相应于仿射李代数g的顶点算子代数Vg(l,0)的可积性及其空间分解
伪补对称扩张Ockham代数
伪补对称扩张Ockham代数张雄盛;方捷【摘要】研究peO代数类中的子类pe2,0K1,1,即满足恒等式f 3=f和k2=idL的peO-代数.利用同余和代数的次直不可约,有如下的主要结果:如果L∈pe2,0K1,1,则L是真次直不可约当且仅当Con L?{ω}⊕[G,Φ]⊕{ι}.这里ω 和ι 分别表示相等关系和泛关系,Φ表示由f(x)=f(y)确定的一个同余,G表示Glivenko同余.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2017(033)003【总页数】12页(P314-325)【关键词】p-代数;Ockham代数;扩张Ockham代数【作者】张雄盛;方捷【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广东广州 510665;广东技术师范学院数学与系统科学学院,广东广州 510665【正文语种】中文【中图分类】O153.1;O153.2一个p-代数（或称伪补代数）是指一个具有最小元0的格L且赋予映射∗:L→L使得对任意x∈L存在 x∗=max{y∈L|x∧y=0};等价地,x∧y=0⇔ y 6 x∗.一个Ockham代数是一个有界分配格L并赋予对偶自同态f:L→L.在Ockham代数(L;f)中,K1,1-代数是它的一个重要的子类,其中f满足条件:f3=f.有关p-代数和Ockham 代数的基本性质,见文献[1-2].在文献 [3]中,作者介绍了 pO-代数.确切地来说,一个 pO-代数是代数 (L;f,∗),其中(L;f)是 Ockham代数,(L;∗)是p-代数.同时,一元运算f和∗可相互交换.随后在2008年,文献[4]研究了扩张Ockham代数簇eO;即代数(L;f,k),其中L是有界分配格,f和k是 L的两个一元运算,使得 (L;f)是一个 Ockham代数,k是 (L;f)上的自同态.特别地,当k2=idL时,这样的代数(L;f,k)称之为对称扩张Ockham代数.他们在该文中特别刻画了对称扩张Ockham代数类中的一个子类e2,0M,即称为对称扩张de Morgan代数(L;f,k)的次直不可约性.这里的一元运算f和k满足条件:f2=idL和k2=idL.有关这些代数类的基本性质,见文献[2-4]或文献[6-8].本文将考虑包含对称扩张Ockham代数和p-代数的一个代数类.定义如下:一个伪补对称扩张K1,1代数,是指代数(L;f,k,∗).其中L是有界分配格,f,k和∗是L上的三个一元运算并且满足如下条件:(1)(L;f,k)是一个扩张Ockham代数;(2)(L;∗)是一个p-代数;(3)f3=f且k2=idL;(4)f,k和∗可相互交换.我们将用pe2,0K1,1表示伪补对称扩张K1,1-代数类.例 1.1[4] 每个有限布尔格(B;∧,∨,′,0,1)都可以被看作一个 pe2,0K1,1-代数.实际上,令A={a0,a1,···,an}为B的所有原子组成的集合,而且定义映射f:B→B使得和映射k:B→B使得对于x∈B有k(x)=[f(x)]′.于是,如文献[4]例1.4所示,f2=idB和k2=idB.从而知,(L;f,k)是对称扩张de Morgan代数.显然,例 1.2 考虑下面所给出的代数L如图1,表1所示:通过简单的观察,可以发现都是pe2,0K1,1-代数.设(E;6)是一个有序集,a,b∈E.如果a?b同时b?a,则称a和b不可比较;否则称为可比较.我们将用a∥b表示a和b不可比较,用a∦b表示a和b可比较.下面是文中所需要的引理:引理 2.1(见文献[4,6]) 如果(L;f,k)是一个对称扩张Ockham代数,则(1)(∀x∈L)x=k(x)或x∥k(x);(2)对于x,y∈L并且x6y,如果x∧k(x)=y∧k(y)同时x∨k(x)=y∨k(y),则x=y.引理 2.2(见文献 [2]) 如果 (L;∗)是一个p-代数,则定理 2.1 如果L∈pe2,0K1,1,则下面论断成立:证明 (1)如果x ∈ L 则 x 6 x∗∗,所以 f(x)>f(x∗∗)=[f(x)]∗∗>f(x),由此可得f(x∗∗)=f(x).(2)令x∈L,由(1)可得由此推知,(f(L);∗)是布尔代数.类似地,(fk(L);∗)也是布尔代数.为了术语上的便利,将 f(x)记为x◦,k(x)记为 x+并且将 pe2,0K1,1-代数 (L;f,k,∗)记为(L;◦,+,∗).同样,将 f(L)记为L◦={x◦|x∈L}和 fk(L)记为L◦+={x◦+|x∈ L}.pe2,0K1,1-代数(L;◦,+,∗)上的一个同余,是指一个格同余ϑ使得设(L;◦,+,∗)是一个 pe2,0K1,1-代数.用 ConL表示 L的同余格;用 ConlatL表示格 L 的格同余格.用符号ω和ι分别表示 L的相等关系和泛关系.正如文献 [1,6]所见,Glivenko同余 G,给出由(x,y)∈ G ⇔ x∗=y∗,是 p-代数 (L;∗)的一个同余.同时,由(x,y)∈Φ⇔f(x)=f(y)给出的关系Φ是K1,1-代数的一个同余.我们有如下的定理: 定理 2.2 设(L;◦,+,∗)∈pe2,0K1,1.则 G 和Φ 都是 L的同余并且G 6 Φ.证明如文献 [6],G是一个∗-同余.为证 G也是一个(◦,+)-同余,令(x,y)∈G则有x∗=y∗.故有从而推知因此,G是(◦,+)-同余,从而它是L的一个同余.类似可证,Φ也是L的同余.最后,设(x,y)∈G.则 x∗=y∗.由定理 2.1,有因此,(x,y)∈Φ.从而得到G 6 Φ.定理 2.3 设(L;◦,+,∗)∈pe2,0K1,1.则下列论断成立:(1)G=ω⇔ (L;∗)是布尔代数;(2)Φ = ω ⇔ (∀x ∈ L)x∗∗=x◦◦=x;(3)Φ =G ⇔ (∀x ∈ L)x∗∗=x◦◦.证明 (1)如果G=ω,则对任意x∈L,有(x∨x∗,1)∈G=ω.于是得x∨x∗=1.因此(L;∗)是布尔代数.反过来显然成立.(2)如果Φ= ω,则由定理 2.2知,G=ω.因此由 (1),对任意x∈L,有 x∗∗=x.由于(x,x◦◦)∈Φ=ω,于是有x◦◦=x.故结论成立.反过来显然成立.(3)如果Φ=G,则对x∈L,由于(x,x◦◦)∈ Φ=G,因此有故由定理2.1(1)知,反之,对于任意x∈L,如果则现若(x,y)∈ Φ 则x◦=y◦,由此推知故(x,y)∈G.从而有Φ 6 G.因此由定理2.2推知,Φ=G.给定a,b∈L并且a 6 b,用θ(a,b)表示关于a和b的主同余;即由a和b生成的(L;◦,+,∗)上的最小同余;用θlat(a,b)表示相应地格L上的主格同余;用θ∗(a,b)表示(L;∗)的主∗-同余;用θ◦(a,b)表示(L;◦)的主◦-同余.正如文献 [1,6]中所述,有下面给出pe2,0K1,1-代数的主同余表示:定理 2.4 若(L;◦,+,∗)∈pe2,0K1,1及a,b∈L 并且 a 6 b,则证明令φ(a,b)为(†)中右边的第一个等式.显然有φ(a,b)6 θ(a,b).如文献 [6]的 41页 (3)和定理 5.9 中所见,θ◦(a,b)∨ θ◦(a+,b+)是(◦,+)-同余,θ∗(a,b)和θ∗(a+,b+)是∗-同余.因此为证φ(a,b)是一个同余,只需证明θ◦(a,b)∨θ◦(a+,b+)是∗-同余同时θ∗(a,b)∨θ∗(a+,b+)是(◦,+)-同余.为此,只需观察如下事实:则后者给出 x∗∧q◦∗=y∗∧q◦∗,从而由定理 2.1 推知 x∗∨q◦=y∗∨q◦.前者给出因此得到 (x∗,y∗) ∈ θlat(p◦,q◦).则从而推知因此得到 (x∗,y∗)∈ θlat((a∗∧ b)∗+,1).类似地,如果于是有因此由定理2.1可得再由定理2.1,有从而得到综上所述,可推知φ(a,b)是一个同余.故θ(a,b)6 φ(a,b).显然,有和故φ(a,b)6 θ(a,b).因此等式成立.推论 2.1 设L∈pe2,0K1,1.如果a,b∈L◦使得a 6 b,则证明因为(L◦;∗)是布尔代数,所以有注意到 a∗∗=a 和 b∗∗=b,于是有类似地,可证θ∗(a+,b+)=θlat(a+,b+).因此由定理 2.4,等式(‡)成立.推论 2.2 设L∈pe2,0K1,1.如果a,b∈L并且a 6 b使得(a,b)∈G,则证明设(a,b)∈G 并且 a 6 b,则 a∗=b∗.因G 6 Φ,故a◦=b◦.从而由定理 2.4,等式成立.本节中,我们将考虑次直不可约pe2,0K1,1-代数.我们说一个代数L是次直不可约,如果存在L的一个同余α使得对于所有θ∈ConL且θ≠ω,都有α>θ.这样的一个同余α被称为L的唯独元.余唯独元可对偶地定义.一个次直不可约代数是单纯的,如果其同余格ConL是一个2-元素链ω<ι,即Co nL={ω,ι}.称一个次直不可约代数是真次直不可约,如果它不是单纯的.设Fix+(L)={x∈L|x+=x}.定理 3.1 设L∈pe2,0K1,1.若L是次直不可约,则有(1)ω≼G;(2)(∀x∈L)|[x]G∩Fix+(L)|6 2;(3)(∀x∈L)|[x]G|6 4.确切地说,[x]G是一个单元素集,或是以下两种形状中的一种,如图 2,图3所示:证明 (1)假设G̸=ω.因L是次直不可约的,故存在L的一个唯独元α使得因而有a,b∈L且a<b使得α=θ(a,b)6G.又因a̸=b,故由引理 2.1有不妨假定a∧a+̸=b∧b+,则因此由推论2.2推知令则在ConlatL中,有不难看出,β∧G是L的同余.从而得后面一种情况是不可能的,因为它给出α=α∧β∧G=α∧β=ω,一个矛盾.因此必有β∧G=ω.于是得故G是L的唯独元.(2)用反证法.假设存在一个 [x]G,它至少包含 Fix+(L)中的三个元素,即a,b,c∈L且a<b<c使得则由定理2.4,有这与L的次直不可约性相矛盾.因此必有|[x]G∩Fix+(L)|6 2.(3)假若存在xi∈L(i=1,2,3,4)使得则有以及由 (2),存在某个i∈{1,2,3}使得从而由引理 2.1推知,xi=xi+1,这与假设矛盾.因此必有|[x]G|6 4.再由(2),得到所要求的Hasse图.记定理 3.2 设L∈pe2,0K1,1是次直不可约.则有证明设则故由定理2.1知x∗和x是互补元.如果x/∈Fix◦(L)则由推论 2.1,有由L的次直不可约性推知,故x∧x◦=0,因而又由L的分配性,得x◦=x∗.再由推论2.1,有由此知因而有x∈{0,1},从而得相反的包含关系是显然的.题设的等式成立.定理 3.3 若L∈pe2,0K1,1是次直不可约,则S(L)是单纯代数.证明只需证明,对任意x,y∈S(L)及x<y,有假设则由引理 2.1,有不妨假定x∧x+<y∧y+.则由定理3.2,有或者或者这三种情况都蕴含着θ(x∧x+,y∧y+)=ι,由此推知θ(x,y)=ι.结论对x∨x+≠y∨y+的情况同样成立.因此,S(L)是单纯的.推论 3.1 若L∈pe2,0K1,1是次直不可约,则Φ是L的余唯独元.证明因为L/Φ≃S(L),所以有由定理 3.3可知,区间[Φ,ι]是一个 2-元素链.故结论成立.设A和B是两个不相交的有序集.将用A⊕B表示由A∪B生成的线性和,其序关系由下面所给出:定理 3.4 设L∈pe2,0K1,1.则L是真次直不可约当且仅当ConL≃{ω}⊕[G,Φ]⊕{ι}.证明 (⇒:)设L是真次直不可约,则由推论 3.1有Φ≺ι,同时由定理2.3和定理3.1,Φ≠ω.由后者,存在L的一个唯独元α使得ω≺α 6 Φ.有x,y∈L且x<y使得如果G=ω,则由定理2.3知(L;∗)是布尔代数,因而有故类似于定理3.1(1)中的证明,可得从而有另一方面,若G≠ω,则由定理3.1和定理3.3,结论成立.(⇐:)这是显然的.例 3.1 例1.2中所描述的两个pe2,0K1,1-代数(L;f1,+,∗)和(L;f2,+,∗),它们都是次直不可约.其中(L;f1,+,∗)的同余格是一个3-元素链:ω≺G=Φ≺ι,这里G=Φ=θ(a,d);(L;f2,+,∗)的同余格是一个4-元素链:ω≺G≺Φ≺ι,这里G=θ(a,d)和Φ=θ(0,d).例 3.2 考虑由下面的Hasse图所确定的pe2,0K1,1-代数(L;◦,+,∗),如图4,表2所示: 显然,L是次直不可约的且ConL诱导出一个3-元素链:ω=G≺Φ≺ι,其中Φ=θ(0,c).例 3.3 考虑由下面 Hasse图所确定的 pe2,0K1,1-代数(L;◦,+,∗),如图 5,表 3所示:可以看出,L的同余格ConL具有如下形式,如图6所示:【相关文献】[1]Blyth T S,Varlet J C.Ockham Algebras[M].Oxford:Oxford University Press,1994.[2]Fang Jie.Distributive Lattices with Unary Operations[M].Beijing:Science Press,2011.[3]Blyth T S,Fang Jie,Varlet J C.Ockham algebras withpseudocomplementation[J].Communications in Algebra,1997,25(11):3605-3615.[4]Blyth T S,Fang Jie.Extended Ockham algebras[J].Communications inAlgebra,2008,25:1271-1284.[5]Fang Jie.Pseudocomplemented MS-algebras[J].Algebra Colloquium,1996,3(1):59-65.[6]Blyth T S,Fang Jie.Symmetric extended Ockham algebras[J].AlgebraColloquium,2003,10(4):479-489.[7]Berman J.Distributive lattices with an additional unary operation[J].Aequationes Math.,1977,16:165-171.[8]Gratzer G,Lakser H.The structure of pseudo-complemented distributivelatticeⅡ,Congruence extension and amalgamation[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1971,156:343-358.。
G2型仿射-Virasoro李代数的顶点表示
邹慧超,Zou Huichao(鲁东大学,数பைடு நூலகம்与信息学院,山东,烟台,264025)
刊 名：南开大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS NANKAIENSIS 年，卷(期)：2007 40(5) 分类号：O152 关键词：仿射-Virasoro李代数 顶点算子 完全可约模
主要利用virasoro李代数的振子表示及g2型仿射李代数的顶点算子构造了g2型仿射virasoro李代数的完全可约表示
G2型仿射-Virasoro李代数的顶点表示
G2型仿射-Virasoro李代数的顶点表示
主要利用Virasoro李代数的振子表示及G2型仿射李代数的顶点算子,构造了G2型仿射-Virasoro李代数的完全可约表示.
