
2
2
2
2
1
20181
20183.....3.....9436.2018
2018
x x x x y y y y --++---++-==⨯=
故答案为：C.
【点睛】这个题目考查了数据平均数和方差的计算，属于基础题.
3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）
A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和
B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和
C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和
D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 【答案】A 【解析】 【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2， 故循环共执行了1009次
由S 中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……
故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和， 故选：A ．
【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图（如图所示），数据的分组依次为
[)2040，
，[)4060，，[)6080，，[]80100，则该次英语测试该班的平均成绩是（ ）
A. 66
B. 68
C. 70
D. 72
【答案】B 【解析】 【分析】
利用直方图计算平均数的方法是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到. 【详解】平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和． ∴平均分为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20＝68． 故选：B ．
【点睛】本题考查了频率分布直方图，重点是小矩形的高=频率
组距
．平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.
5.若不等式222424mx mx x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数m 取值范围是（ ）
A. (,2)[2,)-∞-⋃+∞
B. (2,2)-
C. (2,2]-
D. (,2]-∞
【答案】C 【解析】
试题分析：∵不等式222424mx mx x x +-<+时对任意实数均成立， ∴（m-2）x 2+2（m-2）x-4＜0，
当m-2=0，即m=2时，不等式为-4＜0，显然成立；
当m-2≠0，即m≠2时，应满足m −2＜0且△＝4（m −2）2
+16（m −2）＜0， 解得-2＜m ＜2； 综上，-2＜m≤2，
即实数m 的取值范围是（-2，2]. 考点：一元二次不等式的解法
6.两个等差数列{}n a 和{}n b 其前n 项和分别S 为n S ，n T ，且
723n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b ++=（ ） A.
149
24
B.
94
C.
378
D.
7914
【答案】A 【解析】 【
分析】
根据等差数列的性质得到2201211111211111
7151211111211111
()221==()221a a a a a a S a a b b b b b b T b b ++==⇒=++，将21n =代
入表达式得到结果.
【详解】2201211111211111
7151211111211111
()221==()221a a a a a a S a a b b b b b b T b b ++==⇒=++，
723n n S n T n +=+，2121721214921324
S T ⨯+==+ 故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了等差数列的性质，属于基础题.
7.在ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
根据余弦定理得到a c =，进而得到三个角相等，是等边三角形. 【详解】ABC △中，60B =︒，
2
b a
c =,()2222
221cos 20022
a c
b B a
c ac a c ac +-=
=⇒+-=⇒-= 故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形. 故答案为：D.
【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.
8.执行如图所示的程序框图后，输出值为4，则P 的取值范围是（ ）
A. 59,
610⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B. 59,
610⎛⎤
⎥⎝⎦
C. 37,48⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 37,48
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
执行程序框图，写出每次循环得到的S ，n 的值，当输出n 的值为4时，有S 7
8
=，故可求P 的取值范围．
【详解】执行程序框图，有
n ＝1，S ＝0
满足条件S ＜P ，有S 1
2
=，n ＝2； 满足条件S ＜P ，有S 113
244=+=，n ＝3；
满足条件S ＜P ，有S 1117
2488
=++=，n ＝4；
此时，不满足条件S ＜P ，有S 7
8
=，输出n 的值为4．
故当P 的取值在（34，78]时，不满足条件7
8
＜P ，退出循环，输出n 的值为4．
故选：C ．
【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
9.某公司在2014－2018年的收入与支出如下表所示：
根据表中数据可得回归方程为0.8y x a =+，依此估计2019年该公司收入为8亿元时支出为（ ） A. 4．2亿元 B. 4．4亿元
C. 5．2亿元
D. 5．4亿元
【答案】C 【解析】 【分析】
根据表中数据，计算x 、y 以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x ＝8时ˆy
的值即可．
【详解】根据表中数据，计算1
5
x =
⨯（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）＝4，
1
5
y =⨯（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）＝2，
∴ˆa
=2﹣0.8×4＝﹣1.2， ∴回归直线方程为ˆy
=0.8x ﹣1.2， 计算x ＝8时ˆy =0.8×8﹣1.2＝5.2（亿元），
即2017年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元． 故选：C ．
【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
10.一个等比数列{}n a 的前n 项和为12，前2n 项和为48，则前4n 项和为（ ） A. 324 B. 480
C. 108
D. 156
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质得到2324312,36,,n n n n n n n S S S S S S S =-=--也是等比数列，公比为3，
进而得到443322480.n
n n n n n n n S S S S S S S S =-+-+-+=
【详解】等比数列n a ｛｝的前n 项和为12，前2n 项和为48，即212,48,n
n S S ==
根据等比数列的性质得到2324312,36,,n n n n n n n S S S S S S S =-=--也是等比数列，公比为3，
故得到
3243108,324
n n n n S S S S -=-=4433223241083612480.n n n n n n n n S S S S S S S S =-+-+-+=+++=
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了等比数列的性质的应用属于简单题.
