龙湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

龙湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设命题p：，则p为（）
A． B．
C． D．
2．复数的虚部为（）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
3．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）
A． B． C． D．
4．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
5．设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b
6．已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG是边长为2 的等边三角形，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移个长度单位
D ．向右平移
个长度单位
7． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435
8． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
9． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．2 10．数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．
12．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+2n（n∈N*），则++…+=（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60 角；④DM与BN是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是（写出所有你认为正确的命题）．
14．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是米．（太阳光线可看作为平行光线）
15．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．
16．已知（x2﹣）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是．
17．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．18．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是．
三、解答题
19．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．
（I）求椭圆G的方程；
（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于，求直线OP （O 是坐标原点）的斜率
的取值范围．
20．已知曲线2
1
()f x e x ax
=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+= 平行．
（1）讨论()y f x =的单调性；
（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数的取值范围．
21．已知{}{}
22
,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A
B =-，求实数的值.
22．已知f （x ）=（1+x ）m +（1+2x ）n （m ，n ∈N *）的展开式中x 的系数为11．
（1）求x 2
的系数取最小值时n 的值．
（2）当x 2
的系数取得最小值时，求f （x ）展开式中x 的奇次幂项的系数之和．
23．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.
（1）求实数b 和c 的值；
（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.
24．已知等差数列的公差
，
，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，记数列前n 项的乘积为
，求
的最大值．
龙湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词
【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A
2．【答案】C
【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．
故选；C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
4．【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x ×0.1=0.5，所以x 为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12． 故选：C ．
5． 【答案】A
【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1， ∴y=sinx 在（0，90°）单调递增， ∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1， ∴a ＜b ＜c 故选：A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．
6． 【答案】 A
【解析】解：∵△EFG 是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为
，即A=
，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω=
=
，
即f （x ）=Asin ωx=sin （x ﹣），g （x ）=sin
x ，
由于f （x ）=
sin （
x ﹣
）=
sin[
（x ﹣）]，
故为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象向左平移个长度单位． 故选：A ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+
=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,
即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性.
8．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∵f（+x）=f（﹣x），
可知函数的对称轴为x==，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f（）=2或﹣2
故选D．
9．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
11．【答案】B
12．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】③④
【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误
AN AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,
AN AC所成的角为60 ，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．为等边三角形，所以,
考点：空间中直线与直线的位置关系．
14．【答案】 3.3
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．15．【答案】﹣6．
【解析】解：由约束条件，得可行域如图，
使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），
∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．
故答案为：﹣6．
16．【答案】45．
【解析】解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10﹣i（﹣）i=（﹣1）i C10i=，令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，
故答案为：45．
17．【答案】（，）．
【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①
∵点A（2，0），点B（0，3），
∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，
∴a=，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C的坐标为（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】[1，）∪（9，25]．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，
过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．
∴点在椭圆G 上，又离心率为，
∴，解得
∴椭圆G 的方程为．
（II ）由（I ）可知，椭圆G 的方程为．∴点F 的坐标为（﹣1，0）．
设点P 的坐标为（x 0，y 0）（x 0≠﹣1，x 0≠0），直线FP 的斜率为k ，
则直线FP 的方程为y=k （x+1），
由方程组
消去y 0，并整理得
．
又由已知，得，解得或﹣1＜x 0＜0．
设直线OP 的斜率为m ，则直线OP 的方程为y=mx ．
由方程组
消去y 0，并整理得
．
由﹣1＜x 0＜0，得m 2＞，
∵x 0＜0，y 0＞0，∴m ＜0，∴m ∈（﹣∞，﹣），
由﹣＜x 0＜﹣1，得
，
∵x 0＜0，y 0＞0，得m ＜0，∴﹣
＜m ＜﹣
．
∴直线OP （O 是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣
，﹣
）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．
20．【答案】（1）()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e 上单调递减；（2）1[,)2
+∞.
【解析】
试题解析：（1）由条件可得2
21
'(1)1f e e a
=-
=-，∴1a =， 由21()f x e x x =+，可得222
22
11'()e x f x e x x -=-=， 由'()0f x >，可得2210,0,
e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1
x e <-；
由'()0f x <，可得2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或1
0x e <<．
所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1
(0,)e
上单调递减．
（2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>，
由()ln kf s t t ≥，可得ln ()
t t
k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立，
即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max
()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值．
由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1
(,)e +∞上单调递增，
故()f s 的最小值为1
()2f e e
=，
由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立， 所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==，
所以只需122
e k e ≥
=， 所以实数的取值范围是1
[,)2
+∞.
考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导
数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）. 21．【答案】23
a =-． 【解析】
考点：集合的运算. 22．【答案】
【解析】 【专题】计算题．
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x 的系数，列出方程得到m ，n 的关系；利用二项展
开式的通项公式求出x 2
的系数，
将m ，n 的关系代入得到关于m 的二次函数，配方求出最小值
（2）通过对x 分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x 的奇次幂项的系数之和．
【解答】解：（1）由已知C m 1+2C n 1
=11，∴m+2n=11，
x 2的系数为C m 2+22C n 2=
+2n （n ﹣1）=+（11﹣m ）（
﹣1）=（m ﹣）2+
．
∵m ∈N *，∴m=5时，x 2的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x 2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f （x ）=（1+x ）5+（1+2x ）3
．
设这时f （x ）的展开式为 f （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2++a 5x 5，
令x=1，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=25+33
，
令x=﹣1，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5=﹣1， 两式相减得2（a 1+a 3+a 5）=60，
故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和
问题．
23．【答案】（1）1
,14
b c =
=；（2）答案见解析；（3）当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点. 【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得1
,14
b c =
=；
（3）函数
()g x 的导函数()()2132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝
⎭'，结合导函数的性质可得当1a <-或0a >时，()g x 在
()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
试题解析：
（1）由题意()()01
{ 440
f c f b c =+=-+=，解得1
{ 41
b c =
=；
（2）由（1）可知()()3
2
4f x x a x =+--1414a x ⎛⎫
+
+ ⎪⎝⎭
， ∴()()2132444f x x a x a ⎛⎫=+--+
⎪⎝⎭
'； 假设存在0x 满足题意，则()()2000132444f x x a x a ⎛⎫
=+--+
⎪⎝⎭
'是一个与a 无关的定值， 即()2
0001
24384
x a x x -+--
是一个与a 无关的定值， 则0240x -=，即02x =，平行直线的斜率为()1724
k f ==-
'；
（3）()()()3
2
4g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛⎫
-+
++ ⎪⎝⎭
， ∴()()2132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+
⎪⎝⎭'， 其中()21441244a a ⎛⎫∆=-++= ⎪⎝
⎭()22
4166742510a a a ++=++>，
设()0g x '=两根为1x 和()212x x x <，考察()g x 在R 上的单调性，如下表
1°当0a >时，()010g a =+>，()40g a =>，而()15
2302
g a =--
<， ∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点； 2°当0a =时，()010g =>，()40g a ==，而()15
202
g =-
<， ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点，即()g x 在()0,4有一个零点；
3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=->
⎪
⎝⎭
， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上各有一个零点，
即()g x 在()0,4有两个零点；
②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；
综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 24．【答案】
【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得
解得或（舍）．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
所以．
所以只需求出的最大值．
由（Ⅰ），得．
因为，
所以当，或时，取到最大值．
所以的最大值为．。