广义相对论样卷答案-USTC
广义相对论样卷答案中国科大近代物理系尤一宁2017年6月11日1问答题1.1数学准备部分1.什么是张量积？若r重线性映射f:X1×···×X r→Z同构于线性映射g:W→Z，则W为X1×···×X r 的张量积.2.什么是张量？多重线性映射/多重线性函数.3.简述拓扑对于集合的意义拓扑可在集合中引入邻域、连续性、连通性等概念.4.什么是流形？X是一个Hausdorff拓扑空间，且对X上∀一点p，都∃一个邻域N(p)同胚于R n中的一个开集，则称X为一个流形.简言之，流形是局部同胚于R n中的开集的Hausdorff拓扑空间.5.微分结构和拓扑结构的区别拓扑结构赋予集合连续、邻域的概念，使得流形可以定义，拓扑结构产生拓扑群（连续11问答题2群）；微分结构赋予流形上坐标卡之间映射的可微性，形成坐标卡集的等价类，和拓扑结构配适的微分结构产生李群.6.什么是切空间？流形上函数f在p点的方向导数v p(f)称为切矢量，流形上p点所有切矢量的集合是切空间.7.名词解释：李导数切矢量场u沿着切矢量场v的积分曲线的变化率L v u|p=limt→0(Φ−t)∗uΦt(p)−u pt称为切矢量场u沿着切矢量场v在p点的李导数.其中v在p点的邻域N(p)生成的局部单参数变换Φt所定义的推前映射将Φt(p)点的切矢量推到p点.8.微分同胚变换与坐标变换的关系微分同胚变换ΦX→X可以等价于X上的坐标变换；主动观点看，X上的点发生变化，张量场τ在微分同胚变换下变成X上的另外一个张量Φ∗τ；被动观点看，点不变，而微分同胚变换对张量的分量做了一个坐标变换，变换后的分量等于主动观点下Φ∗τ的分量.9.在流形上引入联络的目的是什么？产生光滑流形上两点的切空间之间的同构，以建立平行移动的概念.简言之，平行移动要求切矢量沿所走曲线方向不变，而联络赋予了流形上不同点之间切矢量的比较.10.解释什么是平行移动，什么是测地线？若v(t)沿曲线c的切矢量u的协变导数∇u v=0，则称v(t)沿曲线c平行移动；若一曲线c的切矢量u沿u本身的协变导数∇u u=0，则称曲线c是测地线.11.简述两个协变导数算子之间的关系导数算子∇和 ∇之间相差了一个（1，2）型张量场C c ab，有( ∇a−∇a)u c=−C c ab u b，( ∇a−∇a)ωb=C c abωc.12.简述流形上普通导数算子的特殊性1.由于(∂a∂b−∂b∂a)τa1···r b1···b r=0，普通导数算子对应的挠率和曲率都为0；2.普通导数算子依赖坐标卡的选取，只能在局部定义，且它与一般导数算子的差别Γc ab也依赖坐标卡的选取.13.简述度规和（无挠）联络之间的关系物理上要求度规和联络相容∇a g bc，则在流形(X,g ab)上给定挠率张量，则和度规相容的协变导数唯一；无挠情况下，取 ∇a=∂a，则和度规相容的联络与之相差Christoffel符号Γc ab=12g cd(∂a gbd+∂b g da−∂d g ab).1问答题314.简述曲率张量的几何意义曲率张量反应了一个切矢量沿曲线c平行移动一圈回到原点时的改变量的二阶近似.15.简述Killing矢量场和一般切矢量场的关系一般切矢量场都可诱导出流形之间的微分同胚，但Killing矢量场多了一个要求，即它在(X,g ab),(Y,h ab)之间诱导的微分同胚需满足等距性：φ∗h ab=g ab.16.描述一个类时线汇需要哪些几何量？分别写出这些几何量，说明它们的意义∇a u b=−u a a b+ωab+σab+1θh ab3转动张量ωab是被测粒子O相对于粒子O的瞬时转动速度，扩张标量θ是粒子O相对于粒子O的径向速率，剪切张量σab是粒子O相对于粒子O的无穷小距离发生的剪切形变（从球面变成等体积椭球面的趋势）.1.2广义相对论部分1.广义相对论中什么是时空？时空是一个二元组(M,g ab)，其中M是一个4-维的微分流形（Hausdorff、连通），而g ab 是时空上的度规，号差为(−1,1,1,1)；简言之，广义相对论中的时空是一个4-维的Lorentz 流形.2.简述相对论性时空和经典时空的区别时空是一个流形，经典和相对论时空的区别在于度规的构造：经典时空中时间和空间先验地存在且被分别对待，需引入时间度规和空间度规，而相对论性时空只引入一个度规，不先验地区分时间和空间.3.相对论性的时空中什么是观测者？什么是参考系？观测者是一条类时世界线和观测者决定的固有坐标系；参考系是一个光滑的切矢量场，这个切矢量场的每一条积分曲线都是观测者的世界线，简言之，参考系是观测者的集合.4.相对论性时空中参考系和坐标系的区别和联系参考系是类时线汇，即观测者的集合；坐标系是一条类时世界线上观测者选取的坐标架.对于一个参考系，可以由它构造出一个适配的坐标系，但不是所有的坐标系都可与参考系适配.5.简述相对论中“相对”的理解等效原理是狭义相对论的基础，因此参考系之间有Lorentz变换；但广义相对论的基础，潮汐力实验证实不包含等效原理（1912），因此广义相对论的基础只有一个流形及其度规，没有参考系之间相对性的概念.1问答题46.简述物质场的能动量张量需满足的条件狭义相对论的能动量张量T ab 满足(i)T ab 是一个对称张量，对于时空上任意p 点处未来指向的单位类时矢量u a ，P a =−T a b u b 是4-动量密度(ii)若T ab 在R n 的某个开集为0当且仅当在这个开集上物质场为0；(iii)对称张量满足方程∇a T ab =0，其中∇a 与度规ηab 相容；广义相对论的能动量张量要求相同，只是度规为g ab .7.简述狭义相对论中的Einstein-Poincare 同时性观测者O (τ)在其固有时τ1向O ′(τ′)发出光线，经O ′(τ′)镜面反射回，观测者O (τ)在其固有时τ2收到返回的信号；若O ′(τ′)接收到信号的时间τ′=12(τ1+τ2)，则称两个观测者的时钟是对准的.8.画出闵氏时空中惯性系和匀加速观测者的世界线惯性观测者世界线为直线，可洛伦兹变换为x =const.,t =τ，即垂直于x 轴的直线；匀加速观测者世界线为双曲线g −1=√−t 2+(x 1)2，加速度g 越大越弯曲靠近原点.1问答题59.简述测地偏离方程的物理含义测地线汇(a a=0)的测地偏离方程A a=−R cbd a u c z b u d体现了两个邻近的、“自由运动”的粒子的相对加速度正比于曲率张量.这是广义相对论中的潮汐力，描述了时空的弯曲程度与粒子运动的关系，因此潮汐力能够体现“引力”.10.简述费米沃克移动的含义一个矢量场v沿粒子世界线（切矢量为u）的运动若满足D F Wv a=u b∇b v a+(a a u b−dτu a a b)v b=0，则矢量场v a在基底{(e i)a}上的分量的变化率完全由基底的转动产生，换言之，v a沿着世界线不发生转动.11.什么是惯性观测者若观测者（类时世界线）的加速度a a=0，则称观测者为惯性（测地）观测者.12.简述费米法坐标系和黎曼法坐标系的区别和联系黎曼法坐标系：世界线上p点切矢量的正交基底，被指数映射到黎曼坐标系；引入一条测地线来定标，则其黎曼法坐标正比于p点基底下的分量.费米法坐标系：直接引入过p点的类空测地线来定标，且其切矢量与p点世界线切矢量正交，则在p点足够小邻域内可定义唯一的一条测地线的费米法坐标，其x0为观测者在p点的固有时.黎曼法坐标系的建立只用到指数映射和观测者的正交基底的选取，因此黎曼法坐标系上的Christoffel符号只能在世界线上的一点为0；但费米法坐标系可在世界线整体或一段上为0，只要观测者的4-加速度和自转为0.13.简述何谓惯性参考系、刚性参考系、超曲正交参考系对矢量场u a定义的参考系，若a a=0，则为惯性参考系；若ωab=0，则为超曲正交参考系；若θab=0,ωab=0，则为刚性参考系.1问答题614.简述等效原理弯曲时空上任意一点处的局部Lorentz系或测地无自转观测者的固有Lorentz系中的物理规律和狭义相对论中整体Lorentz系中的物理规律一样.15.爱因斯坦场方程及其含义时空的几何和物质场的能动量张量是联系在一起的：G ab=8πGT ab，其中G ab=R ab−12Rg ab是爱因斯坦张量，G是牛顿常数.16.Weyl张量的物理意义Weyl张量描述了时空弯曲程度中不是由物质场的能动量张量局部确定的“整体的”部分.17.简述什么是稳态时空、静态时空、稳态轴对称时空存在一个类时的Killing矢量场的时空，是稳态时空；存在一个类时的超曲面正交的Killing 矢量场的时空，是静态时空；存在一个类时Killing矢量场t a，和一个具有闭合轨道的类空Killing矢量场φa，且满足[t a,φa]=0，此时空是稳态轴对称时空.18.简述光线在太阳附近的偏折太阳这样巨大的星体，施瓦西半径2m很小，因此可以用围绕法求解光子轨道方程d2µdφ2+µ=3mµ2，可以得到若光子从φ=φ0的无穷远入射，则到无穷远出射时φ=π+φ0+4GmLc2，也就是说光线绕太阳行进时发生角度为4GmLc2的偏折.19.简述水星进动太阳这样巨大的星体，施瓦西半径2m很小，因此可以用围绕法求解有质量星体轨道方程d2µdφ2+µ−ml2+3mµ2=0，得到一阶近似µ1(φ)≈ml2{1+σcos[(1−δ)φ]}，得到近日点为φ=0，但近日点2π近似为2π(1+δ)，因此近日点每周期进动2πδ.20.什么是一点的编时过去、编时未来、因果过去、因果未来？p点的编时未来：集合I+(p)={q∈M|存在未来定向的类时曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)= q}.编时过去：集合I−(p)={q∈M|存在过去定向的类时曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.因果未来：集合J+(p)={q∈M|存在未来定向的因果曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.因果过去：集合J−(p)={q∈M|存在过去定向的因果曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.21.简述一个未来不可延者的事件视界其世界线为γ，则他的未来事件视界是其编时过去的边界，他的过去事件视界是其编时未来的边界.22.什么是黑洞？黑洞是一个区域，它的事件视界是渐进无限远平坦区域中所有寿命足够长的观测者所共有的未来事件视界，即B=M−I−(R).1问答题723.Penrose图的基本特征是什么？