11.已知ABC 中，45A ︒=，1a =，若ABC 仅有一解，则b ∈（ ）
A.
B.
)+∞
C. (]0,1⋃
D. ()0,1⋃
【答案】C 【解析】 【分析】
若已知三角形的一边及该边的对角，且三角形形状唯一，求另一边，则该三角形是直角三角形或钝角三角形，然后再进一步确定另一边b 的长度。

【详解】由题中已知
ABC 中，45A ︒=，1a =，则角A 所对的高线长可表示为
2
sin 452
b =
，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则
a =
或0a b ≥>， 所以b =或01b <≤
故选C.
【点睛】本题考查三角形解的情况，解题的关键是找到临界值，属于简单题。

12.设a b c >>，n N ∈，且2
18n a b b c a c
+≥
---恒成立，则n 的最大值是（ ） A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】 原式等价于218
(
)()a c n a b b c
+-≥--，根据均值不等式求得左侧最小值，进而估算出结果. 详解】2
18n a b b c a c
+≥
---等价于218()()a c n a b b c +-≥--
()1818(
)()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+-=+-+- ⎪----⎝⎭
8()
999b c a b a b b c --=+
+≥+=+--
故得到29,n n N +≥∈则n 的最大值是3.
故答案为：B.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名，将这50名学生随机编号并分组，若在第三组中抽得的号码为12号的学生，则在第八组中抽得的号码为__________的学生． 【答案】37 【解析】 【分析】
由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8﹣3）×5，由此能求出结果．
【详解】这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，
在第三组中抽得号码为12的学生，
则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5＝37． 故答案为：37．
【点睛】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．
14.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______．
【答案】6.8 【解析】
根据茎叶图的数据,计算甲的平均数为()11
779141811,5
x =
⨯++++= 乙的平均数为()21
8910131511;5
x =⨯++++=根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定,即方
差
较
小
,
计
算
乙
成
绩
的
方
差
为
()()()()()22222
213481191110111311151155
s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦,故填6.8.