Penrose时空图是Kruskal时空图的共形等度规映射，将无限远可视化.类时无限远为点，记为i+,i−；类空无限远为点，i0，类光无限远为线，记为I+,I−.闵氏时空中，类时测地线从i−出发，到i+终止，类空测地线的起终点为i0，；类光测地线起终点在I+,I−上，且仍为和竖直方向成45度的直线（可以进行Weyl重新标度）.24.简述Birkhoff定理真空爱因斯坦场方程Rµν=0的球对称解必为静态的，且具有施瓦西解的形式.25.简述星体中可能存在的抗衡引力塌缩的机制高温高压的星体内部存在大量的电子，由于泡利不相容原理，电子气体会产生很强的排斥压力，即简并压，可以远大于热运动产生的压力，是与引力抗衡的主要压强.26.简述Buchdahl定理在广义相对论中，只要ρ(r)≥0,ρ′(r)≤0，任何半径为R的球对称星体的质量都不能超过4R.927.简述Penrose奇异性定理的内容如果时空(M,g ab)包含一个非紧的柯西面和一个闭合的未来俘获面，且对任意的因果矢量场ξa满足R abξaξb≥0，则时空中存在未来不完备的类空测地线.28.线性引力理论中，平面引力波有哪些基本特征？线性引力近似在闵氏时空中描述自由无质量点粒子的运动，自旋为2，以光速传播；用洛伦兹规范、横向无迹规范后极化为2种，为+和-极化模式.2证明题829.简述爱因斯坦引力理论在弱场、低速、弱场且低速等极限下可得到什么样的理论时空度规退化到闵氏度规时，退化为狭义相对论；弱场近似，但不需要低速近似时，退化为线性引力理论；弱场、低速、物质低压强近似下，退化为牛顿引力理论；在牛顿近似下，引入广义相对论一阶修正，称为后牛顿引力理论.30.引力波源中产生引力波的主要部分是什么？质量4-极矩31.简述宇宙学原理每一时刻宇宙的空间在大尺度上是均匀各向同性的.32.简述宇宙奇点的存在性问题由Fridman方程˙H−ka2=−4πGρ，有3¨a=−4πa(ρ+3p)；若物质满足强能量条件ρ+3p≥0，则˙θ≤0，可证明宇宙必然过去存在θ→∞的奇点.2证明题1.外代数的基本关系有：dx∧dy=−dy∧dxdx∧dx=0d(ω∧θ)=dω∧θ+(−1)deg(ω)ω∧dθ微分操作为（例如）：ω=f(x1,x2,x3,x4)dx1∧dx2dω=∂f∂x3dx3∧dx1∧dx2+∂f∂x4dx4∧dx1∧dx22证明题9因此对此题，闭形式为dω=0:ω=xdxx2+y2+ydyx2+y2dω=−2yx(x2+y2)2dy∧dx+−2xy(x2+y2)2dx∧dy=0恰当形式及凑全微分：ω=d[12ln(x2+y2)]，只用到复合函数，无需考虑外代数.2.2-阶的KroneckerDelta张量为：δa,cδb,d−δa,dδb,c和曲率进行缩并，考虑对称性化简，得到结果：2R ab ab=2R4-阶的KroneckerDelta张量为：δa1,d2δa2,d1δb1,c2δb2,c1−δa1,d1δa2,d2δb1,c2δb2,c1−δa1,d2δa2,c2δb1,d1δb2,c1+δa1,c2δa2,d2δb1,d1δb2,c1 +δa1,d1δa2,c2δb1,d2δb2,c1−δa1,c2δa2,d1δb1,d2δb2,c1−δa1,d2δa2,d1δb1,c1δb2,c2+δa1,d1δa2,d2δb1,c1δb2,c2 +δa1,d2δa2,c1δb1,d1δb2,c2−δa1,c1δa2,d2δb1,d1δb2,c2−δa1,d1δa2,c1δb1,d2δb2,c2+δa1,c1δa2,d1δb1,d2δb2,c2 +δa1,d2δa2,c2δb1,c1δb2,d1−δa1,c2δa2,d2δb1,c1δb2,d1−δa1,d2δa2,c1δb1,c2δb2,d1+δa1,c1δa2,d2δb1,c2δb2,d1 +δa1,c2δa2,c1δb1,d2δb2,d1−δa1,c1δa2,c2δb1,d2δb2,d1−δa1,d1δa2,c2δb1,c1δb2,d2+δa1,c2δa2,d1δb1,c1δb2,d2 +δa1,d1δa2,c1δb1,c2δb2,d2−δa1,c1δa2,d1δb1,c2δb2,d2−δa1,c2δa2,c1δb1,d1δb2,d2+δa1,c1δa2,c2δb1,d1δb2,d2和曲率进行缩并，考虑对称性化简，得到结果.其中分别有独立的曲率项带2个不同指标、3个不同指标、4个不同指标：4R ac ac R bd db+16R ac cb R bd ad+4R ab cd R dc ba=4R2−16R a b R b a+4R ab cd R dc ba3.(1)度规相容联络、无挠导数算子满足：∇a g bc=0(∇a∇b−∇b∇a)f=01-阶Ricci恒等式为：R abc d v d=(∇a∇b−∇b∇a)v c2证明题10应用以上各式：(∇a − ∇a)f=[(∇a g bc)∇b∇c+g bc∇a∇b∇c−g bc∇b∇c∇a]f=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇c∇a)f=g bc[∇a∇b∇c−∇b∇a∇c+∇b(∇a∇c−∇c∇a)]f=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇a∇c)f=g bc(∇a∇b−∇b∇a)∇c f=g bc R abc d∇d f=R ab bd∇d f=−R ab db∇d f=−R ab∇b f(2)对∇c v d的2-阶Ricci恒等式:(∇a∇b−∇b∇a)∇c v d=R abc e∇e v d+R abd e∇c v e应用以上各式：(∇a − ∇a)v d=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇c∇a)v d=g bc[∇a∇b∇c−∇b∇a∇c+∇b(∇a∇c−∇c∇a)]v d=g bc(∇a∇b−∇b∇a)∇c v d+g bc∇b(R acd e v e)第一项为：g bc R abd e∇c v e+g bc R abc e∇e v d=R acd e∇c v e+R ab be∇e v d=R acd e∇c v e−R ae∇e v d第二项为：g bc∇b R acd e v e+g bc R acd e∇b v e=∇b R abd e v e+R acd e∇c v e相加得：(∇a − ∇a)v d=2R acd e∇c v e−R ae∇e v d+∇b R abd e v e，将指标替换为答案中的顺序d→c,c→b,e→d.2证明题114.需证明Bianchi 恒等式∇[a R bc ]de ，由Ricci 恒等式：(∇a ∇b −∇b ∇a )∇c ωd =R abc e ∇e ωd +R abd e ∇c ωe∇a [(∇b ∇c −∇c ∇b )ωd ]=∇a (R bcd e ωe )=ωe ∇a R bcd e +R bcd e ∇a ωe 对两式各做[a,b,c]的轮换，显然(∇[a ∇b ∇c ]−∇[b ∇a ∇c ])ωd =(∇[a ∇b ∇c ]−∇[a ∇c ∇b ])ωd ，因此上面右式的两个轮换也相等：R [abc ]e ∇e ωd +R [ab |d |e ∇c ]ωe =ωe ∇[a R bc ]d e +R [bc |d |e ∇a ]ωe由外微分d 2ω=0，可得∇[a ∇b ωc ]=0，故对∀ωd 有：2∇[a ∇b ωc ]=∇[a ∇b ωc ]−∇[b ∇a ωc ]=R [abc ]d ωd =0因此前面式子的左边第一项为0，而两边第二项因为轮换而相等，于是剩下：∀ωe ωe ∇[a R bc ]d e =0再降下e 指标，得到Bianchi 恒等式∇[a R bc ]de =0.展开恒等式有：∇a R bcde +∇b R cade +∇c R abde =0乘上g bd 做缩并，有：0=∇a R bc b e +∇b R cabe +∇c R ab b e=∇a R cbe b +∇b R cabe −∇c R abe b=∇a R ce −∇c R ae +∇b R ca b e再乘上g ce 做缩并，有：0=∇a R −∇e R ae +∇b R ca be=∇a R −∇e R a e −∇b R a b=∇a R −2∇b R a b于是有：∇b R a b −12∇a R =∇b (R ab −12Rg ab )=∇b G ab =05.由于v c ∇c (g ab v a v b )=g ab v a v c ∇c v b +g ab v b v c ∇c v a +v a v b v c ∇c g ab ，度规满足∇c g ab =0，测地线满足v c ∇c v a =0，因此显然v c ∇c ∥v ∥2=0.弧长定义为L =∫λq λp ds ∥v ∥，∥v ∥沿测地线为常数，得证.3计算题126.(1)Killing场满足L K g ab=∇a K b+∇b K a=0，能动量张量是对称张量，且满足∇a T ab=0，因此：∇a P a=∇a(T ab K b)=K b∇a T ab+T ab∇a K b=12(T ab+T ba)∇a K b=12T ab(∇a K b+∇b K a)=0(2)共形Killing场L K g ab=∇a K b+∇b K a=λg ab，因此：∇a P a=T ab∇a K b=12T ab(∇a K b+∇b K a)=λ2T ab g ab=0故有T ab g ab=0.7.能动张量为T ab=(ε+P)U a U b+P g ab，由于度规相容，缩并后仍有∇c g ca=0，有：0=∇c T ca=∇c[(ε+P)U c U a+P g ca]=U c∇c(ε+P)U a+(ε+P)∇c U c U a+(ε+P)a a+∇a P 使用U a U a=−1,a a U a=0，投影到U a；0=∇c T ca U a=−U c∇c(ε+P)−(ε+P)∇c U c+U a∇a P=−U c∇cε−(ε+P)∇c U c故L Uε+(ε+P)∇c U c=0使用h a b=g a b+U a U b,U a h a b=0，投影到h a b：0=∇c T ca h a b=(ε+P)a a(g a b+U a U b)+∇a P(g a b+U a U b)=(ε+P)a b+∇b P+U a∇a P U b降指标即为：(ε+P)a b+∇b P+(L U P)U b=03计算题1.完全用Mathematica计算，广义相对论常用程序包的代码如下(其中Weyl张量的代码里需改为DownRiemannCurvature)：3计算题13此题度规只有非对角分量，对半分成两个非对角元.使用此程序包，输入变量：({0,−12e 2ϕ(u,v )}{−12e 2ϕ(u,v ),0}u v)使用ChrisoffelSym (z )，得到Christoffel 符号；使用RiemannCurvature (z )，得到R abc d 的结果：3计算题14使用DownRiemanncurvature(z)，得到全下指标R abcd的结果；使用RicciT(z)，得到Ricci 张量的结果；使用RicciS(z)，得到Ricci标量的结果：2.使用MMA计算引力辐射(等质量双星系统)：星体1x=Rcos(Ωt),y=Rsin(Ωt),z=0星体2x=−Rcos(Ωt),y=−Rsin(Ωt),z=0(1)计算4-极矩†ij的代码如下：PolarmomentI[z_]:=Module[{m,x,r,l},{m,x,r}=z;l=Length[m];res=Table[Sum[m[[a]]∗(x[[a,i]]∗x[[a,j]]−(1/3)∗(r[[a]])∧2∗KroneckerDelta[i,j]),{a,1,l}],{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]]代入参数{{M,M},{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{R,R}}，得到结3计算题15果：13MR2(3cos(2tω)+1)MR2sin(2tω)0MR2sin(2tω)13MR2(1−3cos(2tω))000−2MR23(2)计算†T T ij分量的代码如下：PolarmomentP[z_]:=Module[{x,dr,res},{x,dr}=z;res=Table[KroneckerDelta[i,j]−(x[[i]]∗x[[j]]/(dr)∧2),{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]] PolarmomentITT[z_]:=Module[{x,xr,m,r,dr,P,I,res},{x,xr,m,r,dr}=z;I=PolarmomentI[{m,x,r}];P=PolarmomentP[{xr,dr}];res=Table[Sum[(P[[i,l]]∗P[[j,m]]−(1/2)∗P[[i,j]]∗P[[l,m]])∗I[[l,m]],{l,1,3},{m,1,3}],{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]]代入参数z={{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{x1,x2,x3},{M,M},{R,R},r}，做中间计算：y=PolarmomentITT[z]F ullSimplify[D[y,t,2]]得到¨†T T ij，里面含场矢量的分量的项特别多，现在只取一阶量：¨†T Txx=−¨†T T yy=−4MR2Ω2cos(2Ωt)¨†T Txy=−¨†T T yx=−4MR2Ω2sin(2Ωt)h T T xx =−h T Tyy=−8MR2rΩ2cos(2Ωt)h T T xy =−h T Tyx=−8MR2rΩ2sin(2Ωt)(3)计算辐射功率的代码为：p={{M,M},{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{R,R}}u=PolarmomentI[p]Intin=Sum[D[u,{t,3}][[i,j]]∗D[u,{t,3}][[i,j]],{i,1,3},{j,1,3}]Int=(1/(5∗τ))Integrate[Intin,{t,0,τ}]得到辐射功率为1285M2R4Ω6。
相应于一类幂零李代数的顶点代数结构
［】｛ ｎ ∈ ｝ ＝∑ Ｉ 】 “
／ Ｅ Ｚ ７ ，
称 ［ ］ 负 形式 罗 朗级数 的向量 空 间。 １ 为非
ｖ ，］ ｛ ［ ＝∑ ｘ
Ｌ
∈ ∈ ｝ ， ， Ｚ
Ｊ
称 ， ］ 朗多 项式 环 。 为罗
１
一ｙ ， ＝∑ 一 （ ）
ｎＥ Ｚ
］ ｛ ｌ ｝ 】 ∑ｕ ｎ ＝ ‰∈
其 中 ∈ Ｅ ｄ Ｖ）ｎ∈ Ｚ 并 且满 足下 列条 件 ： ｎ（ ， ，
收 稿 １ 期 ： ０ ９ Ｏ 一 ０；修 回 日期 ： ０ ０ Ｏ 一 ０ ５ ｔ ２０一 ０Ｏ ２ １一 ０ Ｏ
ｆ １
Ｍ＝ ∑“ ｎ ＥＶ只 有限 ≠ ｝ ｛ “ ｌ ，有 个Ｕ ｝ ｕ ｘ 个 ｎ ０
Ｌ ｎ ＝ ， Ｊ
１ 顶点代 数的基本概念
从 文献 ［］ 献【］ ３和文 ４中引入 以下 符 号和定 义 。
令 、 、 、 Ｃ分 别 表示 正 整 数 、 Ｚ Ⅳ、 负整 数 、 数 、 整
（ ）＝ ∑ ｎ ∈ 当ｎ 分 时， ０ （ ） ｛ Ｉ ， 充 小 ： ｝ ‰
、ｎＥ Ｚ
称 Ｖ （ ） 下方 截头 的罗朗级 数 的 向量 空 间 。 （ ）为
数学家大会上获得菲尔斯奖 ， 迄今为止 已获得经典 的 顶点 （ 子 ） 数 及其 表 示 理论 ， 算 代 以及 概 念 的完 备 公 理
维幂 零 李代 数 ｇ出发 ， 出 了 ｇ带 有 非 退 化 对 称 不 变双 线 性 函 数 的 条 件 ， 构 造 了相 应 于 ｇ的 一 个 代 数 结 给 并
构 ， 同构 的 意 义 上证 明 了其 满 足 顶 点代 数 的 务件 ， 而给 出 了一 个新 的顶 点 代 数 结 构 。 从 从 关 键 词 ：顶 点代 数 ； 限维 幂 零 李 代 数 ； 退化 对称 ； 变双 线性 函数 有 非 不 中 图分 类 号 ：０１ ２５ ５ ． 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ７ — ５ ０ ２ １ ０ — ０ ９ ０ ６ ４ ５ ９ （ ０ ０ｌ ２ ０ ５ — ３
泛函分析答案2：
泛函分析期末复习题（2005-2006年度）（1）所有矩阵可以构成一个线性空间。
试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。
（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。
（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。
那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。
（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。
Zgymund空间到Bloch空间的微分复合算子
收 稿 日期 ：２０１７—０６—０２ 作者简 介 ：罗志丹 （１９９２一），男 ，湖南人 ，研究生 ，研 究方向 ：函数空 间与算 子理论．Ｅ—ｍａｉｌ：１５ｚｄｌｕｏ＠ｓｔｕ．ｅｄｕ一 基金项 目：国家 自然科 学基金资助项 目（１１３７１２３４）
１ 准 备 知 识
／ ４（Ｄ）表 示 单 位 圆盘 Ｄ＝ｆｚ： ＜ｌ｝上 的解 析 函数 的全 体 ． 设 ＿厂∈／４（０），令 易 ∽ ：ｓｕｐ（１一 ）ｌ， （ｚ）ｌ，若 ）＜∞，则称 厂属于 Ｚｙｇｍｕｎｄ
一
空 间Ｚ，且Ｚ空间在范数Ｉｌｆｌ ＝ｌｆ（０）Ｉ＋Ｉｆ （０）ｌ ｂｚ（．厂）下为 Ｂａｎａｃｈ空间． 设 ，∈圩（Ｄ），令 （厂）＝ｓｕｐ（１一 ）１ｆ （ｚ）ｌ，若 Ｂ∽ ＜∞，则称－厂属于 Ｂｌｏｃｈ空间 ．
因此 ，算 子 ＪＩ。 提 有界的． 必要 性 因为 Ｄ： 是Ｚ一 上的有界算子 ，则存在常数 Ｃ，使得
２０
汕 头 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
第 ３３卷
ｌＩＤ ＣＪＩ ≤ｃｌｆｌ ，Ｖ，∈Ｚ．
取Ｚ 空 间的 三个 函数 （ｚ）＝ｚ，，２（ｚ）＝ １ ｚ２ ，
（ｚ）＝— １ ｚ ３ ，
近五年来 ，关于复合算子的研究 ，着重研究其在各类函数空间上 的有界性和紧性．比 如 与 Ｂｌｏｃｈ空 间相关 的文 献［５—９］；与 Ｂｅｒｇｍａｎ空 间相关 的文献 ［１０—１２］；与 Ｚｙｇｍｕｎｄ空 间 相 关 的文献『１ ３—１４］．
２０１０年 ，李颂 孝 在 文 献 【５】中得 到 经 典 微 分 复合 算 子 Ｄ 从 Ｚｙｇｍｕｎｄ空 间 到 Ｂｌｏｃｈ 空间的有界性和紧性的充要条件．我们讨论二阶微分复合算子 Ｄ ，为推广到一般广义 微 分 复合 算 子 Ｄ 作必 要 准备 ．
仿射奇异线性空间的Erd()s-Ko-Rado定理
仿射奇异线性空间的Erd(?)s-Ko-Rado定理Erd(?)s-Ko-Rado定理是极值集合论中的重要结论之一.该定理刻画的是由9)元集合中6)元子集构成的交族基数的上界以及达到上界时交族的结
构.Erd(?)s-Ko-Rado定理不仅在结合方案,-设计和图论等方面有广泛的应用,而且在有限域上的向量空间,奇异线性空间,仿射空间和双线性型图等数学对象上有自然的推广.在本文中,我们通过研究构作的两个函数的单调性以及结合仿射奇异线性空间的计数公式,分别给出了仿射奇异线性空间中0-交族和-交族(≥1)基数的上界以及达到上界时交族的结构,从而证明了相应的
Erd(?)s-Ko-Rado定理。
近世代数初步（第二版）课后习题答案（石生明）04