15.如图，在ABC ∆中，2AB =，4AC =，线段C 的垂直平分线交线段AC 于点D ，且
1DA DB -=，则BC ＝__________．
65
【解析】 【分析】
依题意得BD ＝DC ，可求52DA =
，DC ＝DB 3
2
=，利用余弦定理可求cos A 的值，由同角三角函数基本关系式可求sin A ，根据余弦定理求得最后结果. 【详解】依题意得BD ＝DC ， 因为AC ＝DA +DC ＝4，DA ﹣DC ＝1， 所以52DA =
，DC ＝DB 3
2
=，
在△ABD 中，cos A 2224
25
AD AB BD AD AB +-==⋅．
所以sin A 3
5
=
， 在△ABC 中，BC 2
＝AB 2
+AC 2
﹣2AB •AC •cos A 365
=
. BC
. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、
2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理
将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2
22122n
n
S a ma n
+≥任意等差数列{}n a 及任意正整数
n 都成立，则实数m 的取值范围为__________．
【答案】1,10⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】 【
分析】
利用公差与首项化简不等式a n 2
22n
S n
+≥2ma 12，利用换元得二次不等式，再根据二次函数的单调
性可得m 的求值范围．
【详解】a n 2()()2
2
2112211[1][]2
n n n S a n d na d n n -+=+-++，
令12（n ﹣1）d ＝t ，则a n 2
2
222111221(2)()2n S a t na nt a n n +=+++=+6a 1t +5t 2． 不等式a n 2
22n S n +≥2ma 12
，a 1≠0时，化为：211
5()6t t a a ++2≥2m ，
∵213115[
]555
t a ++≥， ∴
15≥2m ，解得m 110
≤． a 1＝0时，m ∈R ．
综上可得：m 1
10≤
． ∴实数m 的范围为110⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
，．
故答案为：110
⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
，．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性、分类讨论方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）B=4
π
（Ⅱ）21+ 【解析】
(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ① 在三角形ABC 中，A=
－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ② 由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB 又B(0，)，∴B=
(2)△ABC 的面积S=acsinB=ac
由已知及余弦定理得
4=a 2+c 2
－2accosB ③ 而a 2
+c 2
≥2ac ④ 联立③和④得ac≤，当且仅当a=c 时等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为
18.解关于x 的不等式2
(2)20()ax a x a R +--≥∈
【答案】详见解析. 【解析】 【分析】
将不等式变为()()120x ax +-≥；根据二次项系数为零、开口方向、实根个数与大小分别讨论a 不同取值范围下的解集.
【详解】()()()2
22120ax a x x ax +--=+-≥
①当0a =时，()()()12210x ax x +-=-+≥ (],1x ⇒∈-∞- ②当0a >时，()()120x ax +-≥ (]
2,1,x a ⎡⎫⇒∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ ③当20a -<<时，()()120x ax +-≥ 2,1x a
⎡⎤⇒∈-⎢⎥⎣⎦
④当2a =-时，()()()2
12210x ax x +-=-+≥ {}
1x x ⇒=- ⑤当2a <-时，()()120x ax +-≥ 21,x a
⎡⎤⇒∈-⎢⎥⎣
⎦
【点睛】本题考查含参数不等式的求解问题，要通过二次项系数、开口方向、实根个数和大小确定参数不同取值下的解集.
19.对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下：
[)157161
，3人；[)161165，4人；[)165169，12人；[)169173，13人；[)173177，12人；
[]
，6人
177181
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计这50名男生的身高的众数和中位数。

（只要求结果不需要过程，中位数保留2位小数）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）众数：171，中位数：170.85。

【解析】
【分析】
(1)根据题干数据得到表格；（2）根据题干和第一问的表中数据得到结果；（3）根据公式计算. 【详解】（1）列出频率分布表：
（2）画出频率分布直方图如图：
（3）众数：171，中位数：170.85
【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的应用，以及在频率分布直方图中计算平均值和中位数的应用，属于基础题.
20.某研究机构对高一学生的记忆力x 和判断力y 进行了统计分析，得出如下数据：
x
6 8 10 12
y
2 3
5
6
（1）画出上表数据的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为11的同学的判断力.
【答案】（1）详见解析；（2）0723y x =-．．；（3）5.4.
【解析】 【分析】
（1）根据表中数据画出散点图；（2）根据公式得到相应的参数值，进而求出方程；（3）将11x =代入方程求出结果.
【详解】（1）散点图如图：
（2）因为
4
1
6283105126158i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
6810122356
9,444
x y ++++++=
===，
4
2
22221
681012344i
i x
==+++=∑，
所以2
15849414
073444920
b -⨯⨯=
==-⨯．， 40.79 2.3a y bx =-=-⨯=-,
故线性回归方程为0723y x =-．
．． （3）由（2）中线性回归方程可知，当11x =
时，07112354y =⨯-=．
．．所以预测记忆力 为11的同学的判断力约为5.4
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值
21.正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足222
(1)()0n n S n n S n n -+--+=.