第三章 有限域及其应用１畅有限域中的元素的数目．ｐｎ元域的存在及唯一性，它的结构（Ｚｐ上的ｎ维向量空间、是ｘｐｎ－ｘ＝０的全部根、它的全部非零元组成乘法循环群），它的子域．２畅有限域上不可约多项式的性质．Ｆｑ上全部ｎ次不可约多项式皆为ｘｑｎ－ｘ的因子．不可约多项式ｆ（ｘ）（≠ｃｘ）的周期性．本原多项式及用于纠错码．３畅移位寄存器序列（线性递归序列）序列的数学刻画：引入Ｆ２上向量空间Ｖ（Ｆ２）＝｛ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２，…，）｜ａｉ∈Ｆ２｝及Ｖ（Ｆ２）上左移变换Ｌ：Ｌａ＝（ａ１，ａ２，ａ３，…）．对Ｆ２上递归关系ａｎ＋ｋ＝ｃｎ－１ａ（ｎ－１）＋ｋ＋ｃｎ－２ａ（ｎ－２）＋ｋ＋…＋ｃ０ａｋ，ｋ＝０，１，２，…（倡）引入Ｆ２上多项式ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋ｃｎ－１ｘｎ－１＋…＋ｃ０．则Ｖ（Ｆ２）中向量ａ满足（倡）（即ａ是满足（倡）的线性递归序列）的充分必要条件是ｆ（Ｌ）ａ＝０．优美的理论结果：０≠ａ的周期等于ｆ（ｘ）的周期（这时ｆ（ｘ）必须是不可约多项式且ｆ（ｘ）≠ｘ）ｍ序列及其优美性质（参看习题）１畅§３内容是总导引中第一点思想的又一体现．读者自己察看一下，§３中共组织了两个运算系统．一个是Ｆ２上的无限序列作成的线性空间Ｖ（Ｆ２）；一个是引入左移变换Ｌ，组成了Ｖ（Ｆ２）上线性变换的多项式环．正是有这两个运算系统才能将线性递归序列的周期性与Ｆ２上多项式的理论联系起来．２畅§１及§２内容是有限域及其上的多项式理论的一个简短而较全面的介绍．这在一般近世代数教材中少见．而§３内容在这些教材中从未出现过．其中的应用使我们看到这些内容与当代信息技术有密切联系．实际上它们对今后更·８６·大范围的应用来说也是基本的．３畅§３内容是理论与实践相互促进的范例．正是分析移位寄存器序列性质的需要产生了理论的研究，理论的建立和优美的结果又解决了实践中的问题．这充分显示了理论的力量读者试作出一个具体线性递归序列来验证一下§３中关于周期性的结果．§１ 有限域的基本构造 倡１畅验证ｘ２＋１及ｘ２＋ｘ＋２皆为Ｚ３［ｘ］上不可约多项式．写出下列两域Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１） 及 Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）的加法表和乘法表．找出这两个域之间的同构对应． 倡２畅作出Ｚ２［ｘ］，Ｚ３［ｘ］中所有的二次、三次、及两个四次不可约多项式．作出２２，２３，２４个元的域． 倡３畅ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）都是Ｚｐ［ｘ］上ｍ次不可约多项式，则Ｚｐ［ｘ］／（ｆ１（ｘ））碖Ｚｐ［ｘ］／（ｆ２（ｘ））．４畅作出一个３４个元的域，并在其中找出一个３２个元的子域． 倡５畅设ｄ｜ｍ，证明（１）ｐｄ－１｜ｐｍ－１．（２）ｘｐｄ－ｘ｜ｘｐｍ－ｘ． 倡６畅设Ｆｐｎ＝Ｚｐ（α）．问α是乘法群Ｆ倡ｐｎ＝Ｆｐｎ＼｛０｝的生成元吗？１畅ｘ２＋１及ｘ２＋ｘ＋２在Ｚ３上皆无根，故它们在Ｚ３［ｘ］中不可约．Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１） 及 Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）都是域．我们略去它们的加法表和乘法表，只证明它们同构．Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）＝Ｚ３［珔ｘ］，其中珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１））．珔ｘ满足Ｚ３上ｘ２＋１＝０．而·９６·Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）＝Ｚ３［珕ｘ］其中珕ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋ｘ＋２））．珕ｘ满足Ｚ３上ｘ２＋ｘ＋２＝０．我们要找出Ｚ３［珕ｘ］中的元素α，满足方程ｘ２＋１＝０．实际上由０＝珕ｘ２＋珕ｘ＋２＝＝珕ｘ２＋珕ｘ＋１＝＋１＝＝珕ｘ２＋４珕ｘ＋４＝＋１＝＝（珕ｘ＋２＝）２＋１＝（在Ｚ３中４＝＝１＝）．取α＝珕ｘ＋２＝就适合α２＋１＝＝０．由此［Ｚ３（α）：Ｚ３］＝２．再由Ｚ３（α）彻Ｚ３［珕ｘ］及［Ｚ３［珕ｘ］：Ｚ３］＝２，知Ｚ３（α）＝Ｚ３［珕ｘ］．现作映射Ｚ３［ｘ］φＺ３（α）＝Ｚ３［珕ｘ］＝Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）ｐ（ｘ）ｐ（α）这是满同态，且Ｋｅｒφ＝（（ｘ２＋１））．由同态基本定理得同构Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）Ｚ３（α）ｐ（珔ｘ）ｐ（α）．其中珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１））．２畅Ｚ２［ｘ］中不可约多项式如下：一次的：ｘ，ｘ＋１，二次的：ｘ２＋ｘ＋１，三次的：ｘ３＋ｘ２＋１，ｘ３＋ｘ＋１，四次的：ｘ４＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ３＋１，ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１．Ｚ３［ｘ］中不可约多项式如下：一次的：ｘ，ｘ＋１，ｘ＋２，二次的：ｘ２＋１，ｘ２＋ｘ＋２，ｘ２＋２ｘ＋２，三次的：ｘ３＋２ｘ＋１，ｘ３＋２ｘ＋２，ｘ３＋ｘ２＋２，ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋２，ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ３＋２ｘ２＋１，ｘ３＋２ｘ２＋ｘ＋１，ｘ３＋２ｘ２＋２ｘ＋２，四次的：ｘ４＋２ｘ３＋２，ｘ４＋ｘ３＋２，ｘ４＋ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ２＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ４＋ｘ３＋２ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ２＋２ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ＋２，ｘ４＋ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ２＋２，ｘ４＋２ｘ＋２，ｘ４＋ｘ２＋２，ｘ４＋ｘ２＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ２＋２ｘ＋１．找寻的步骤：（１）列举出Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中所有一次，二次，三次及四次多项式．（２）一次多项式皆不可约．（３）检验Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中哪些二次、三次多项式在Ｚ２（Ｚ３）中没有根，它们是不可约多项式．（４）检验Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中哪些四次多项式在Ｚ２（Ｚ３）中没有根，又不是Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中两个二次不可约多项式的乘积，则它们都是不可约多项式．３畅它们都是ｐｍ个元的有限域，由定理３知它们同构．４畅取Ｚ３［ｘ］中的四次不可约多项式ｘ４＋２ｘ２＋２，则Ｚ３［ｘ］／（ｘ４＋２ｘ２＋２）是··０７３４个元的域．令珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ４＋２ｘ２＋２）），则珔ｘ４＋２珔ｘ２＋２＝（珔ｘ２＋１）２＋１＝０．即珔ｘ２＋１是Ｚ３［ｘ］中二次不可约多项式的根．于是有Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）碖Ｚ３（珔ｘ２＋１）彻Ｚ３（珔ｘ）＝Ｚ３［ｘ］／（ｘ４＋２ｘ２＋２）这表明Ｚ３（珔ｘ２＋１）是Ｚ３（珔ｘ）中的３２个元的子域．５畅（１）ｄ｜ｍ，令ｍ＝ｋｄ．则ｐｍ－１＝ｐｋｄ－１＝（ｐｄ）ｋ－１＝（ｐｄ－１）（ｐｄ（ｋ－１）＋ｐｄ（ｋ－２）＋…＋ｐｄ＋１）．故ｐｄ－１｜ｐｍ－１．（２）令ｐｍ－１＝ｌ（ｐｄ－１）．则ｘｐｍ－１－１＝ｘ（ｐｄ－１）ｌ－１＝（ｘｐｄ－１－１）（ｘ（ｐｄ－１）（ｌ－１）＋ｘ（ｐｄ－１）（ｌ－２）＋…＋ｘｐｄ－１＋１）．故ｘｐｄ－１－１｜ｘｐｍ－１－１，即得ｘｐｄ－ｘ｜ｘｐｍ－ｘ．６畅不一定．例Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）＝Ｆ．令珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１）），它满足珔ｘ２＋１＝０，当然有珔ｘ４－１＝０，即珔ｘ４＝１．但Ｆ是３２个元的域，Ｆ倡＝Ｆ＼｛０｝是８阶循环乘法群．故珔ｘ不是Ｆ倡的生成元．§２ 有限域上不可约多项式及其周期，本原多项式及其对纠错码的应用以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 倡１畅验证Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）的非零元乘法群是循环群，找出生成元．ｘ２＋１是否本原多项式？ 倡２畅ｘ３＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ＋１是否Ｚ２［ｘ］中的本原多项式？ 倡３畅证明映射ＦｐｍＦｐｍａａｐ是Ｆｐｍ的自同构且保持Ｆｐｍ中的素子域Ｆｐ中的元素不动．４畅ｆ（ｘ）是Ｚｐ上ｍ次不可约多项式．设α∈Ｆｐｍ是ｆ（ｘ）的一个根，则α，αｐ，…，αｐｍ－１是ｆ（ｘ）的全部ｍ个根．５畅设β∈Ｆｐｍ，β在Ｚｐ上的极小多项式ｆ（ｘ）是ｄ次的，则（１）β属于Ｆｐｍ中的一个ｐｄ个元的子域．（２）ｄ｜ｍ．６畅证明Ｆｐｍ中元素β与βｐ在Ｚｐ上有相同的极小多项式．·１７· 倡７畅设α是Ｚ３［ｘ］中多项式ｘ４＋ｘ＋２的一个根．把Ｚ３（α）中全部元素用１，α，α２，α３的线性组合表示出来．并算出１＋α＋α３１＋α２＋α３＋α＋α２．８畅把ｘ２４－ｘ，ｘ２３－ｘ分解成Ｚ２［ｘ］上不可约多项式的乘积，把ｘ３３－ｘ，ｘ３２－ｘ分解成Ｚ３［ｘ］上不可约多项式的乘积． 倡９畅取Ｚ２［ｘ］中本原多项式ｘ３＋ｘ＋１．在多项式∑６ｉ＝１ａｉｘ７－ｉ＝ａ１ｘ６＋ａ２ｘ５＋…＋ａ６ｘ＋ａ７与向量（ａ１，ａ２，…，ａ７）等同的约定下，作码集合Ｍ＝｛（ｘ３＋ｘ＋１）（ｂ１ｘ３＋ｂ２ｘ２＋ｂ３ｘ＋ｂ４）｜ｂｉ∈Ｚ２｝．（ｉ）取ｆ（ｘ）＝ｘ６＋ｘ４＋ｃ１ｘ２＋ｃ２ｘ＋ｃ３，试决定ｃ１，ｃ２，ｃ３使ｆ（ｘ）属于码集合Ｍ．（ｉｉ）设ｆ１（ｘ）＝ｘ６＋ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１及ｆ２［ｘ］＝ｘ６＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１是接受到的向量，并设传输过程中最多错一位，试进行译码．１畅令珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１））．计算珔ｘ＋２的各方幂珔ｘ＋２，（珔ｘ＋２）２＝珔ｘ，（珔ｘ＋２）３＝２珔ｘ＋２，（珔ｘ＋２）４＝２，（珔ｘ＋２）５＝２珔ｘ＋１，（珔ｘ＋２）６＝２珔ｘ，（珔ｘ＋２）７＝珔ｘ＋１，（珔ｘ＋２）８＝１．故珔ｘ＋２生成了非零元素乘法群，它是８阶循环群．珔ｘ只是４阶元，它不是生成元，从而证明ｘ２＋１不是本原多项式．２畅ｘ３＋ｘ＋１的周期是２３－１＝７的因子．它不是ｘ－１的因子，故周期不为１，只能是７，所以它是本原多项式．ｘ４＋ｘ＋１的周期是２４－１＝１５的因子．但ｘ４＋ｘ＋１嘲ｘ－１，ｘ３－１，ｘ５－１．故它的周期只能是１５．因此是本原多项式３畅橙ａ，ｂ∈Ｆｐｍ，有（ａ＋ｂ）ｐ＝ａｐ＋ｂｐ及（ａｂ）ｐ＝ａｐｂｐ故是φ同态．又由第二章§１习题８知（ａ－ｂ）ｐ＝ａｐ－ｂｐ，故这是单射．又上面的映射是有限集Ｆｐｍ中的单射，必是满射．因此是Ｆｐｍ的自同构．由于子域Ｆｐ是ｐ个元的域，由第二章§５习题５，知这映射是Ｆｐ上的恒等变换．４畅设ｆ（ｘ）＝ａｍｘｍ＋ａｍ－１ｘｍ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０，ａｉ∈Ｚｐ．因此ａｐｉ＝ａｉ（第二章§１习题８）．·２７·设ａ∈Ｆｐｍ满足ｆ（ａ）＝０，则ｆ（ａ）ｐ＝（ａｍａｍ＋…＋ａ０）ｐ＝ａｐｍａｍｐ＋…＋ａｐ１ａｐ＋ａｐ０＝ａｍ（ａｐ）ｍ＋…＋ａ１ａｐ＋ａ０＝ｆ（ａｐ）＝０．即ａｐ也是ｆ（ｘ）的根．设ａ，ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｋ中两两不同，ａｐｋ＋１与前面某ａｐｌ相同．ａ１，ａｐ，…，ａｐｋ是ｆ（ｘ）的ｋ个不同的根，故ｋ≤ｍ．又若１≤ｌ≤ｋ．则ａｐｌ＝（ａｐｋ＋１－ｌ）ｐｌ．因ａａｐｌ是Ｆｐｍ的自同构（习题３），上式两端元素的原象应相等，得ａ＝ａｐｋ＋１－ｌ．又ｋ＋１－ｌ≤ｋ，与ａ，ａｐ，…，ａｐｋ中两两不同矛盾．故ｌ＝０，即ａ＝ａｐｋ＋１．令ｇ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ａｐ）…（ｘ－ａｐｋ）＝ｘｋ＋ｂ１ｘｋ－１＋…＋ｂｋ．则ｂ１＝－（ａ＋ａｐ＋…＋ａｐｋ），…，ｂｋ＝（－１）ｋａ·ａｐ…ａｐｋ，ｂｐ１＝（－１）ｐ（ａｐ＋ａｐ２＋…＋ａｐｋ＋１）＝－（ａｐ＋…＋ａｐｋ＋ａ）＝ｂ１，…，ｂｐｋ＝（－１）ｋｐａｐ·ａｐ２…ａｐｋ＋１＝（－１）ｋａｐａｐ２…ａｐｋａ＝ｂｋ．任意ｂｉ＝（－１）ｉ［ａ，ａｐ，…，ａｐｋ中任取ｉ个的乘积之和］，ｂｐｉ＝（（－１）ｉ）ｐ［ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｋ＋１中任取ｉ个的乘积之和］＝（－１）ｉ［ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｋ，ａ中任取ｉ个的乘积之和］＝ｂｉ．即所有ｂｉ满足ｘｐ－ｘ＝０，故所有ｂｉ属于Ｆｐｍ的子域Ｚｐ之中，因此ｇ（ｘ）是Ｚｐ上的多项式．因ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在Ｆｐｍ［ｘ］中有公因式（ｘ－ａ），故ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在Ｚｐ［ｘ］中不互素，又ｆ（ｘ）是Ｚｐ［ｘ］中不可约多项式，且ｇ（ｘ）的次数≤ｍ．故ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）是相伴的．因而ｋ＝ｍ，且ａ，ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｍ是ｆ（ｘ）的全部ｍ个根．５畅因ｆ（ｘ）是β在Ｚｐ上的极小多项式，由第二章§２定理４，ｆ（ｘ）在Ｚｐ［ｘ］中不可约．由ｆ（β）＝０，有Ｆｐｍ澈Ｚｐ（β）碖Ｚｐ［ｘ］／（ｆ（ｘ））．又ｆ（ｘ）是ｄ次的，故Ｚｐ（β）是ｐｄ个元的子域，再由定理４知ｄ｜ｍ．６畅设Ｆｐｍ的元β在Ｚｐ上的极小多项式为ｆ（ｘ）．由第二章§定理４知它在Ｚｐ［ｘ］中不可约．再由第４题，ｆ（βｐ）＝０．这时ｆ（ｘ）不可约，仍由第二章§定理４，它是βｐ在Ｚｐ上的极小多项式．７畅由§１习题２，知ｘ４＋ｘ＋２是Ｚ３［ｘ］中不可约多项式．α是它的根，故Ｚ３（α）＝｛ａ０＋ａ１α＋ａ２α２＋ａ３α３｜ａ０，ａ１，ａ２，ａ３∈Ｚ３｝．易计算知，α２（α３＋α２＋１）－（α＋１）（α４＋α＋２）＝１，即有α２（α３＋α２＋１）＝１．于是１＋α＋α３１＋α２＋α３＋α＋α２＝α２（１＋α＋α３）＋α＋α２＝α３＋α２＋２α．８畅ｘ２３－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ３＋ｘ＋１）（ｘ３＋ｘ２＋１），ｘ２４－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ２＋ｘ＋１）（ｘ４＋ｘ＋１）（ｘ４＋ｘ３＋１）（ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１），·３７·ｘ３２－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ２＋１）（ｘ２＋ｘ＋２）（ｘ２＋２ｘ＋２），ｘ３３－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ３＋２ｘ＋１）（ｘ３＋２ｘ＋２）（ｘ３＋ｘ２＋２）（ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋２）（ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋１）（ｘ３＋２ｘ２＋１）（ｘ３＋２ｘ２＋ｘ＋１）（ｘ３＋２ｘ２＋２ｘ＋２）．９畅（ｉ）作除法算式，ｘ６＋ｘ４＝（ｘ３＋１）（ｘ３＋ｘ＋１）＋ｘ＋１．取Ｃ１＝０，Ｃ２＝１，Ｃ３＝１，ｆ（ｘ）＝ｘ６＋ｘ４＋ｘ＋１＝（ｘ３＋１）（ｘ３＋ｘ＋１）就属于码集合Ｍ．（ｉｉ）ｆ１（ｘ）＝（ｘ３＋ｘ２＋１）（ｘ３＋ｘ＋１），故传输过程中无错误．ｆ２（ｘ）＝ｘ３（ｘ３＋ｘ＋１）＋ｘ２＋ｘ＋１．作计算：ｘ（ｘ２＋ｘ＋１）＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＝（ｘ３＋ｘ＋１）＋ｘ２＋１≡ｘ２＋１，（ｍｏｄｘ３＋ｘ＋１），ｘ２（ｘ２＋ｘ＋１）＝ｘ（ｘ２＋１）＝（ｘ３＋ｘ＋１）＋１≡１，（ｍｏｄｘ３＋ｘ＋１），即ｘ２（ｘ２＋ｘ＋１）≡１．但ｘ２·ｘ５＝ｘ７≡１，故ｘ５≡ｘ２＋ｘ＋１，（ｍｏｄｘ３＋ｘ＋１）．这即说明ｆ２（ｘ）错在ｘ５项上，原来输出的码字应为ｆ２（ｘ）＋ｘ５＝ｘ６＋ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１．§３ 线性移位寄存器序列以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．１畅Ｆｐ（ｐ为素数）上首项系数为１的ｍ次本原多项式的个数为φ（ｐｍ－１）／ｍ，这里φ是欧拉函数（参见第二章§５）．并算出Ｚ２，Ｚ３上三次、四次本原多项式的数目． 倡２畅作出Ｚ２上两个周期为７的ｍ序列（写出２个周期的长度）． 倡３畅设Ｆ２上序列ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２，…）的周期为ｅ．证明（ｉ）若有ｅ′使ａｋ＋ｅ′＝ａｋ，ｋ＝０，１，２，…，则ｅ｜ｅ′．（ｉｉ）若令Ｓ０＝（ａ０，…，ａｅ－１），Ｓ１＝（ａ１，…，ａｅ），…，Ｓｅ－１＝（ａｅ－１，…，ａ２ｅ－２），则它们两两不同． 倡４畅设ｆ（ｘ）是Ｆ２上ｎ次不可约多项式，则（ｉ）Ｇ（ｆ）是Ｆ２上向量空间．（ｉｉ）对任意ａ∈Ｇ（ｆ）．令Ｓａ＝（ａ０，ａ１，…，ａｎ－１），称为ａ的初始状态向量．则橙ａ，ｂ∈Ｇ（ｆ），ａ＝ｂ当且仅当Ｓａ＝Ｓｂ．（ｉｉｉ）ａ１，…，ａｋ，ａ∈Ｇ（ｆ），ｌ１，…，ｌｋ∈Ｆ２，则··４７ａ＝ｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ当且仅当Ｓａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ．于是ａ１，…，ａｋ线性相关当且仅当Ｓａ１，…，Ｓａｋ线性相关．（ｉｖ）Ｇ（ｆ）是Ｆ２上ｎ维空间．５畅设ｆ（ｘ）是Ｆ２［ｘ］中ｎ次本原多项式，ａ是Ｇ（ｆ）中非零序列，即ｍ序列，则ａ＝ａ０，Ｌａ＝ａ１，…，Ｌ２ｎ－２ａ＝ａ２ｎ－２是Ｇ（ｆ）中全部非零序列．进一步Ｓａ０，Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２全不相同，它们是Ｆ２上ｎ元向量空间中全部非零向量．６畅设ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２，…）是Ｆ２上周期为２ｎ－１的ｍ序列．将ａ的一个周期（ａ０，ａ１，…，ａ２ｎ－２）中的元依次排在圆周上，并使ａ２ｎ－２与ａ０＝ａａｎ－１相邻，则Ｆ２上的任一ｋ元组（１≤ｋ≤ｎ），（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）在上述圆周中出现的次数为２ｎ－ｋ， 若（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）≠（０，０，…，０），２ｎ－ｋ－１， 若（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）＝（０，０，…，０）．（考察有多少个Ｓａｉ的前ｋ个元正是ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）．