（1）求n S 及n a ； （2）令221(2)n n
n b n a +=
+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的n *
∈N ，都有15
1864
n T ≤<. 【答案】（1）2n S n n =+, (
)*
2n a n n N
=∈（2）见解析
【解析】 试题分析：
(1)求解关于n S 的方程组可得2
n S n n =+.由前n 项和于通项公式的关系可得
()
*2n a n n N =∈；
(2)裂项求得数列的前n 项和()()2221111116212n T n n ⎡⎤
=+--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
，结合题意和不等式的性
质即可得出题中的结论. 试题解析：
解：（1）由()()
222
10n n S n n S n n -+--+=，得()
()210n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，由于{}n a 是正项数列，故0n S >，所以2
n S n n =+.
当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()2
2121212n n n a S S n n n n n -=-=+----= 当1n =时也符合上式，∴(
)*
2n a n n N =∈
证明：由2n a n =，得()
()
()2
2
222
21
1
1110162422n n
n n b n n a n n n ⎡⎤++=
=
=->⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
故n T 是关于*n N ∈递增，∴11118
n T T b ≥==
又()()()22222222
2111111
1
1
1111632435112n T n n n n ⎡⎤
=
-+-+-++-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦
()()22221111115
1116216264
12n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦ 综上：151864
n T ≤<.
22.已知函数()()2
x
f x x R =∈．
（1）解不等式()()21692x
f x f x ->-⨯；
（2）若函数()()()2F x f x f x m =--在区间[]1,1-上存在零点，求实数m
取值范围；
（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，若不等式
()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）（1，3）（2）1
[2,]4- （3）1712
a ≥ 【解析】 【分析】
（1）利用换元法，将原不等式转化为一元二次不等式来求解.（2）将问题分离常数，转化为
()()2m f x f x =-在[]1,1-有解的问题来解决.求得()()2f x f x -在[]1,1-上的值域，来求
得m 的取值范围.（3）先根据函数的奇偶性的概念，求得()(),g x f x 的解析式，化简所求不
等式为()
(
)
2
222
2202
x x
x x λ---+-+
≥，利用换元法及分离参数法分离出λ，利用恒成立
问题解决方法求得λ的取值范围.
【详解】（1）原不等式即为2221692x x x ->-⨯，设t=2x
，则不等式化为t ﹣t 2
＞16﹣9t ，
即t 2
﹣10t+16＜0，解得28t <<，即228x <<，∴1＜x ＜3，∴原不等式的解集为()1,3．
（2）函数()F x 在[]1,1-上有零点，∴()0F x =在[]
1,1-上有解，即()()2m f x f x =-在[]1,1-有解．
设()()()2
112224x x f x f x ϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝
⎭，∵[]1,1x ∈-，∴1222x
≤≤，
∴()124x ϕ-≤≤
．∵()()2m f x f x =-在[]1,1-有解，∴1
24
m -≤≤，故实数m 的取值范围为12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
． （3）由题意得()()()()()()22x x f x g x h x f
x g x h x -⎧=+=⎪
⎨
-=-+-=⎪⎩，解得()()222
222x x
x x
g x h x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=
⎪⎩
． 由题意得()()220g x h x λ+≥， 即()
(
)
()
2
22222
2
2
2222
02
2
x x
x
x
x x x x
λλ-----+--+=-+
≥
对任意[]
1,2x ∈恒成立，令22x x k -=-，[]
1,2x ∈，则
31524
k ≤≤． 则得2202
k k λ++≥对任意的315,24k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴122k k λ⎛⎫≥-
+ ⎪⎝⎭对任意的315,24k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， ∵()122G k k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，∴()max
317212G k G ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭． ∴1712λ≥-
，∴实数λ的取值范围17,12⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题和恒成立问题的解决策略.属于中档题.对于不等式中含有一元二次不等式类似的结构的时候，可以考虑利用换元法，将问题转化为一元二次不等式来求解.存在性问题和恒成立问题的主要解法是分离常数法.。