７畅ａ为Ｆ２上周期为２ｎ－１的ｍ序列，则在ａ的一个周期中１的数目为２ｎ－１，０的数目为２ｎ－１－１．８畅对习题２中作出的Ｆ２上周期为７的两个ｍ序列的一个周期排成圆圈如习题６，数出１，０，０１，１０，１０１，１１０，出现的次数．１畅考虑域Ｆｐｍ，它由Ｆｐ上多项式ｘｐｍ－ｘ的全部根组成．将ｘｐｍ－ｘ分解成Ｆｐ上不可约多项式的乘积．任一Ｆｐ上ｍ次不可约多项式ｆ（ｘ）都是它的因子，·５７·故ｆ（ｘ）在Ｆｐｍ中有ｍ个根．任取一根α，则Ｆｐｍ＝Ｆｐ（α）碖Ｆｐ［ｘ］／（ｆ（ｘ））＝Ｆ（珔ｘ）．其中珔ｘ＝ｘ＋（ｆ（ｘ））．由此知ｆ（ｘ）是Ｆｐ上ｍ次本原多项式当且仅当珔ｘ是ｐｍ－１阶乘法循环群Ｆｐ（珔ｘ）＼｛０｝的生成元当且仅当α是乘法循环群Ｆｐ（α）＼｛０｝＝Ｆｐｍ＼｛０｝的生成元．反之，任取Ｆｐｍ＼｛０｝的任一生成元α，则它必为Ｆｐ上某不可约多项式ｆ（ｘ）的根，显然Ｆｐｍ＝Ｆｐ（α）碖Ｆｐ［ｘ］／（ｆ（ｘ））．比较两边元素的数目，知ｆ（ｘ）是ｍ次不可约多项式．又α是乘法循环群Ｆｐｍ＼｛０｝的生成元，前一段证明了ｆ（ｘ）是Ｆｐ上ｍ次本原多项式．ｍ次本原多项式都是ｘｐｍ－ｘ的因式，后者无重根，故全体ｍ次本原多项式在Ｆｐｍ中的全体根也各不相重．设共有ｋ个ｍ次本原多项式，它们共有ｍｋ个根，前面证明了它们是ｐｍ－１阶乘法循环群Ｆｐｍ＼｛０｝的全部生成元．任取一个生成元α，由第一章§７习题５知αｎ是生成元当且仅当（ｎ，ｐｍ－１）＝１．故Ｆｐｍ＼｛０｝的生成元的数目等于与ｐｍ－１互素的且小于ｐｍ－１的正整数的数目即φ（ｐｍ－１）．由于ｍｋ＝φ（ｐｍ－１），得ｋ＝１ｍφ（ｐｍ－１）．Ｚ２，Ｚ３上３次，４次本原多项式的数目分别是１３φ（２３－１），１４φ（２４－１），１３φ（３３－１），１４φ（３４－１）．用第二章§５中关于φ（ｎ）的公式进行计算，得到１３φ（２３－１）＝１３φ（７）＝２，１４φ（２４－１）＝１４φ（１５）＝１４φ（３）φ（５）＝２，１３φ（３３－１）＝１３φ（２６）＝１３φ（２）φ（１３）＝４，１４φ（３４－１）＝１４φ（８０）＝１４φ（１６）φ（５）＝１４２４１－１２·４＝８．２畅取Ｚ２上的三次本原多项式ｘ３＋ｘ＋１（Ｚ２上的３次不可约多项式都是本原多项式）．作线性递归序列ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２…），其递归关系为ａｋ＋３＝ａｋ＋１＋ａｋ，ｋ＝０，１，２，…．因ｘ３＋ｘ＋１为本原多项式，它的周期，因而上述序列的周期为２３－１＝７．取ａ０＝１，ａ１＝ａ２＝０．可计算出ａ取ａ０＝ａ１＝ａ２＝１，可计算出ａ３畅（ｉ）作除法算式ｅ′＝ｌｅ＋ｅ１，ｅ１＝０或０＜ｅ１＜ｅ．若０＜ｅ１＜ｅ，则对ｋ＝０，·６７·１，２，…有ａｋ＋ｅ１＝ａｋ＋ｅ１＋ｌｅ＝ａｋ＋ｅ′＝ａｋ．即ｅ１也是ａ的周期与ｅ是极小周期矛盾．故ｅ１＝０，ｅ′＝ｌｅ．（ｉｉ）若有０≤ｉ＜ｊ≤ｅ－１，使Ｓｉ＝Ｓｊ．即（ａｉ，ａｉ＋１，…，ａｉ＋ｅ－１）＝（ａｊ，ａｊ＋１，…，ａｊ＋ｅ－１）．当ｉ≥１，由ａｉ＋ｅ－１＝ａｉ－１，ａｊ＋ｅ－１＝ａｊ－１，并把上面两端向量的前ｅ－１个分量都向右移一位，而最后一位分量移至第一位，得到的两向量仍相等，（ａｉ－１，ａｉ，…，ａ（ｉ－１）＋ｅ－１）＝（ａｊ－１，ａｊ，…，ａ（ｊ－１）＋ｅ－１）．即Ｓｉ－１＝Ｓｊ－１．可继续这样做，结果得到Ｓ０＝Ｓｉ－ｉ＝Ｓｊ－ｉ．于是对任意０≤ｔ≤ｅ－１有ａｔ＝ａｔ＋（ｊ－ｉ）．而对任意ｋ＝０，１，２，…，作除法算式，设ｋ＝ｌｅ＋ｓ，０≤ｓ≤ｅ－１．则ａｋ＝ａｋ－ｌｅ＝ａｓ＝ａｓ＋（ｊ－ｉ）＝ａｓ＋ｌｅ＋（ｊ－ｉ）＝ａｋ＋（ｊ－ｉ）．即ａ有周期ｊ－ｉ．而０＜ｊ－ｉ＜ｅ，与ｅ为极小周期矛盾．故任意０≤ｉ＜ｊ≤ｅ－１，必有Ｓｉ≠Ｓｊ．４畅（ｉ）Ｇ（ｆ）＝｛ａ∈Ｖ（Ｆ２）｜ｆ（Ｌ）ａ＝０｝．橙ａｂ∈Ｇ（ｆ），则ｆ（Ｌ）ａｆ（Ｌ）ｂ＝０．于是ｆ（Ｌ）（ａｂ）＝ｆ（Ｌ）ａ＋ｆ（Ｌ）ｂａｂ∈Ｇ（ｆ）．又设ｌ∈Ｆ２，ａＧ（ｆ），ｆ（Ｌ）（ｌａｌ（ｆ（Ｌ）ａｌａ∈Ｇ（ｆ）．因此Ｇ（ｆ）是Ｖ（Ｆ２）的子空间．（ｉｉ）橙ａｂＧ（ｆ），显然ａｂ推出Ｓａ＝Ｓｂ．反之，设Ｓａ＝Ｓｂ．对ｋ＝０，１，２，…，有ａｋ＋ｎ＝ｃｎ－１ａｋ＋（ｎ－１）＋…＋ｃ１ａｋ＋１＋ｃ０ｃｋｂｋ＋ｎ＝ｃｎ－１ｂｋ＋（ｎ－１）＋…＋ｃ１ｂｋ＋１＋ｃ０ｂｋ．由Ｓａ＝Ｓｂ，并在上式中令ｋ＝０，则有ａｎ＝ｂｎ．于是ＳＬａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）＝ＳＬｂ．但ｆ（Ｌ）ＬａＬｆ（Ｌ）ａ＝０，ｆ（Ｌ）Ｌｂ＝Ｌｆ（Ｌ）ｂ同样可证ＳＬ２ａ＝ＳＬ２ｂ．归纳地可证，对任意ｋ有ＳＬｋａ＝ＳＬｋｂ．就得到对任意ｋ，ａｋ＋ｎ＝ｂｋ＋ｎ．加上Ｓａ＝（ａ０，ａ１，…，ａｎ－１）＝（ｂ０，ｂ１，…，ｂｎ－１）＝Ｓｂ，就证明了ａｂ（ｉｉｉ）ａｉ有初始向量Ｓａｉ．于是若ａｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ，则显然Ｓａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ．反之，设Ｓａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ．因ｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ∈Ｇ（ｆ），及Ｓｌ１ａ１＋…＋ｌｋａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ＝Ｓａ．由（ｉｉ）ａｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ．特别地当ａ时就得到ｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ＝０当且仅当ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ＝０．即有ａ１，…，ａｋ线性相关当且仅当Ｓａ１，Ｓａ２，…，Ｓａｋ线性相关．（ｉｖ）考虑到可取Ｆ２上ｎ维向量空间的任一组基作初始向量，由递归关系ｆ（Ｌ）ａ得到Ｇ（ｆ）中的一组序列ａ１，…，ａｎ．而初始向量Ｓａ１，…，Ｓａｎ是Ｆ２上ｎ维向量空间的基．由（ｉｉｉ）ａ１，…，ａｎ也线性无关．橙ａＧ（ｆ），Ｓａ是Ｓａ１，…，Ｓａｎ的线性组合，再由（ｉｉ），ａａ１，…，ａｎ的线性组合，故ａ１，…，ａｎ是Ｇ（ｆ）的一组基，因·７７·此Ｇ（ｆ）是Ｆ２上ｎ维线性空间．５畅ｆ（ｘ）为Ｆ２上ｎ次本原多项式，ａＧ（ｆ）中非零序列，则其周期为２ｎ－１．由习题３（ｉｉ）知Ｓａ０，Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２ 互不相同，它们是Ｆ２上２ｎ－１个非零的ｎ维向量，但Ｆ２上仅有２ｎ－１个非零的ｎ维向量，故Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２ 是Ｆ２上全部非零 是Ｇ（ｆ）中全部非零序列．的ｎ维向量．由习题４（ｉｉ），ａ０，…，ａ２ｎ－２６畅设ａａ０，ａ１，ａ２，…）是周期为２ｎ－１的ｍ序列，由习题５知Ｓａ０，Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２ 是Ｆ２上２ｎ－１个不同的，也即全部非零的ｎ元向量．对１≤ｋ≤ｎ，（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）每次出现必有某Ｓａｉ＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ，…）．因此它出现的次数正是这样的Ｓａｉ的数目．当（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）≠（０，０，…，０）时，后面ｎ－ｋ位分量可任意在Ｆ２上取值，故这样的Ｓａ共２ｎ－ｋ个．若（ｂ１，…，ｂｋ）＝（０，０，…，０），后面ｎ－ｋ位分量除了不能全取零外可任意选取（因Ｓａｉ不能为零向量），故这样的Ｓａｉ共有２ｎ－ｋ－１个．７畅在习题６中取ｋ＝１．当（ｂ１）＝（１）时，它出现的次数是２ｎ－１；当（ｂ１）＝（０）时，它出现的次数是２ｎ－１－１．８畅习题２出现的周期为７的两个ｍ序列各取一个周期，分别为１００１０１１及１１１００１０．排成的圆圈是下列同样的圆圈．可见到１出现４（＝２３－１）次，０出现３（＝２３－１－１）次，０１出现２（＝２３－２）次，１０１出现１（＝２３－３）次，１１０出现１（＝２３－３）次．··８７第四章 有因式分解唯一性的环１畅基本概念：因子、倍元、相伴、不可约元、素元、因式分解及唯一性、公因子、最大公因子．２畅整环成为唯一因分解环的充要条件．不是唯一因式分解环的例子．３畅欧氏环及例子（Ｚ，域上多项式环，高斯整数环）主理想环及其因式分解唯一性．４畅交换环上的多项式环．唯一因式分解环上的多项式环仍是唯一因式分解环．５畅几个典型环类的包含关系欧氏环主理想环唯一因式分解环整环．１畅在其它抽象代数教材中，由于内容的逻辑体系的需要，都是把本章内容作为主要内容放在域论内容之前．占用了大量教学用时，以致只能讲很少域论内容．为了教材内容现代化，为了写入应用内容和为应用所需的理论内容，我们把域论和域论的应用内容放在前面，而把本章内容放在最后．时间不够，可以少讲和不讲．这是教材内容的重要改革．２畅本章§３的内容是为说明一般域甚至交换环上多项式的存在性．多项式是一类运算系统．必须举出实例才能表明对它的讨论有意义．本书的第二章§６及第三章§１的内容都是以一般域上多项式的存在为前提的．３畅§４中定理１的证明中又采用了将整系数作模ｐ剩余类的方法．这个证明比以前教科书（包括本书第一版）中的证明有所简化．４畅内容要点中第５点中的包含关系是严格的真包含关系，要能用例子说明此关系．·９７·§１ 整环的因式分解以下习题中打倡者为必作题，其余是选作题． 倡１畅试说明整环中的零元，可逆元不能是不可约元的乘积． 倡２畅Ｒ是整环，则它的素元是不可约元． 倡３畅Ｒ是整环，则ａ∈Ｒ是素元当且仅当主理想（ａ）＝ａＲ是非零素理想（第二章§７习题２）．４畅令整环Ｍ＝｛ａ＋ｂ３ｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝．求出Ｍ的全部可逆元．证明它没有因式分解唯一性（举反例，有Ｍ中非零的不可逆元ａ，它没有分解唯一性）． 倡５畅证明在环Ｚ（－５）中３（２＋５ｉ）和９没有最大公因子．６畅Ｒ为整环．（１）ａ，ｂ∈Ｒ，ａ，ｂ不同时为零，ａ＝ａ１ｄ，ｂ＝ｂ１ｄ，则ｄ是ａ，ｂ的最大公因子当且仅当ａ１，ｂ１互素．（２）把ａ，ｂ两个元素推广到任意ｋ个元素的情形．７畅设Ｍ是形为ｍ２ｋ（ｍ任意整数，ｋ非负整数）的全部有理数的集合，则它是Ｑ的子环．找出Ｍ的全部可逆元和不可约元．８畅Ｒ是唯一因式分解环．ａ，ｂ∈Ｒ是互素的，且ａ｜ｂｃ，则ａ｜ｃ． 倡９畅Ｒ是唯一因式分解环，ｐ为不可约元，则珚Ｒ＝Ｒ／（ｐ）为整环．１畅设在整环Ｒ中有０＝ｐ１ｐ２…ｐｓ，ｐｉ是不可约元，于是ｐ１及ｐｓ都是零因子，与Ｒ是整环矛盾．又设可逆元ｕ＝ｐ１…ｐｓ，ｐｉ是不可约元．并设ｕｖ＝１，则ｐ１ｐ２…ｐｓｖ＝１，得出ｐ１是可逆元，与ｐ１非可逆矛盾．２畅设ｕ是素元，若ｕ可约，则ｕ＝ｖ１ｖ２，ｖ１，ｖ２皆非可逆．于是ｕ｜ｖ１ｖ２，ｕ又是素元，必有ｕ｜ｖ１或ｕ｜ｖ２．若ｕ｜ｖ１，则ｖ１＝ｕｖ，某ｖ∈Ｒ．因此ｕ＝ｖ１ｖ２＝ｕ（ｖｖ２）．Ｒ是整环，ｕ≠０，用消去律得１＝ｖｖ２．与ｖ２非可逆矛盾．同样ｕ｜ｖ２也·０８·有矛盾．故ｕ不可约．３畅设ａＲ是非零素理想，故ａ是非零的非可逆元．对ｂ，ｃ∈Ｒ，ａ｜ｂｃ，则ｂｃ∈ａＲ．故ｂ∈ａＲ或ｃ∈ａＲ，即ａ｜ｂ或ａ｜ｃ，所以ａ是素元．反之，设ａ是素元．ｂ，ｃ∈Ｒ，ｂｃ∈ａＲ．于是ａ｜ｂｃ，有ａ｜ｂ或ａ｜ｃ．即ｂ∈ａＲ或ｃ∈ａＲ．又ａ是非零非可逆元，故ａＲ≠０及ａＲ≠Ｒ，所以ａＲ是非零素理想．４畅设（ａ＋ｂ３ｉ）（ｃ＋ｄ３ｉ）＝１，ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｚ．对两端取复数模平方，得（ａ２＋３ｂ２）（ｃ２＋３ｄ２）＝１．若ｂ≠０或ｄ≠０则３ｂ２≥３或３ｄ２≥３，左端必大于１，不可能，所以ｂ＝０，ｄ＝０，得到ａｃ＝１，ａ＝±１．故ａ＋ｂ３ｉ在Ｍ中可逆当且仅当ｂ＝０，ａ＝±１．４在Ｍ中有两种分解：４＝２·２＝（１＋３ｉ）（１－３ｉ）．下证２，１±３ｉ皆为Ｍ中不可约元，实际上它们的模平方皆为４．令它们中任一个为α，设α＝α１α２，α１，α２皆非可逆．而Ｍ中非可逆元ａ＋ｂ３ｉ，必有ｂ≠０，或ａ≠±１，这时｜ａ＋ｂ３ｉ｜２＝ａ２＋３ｂ２≥３．于是｜α１｜２｜α２｜２≥９．而左端｜α｜２＝４，不能相等．故２，１±３ｉ皆为不可约元，４分解成Ｍ中的不可约元乘积的方式不唯一．５畅要证明不存在９与３（２＋５ｉ）在Ｚ［５ｉ］中的公因子ｄ，使得９与３（２＋５ｉ）的任一公因子皆是ｄ的因子．反设ｄ＝ａ＋ｂ５ｉ，ａ，ｂ∈Ｚ满足上述要求．由于３是９与３（２＋５ｉ）的公因子．故３｜ｄ，即有ｃ，ｅ∈Ｚ使ａ＋ｂ５ｉ＝３（ｃ＋ｅ５ｉ）．于是ａ＝３ｃ，ｂ＝３ｅ．但ｄ｜９，两边取模平方得（３ｃ）２＋５（３ｅ）２｜９２，则有ｃ２＋５ｅ２｜３２．只有ｃ＝±２，ｅ＝±１；ｃ＝±３；ｅ＝０这几种情况适合这条件．故ｃ＋ｅ５ｉ的仅有的可能为±２±５ｉ，±３．即ｄ＝ａ＋ｂ５ｉ的仅有的可能为±６±３５ｉ，±９．若ｄ＝±６±３５ｉ，ｄ｜９，９＝ｄα．取模平方９２＝｜ｄ｜２｜α｜２＝９２｜α｜２．得｜α｜＝１故α＝±１畅９＝±ｄ，这不可能．若ｄ＝±９，ｄ｜３（２＋５ｉ），３（２＋５ｉ）＝ｄα．取模平方，９２＝｜ｄ｜２｜α｜２＝９２｜α｜２．得｜α｜＝１，α＝±１．３（２＋５ｉ）＝±ｄ也不可能．故９，３（２＋５ｉ）在Ｚ［５ｉ］中没有最大公因子．６畅（１）这时ｄ≠０．设ａ１，ｂ１不互素，则有ｄ１非可逆元是它们的公因子．则ｄｄ１是ａ，ｂ的公因子，而ｄ为最大公因子，故ｄｄ１｜ｄ．有ｄ２∈Ｒ，ｄｄ１ｄ２＝ｄ．Ｒ是整环，用乘法消去律得ｄ１ｄ２＝１，即ｄ１是可逆元，矛盾．故ａ１，ｂ１互素．反之，设ａ１，ｂ１互素．又设ｄ１是ａ，ｂ的最大公因子．则ｄ｜ｄ１，有ｄ２∈Ｒ使ｄ１＝ｄｄ２．ｄ１是ａ，ｂ的因子，有ａ２，ｂ２∈Ｒ使ａ＝ｄ１ａ２＝ｄｄ２ａ２＝ｄａ１，及ｂ＝ｄ１ｂ２＝ｄｄ２ｂ２＝ｄｂ１．用消去律ｄ１ａ２＝ａ１，ｄ２ｂ２＝ｂ１．于是ｄ２是ａ１，ｂ１的公因··１８子．但ａ１，ｂ１互素故ｄ２为可逆元．由此知ｄ＝ｄ１（ｄ２）－１也是ａ，ｂ的最大公因子．（２）略．７畅由于Ｍ中的元具有形式ｍ２ｋ，它们的和，差，积仍为这种形式的元，故Ｍ是Ｑ设ｍ２ｋ为Ｍ中可逆元，则有ｎ２ｌ使ｍ２ｋｎ２ｌ＝１．故ｍ必为±２ｔ，ｔ为非负整数．反之，对±２ｔ２ｋ，ｋ，ｔ皆非负整数，则±２ｋ２ｔ属于Ｍ，且±２ｔ２ｋ·±２ｋ２ｔ＝１，故在Ｍ中可逆．因此Ｍ中可逆元集＝±２ｔ２ｋｔ，ｋ皆非负整数．由此易知，Ｍ中非可逆元集＝ｍ２ｋｍ是具有奇素数因子的非负整数．下面证明ｍ２ｋ为Ｍ中不可约元当且仅当ｍ＝±ｐ·２ｔ，其中ｐ为奇素数，ｔ为非负整数．先设ｍ２ｋ，ｍ＝±ｐ·２ｔ，ｐ为奇素数．若ｍ２ｋ＝ｍ１２ｋ１·ｍ２２ｋ２，则ｍ１·ｍ２＝±ｐ·２ｔ１．因此ｍ１，ｍ２中的一个只是２的非负方幂，于是ｍ１２ｋ１·ｍ２２ｋ２中有一个是可逆元．因此ｍ２ｋ是不可约元．再设ｍ２ｋ，ｍ＝ｐ１ｐ２ｍ１，ｐ１，ｐ２皆为奇素数，可以相同，ｍ１为整数．则ｍ２ｋ＝ｐ１２０·ｐ２ｍ１２ｋ，右端是Ｍ中两个非可逆元的乘积．因此ｍ２ｋ为Ｍ中可约元．故若ｍ２ｋ在Ｍ中不可约，必须ｍ＝±ｐ·２ｔ，其中ｐ为奇素数，ｔ非负整数，证毕．８畅设ｂｃ＝ａｄ，将ｂ，ｃ分解成不可约因式的乘积ｂ＝ｐ１…ｐｓ，ｃ＝ｐｓ＋１…ｐｔ．再将ａ，ｄ分解成不可约因式的乘积ａ＝ｑ１…ｑｒ，ｄ＝ｑｒ＋１…ｑｌ．由ｂｃ＝ａｄ，及因式分解唯一性知ｔ＝ｌ，及有１，２，…，ｔ的一个排列ｉ１ｉ２…ｉｔ，使ｐｉｊ与ｑｊ相伴．对１≤ｊ≤ｒ，ｑｊ是ａ的不可约因子，则ｐｉｊ不在ｐ１，…，ｐｓ之中，否则ａ与ｂ有公因子ｐｉｊ，与它们互素矛盾．这样ｐｉ１…ｐｉｒ必出现在ｃ的分解中，它与ａ＝ｑ１…ｑｒ相伴，故ａ｜ｃ．９畅Ｒ为唯一因式分解环，由§１定理１及定义２知它的不可约元ｐ为素元．设珋ｃ，珔ｄ是珚Ｒ的两个非零元，来证珋ｃ珔ｄ≠０，即珚Ｒ是整环．反证法设ｃｄ＝珋ｃ珔ｄ＝０，·２８·则ｐ｜ｃｄ、因ｐ为素元，则或ｐ｜ｃ或ｐ｜ｄ，即或珋ｃ＝０或珔ｄ＝０．矛盾．故ｃｄ≠０，珚Ｒ为整环．§２ 欧氏环，主理想整环以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 倡１畅主理想环的商环是主理想环． 倡２畅Ｒ是主理想环，ａ为Ｒ中不可约元，则（ｉ）（ａ）为极大理想；（ｉｉ）ａ为素元；（ｉｉｉ）每个非０素理想（见第二章§７习题２）是极大理想；（ｉｖ）Ｒ／（ａ）是域．３畅证明Ｍ＝｛ａ＋ｂ２ｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝是欧氏环（仿例１）． 倡４畅ｐ是素数．令Ｒ＝ａｂａ，ｂ∈Ｚ，（ｂ，ｐ）＝１．（ｉ）证明Ｒ是整环；（ｉｉ）求出Ｒ的所有可逆元；（ｉｉｉ）证明Ｒ的所有非可逆元组成Ｒ的唯一极大理想；（ｉｖ）上述极大理想是主理想；（ｖ）求出Ｒ的全部理想． 倡５畅找出高斯整数环Ｚ｛ａ＋ｂｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝的全部可逆元． 倡６畅高斯整数环的元素ａ满足δ（ａ）＝素数，则ａ为不可约元．７畅Ｒ是欧氏环，求证（ｉ）若ε∈Ｒ倡＝Ｒ＼｛０｝，则ε是Ｒ中可逆元当且仅当橙ａ∈Ｒ倡有δ（ε）≤δ（ａ）．（ｉｉ）设ａ∈Ｒ倡，ａ不可逆．若对所有不可逆元ｂ∈Ｒ倡都有δ（ａ）≤δ（ｂ），则ａ是Ｒ中不可约元．８畅Ｒ＝１２ａ＋１２ｂ１９ｉａ，ｂ∈Ｚ，则Ｒ是主理想环但不是欧氏环（参看Ｍｏｔｚｋｉｎ，ＴｈｅＥｕｃｌｉｄｅａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ，Ｂｕｌｌ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．５５．１１４２－１１４６（１９４９）．或参看张勤海著枟抽象代数枠（科学出版社，２００４）中推论２畅４畅１４及命题２畅４畅１６）．９畅Ｒ是主理想环．ｄ是Ｒ中非零元，则Ｒ中只有有限个不同的素理想包含·３８·（ｄ）（提示：（ｄ）炒（ｋ）痴ｋ｜ｄ）．１畅设Ｒ为主理想环，珚Ｒ＝Ｒ／Ｉ为商环．任取一个理想珡Ｎ，令Ｎ＝｛ｒ∈Ｒ｜珋ｒ＝ｒ＋Ｉ∈珡Ｎ｝．易证它是Ｒ的理想并包含Ｉ（参见第二章§４习题８）．Ｒ是主理想环，故有Ｎ＝ａＲ．于是珡Ｎ＝珔ａ珚Ｒ，即珚Ｒ是主理想环．２畅（ｉ）设有（ａ）炒Ｍ炒Ｒ，Ｍ为Ｒ的理想．故有ｂ∈Ｍ使Ｍ＝（ｂ）．ａ∈（ｂ），有ａ＝ｂｒ，ｒ∈Ｒ．因ａ不可约，ｂ，ｒ中必有可逆元，若ｂ可逆，则（ｂ）＝Ｒ；若ｒ可逆，则（ａ）＝（ｂ）．故（ａ）是极大理想．（ｉｉ）主理想环是唯一因式分解环，它的不可约元皆为素元．（ｉｉｉ）设（ｂ）是非零素理想，由§１习题３，ｂ为素元．因而是不可约元．由（ｉ），（ｂ）为极大理想．（ｉｖ）由（ｉ），（ａ）为极大理想，故Ｒ／（ａ）为域．３畅仿例１，令δ：Ｍ倡Ｚ＋（非负整数集）δ（ａ＋ｂ２ｉ）＝ａ２＋２ｂ２．当ａ＋ｂ２ｉ≠０，δ（ａ＋ｂ２ｉ）≥１，具有性质（ｉ）δ（αβ）＝δ（α）δ（β）≥δ（β），橙α，β∈Ｍ倡．（ｉｉ）橙α，β∈Ｍ，β≠０，我们证明有ｑ，ｒ∈Ｒ使得α＝ｑβ＋γ，且γ＝０或δ（γ）＜δ（β）．证明 对α∈Ｍ及β∈Ｍ倡，可写αβ－１＝ａ＋ｂ２ｉ，这几ａ，ｂ∈Ｑ选最接近ａ，ｂ的整数ｋ，ｌ使ａ＝ｋ＋ν，ｂ＝ｌ＋μ，其中｜μ｜≤１２，｜ν｜≤１２．则α＝β［（ｋ＋ν）＋（ｌ＋μ）２ｉ］＝β［ｋ＋ｌ２ｉ］＋β（ν＋μ２ｉ）．令ｑ＝ｋ＋ｌ２ｉ，γ＝β（ν＋μ２ｉ）＝α－βｑ∈Ｍ．则α＝ｑβ＋γ，且若γ≠０，δ（γ）＝｜γ｜２＝｜β｜２｜ν＋μ２ｉ｜２≤｜β｜２１４＋２４＝３４｜β｜２＜δ（β）．故Ｍ＝｛ａ＋ｂ２ｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝是欧氏环．４畅（ｉ）设ａ１ｂ１，ａ２ｂ２∈Ｒ，（ｂｉ，ｐ）＝１，ｉ＝１，２．于是（ｂ１ｂ２，ｐ）＝１，ａ１ａ２ｂ１ｂ２∈Ｒ，ａ１ｂ１±ａ２ｂ２＝ｂ２ａ１±ｂ１ａ２ｂ１ｂ２∈Ｒ．故Ｒ是Ｑ的子环，因而是整环．（ｉｉ）（ｂ，ｐ）＝１．若ａｂ在Ｒ中可逆，存在ｃｄ∈Ｒ使ａｂｃｄ＝１．这时（ｂ，ｐ）＝（ｄ，ｐ）＝１，故（ｂｄ，ｐ）＝１．由ａｃ＝ｂｄ，于是（ａ，ｐ）＝１．·４８·反之，ａｂ∈Ｒ，若（ａ，ｐ）＝１，则ｂａ∈Ｒ，ａｂ·ｂａ＝１．即ａｂ在Ｒ中可逆．故Ｒ中可逆元集＝ａｂａ，ｂ∈Ｚ，（ｂ，ｐ）＝（ａ，ｐ）＝１．（ｉｉｉ）由（ｉｉ）知ａｂ∈Ｒ非可逆当且仅当（ｂ，ｐ）＝１及ｐ｜ａ．令Ｍ＝｛Ｒ中非可逆元｝．橙ａｂ，ｃｄ∈Ｍ，即有ｐ｜ａ，ｐ｜ｃ．ａｂ±ｃｄ＝ｂｃ±ａｄｄｂ，这时（ｄｂ，ｐ）＝１，ｐ｜ｂｃ±ａｄ．故ａｂ±ｃｄ非可逆，属于Ｍ．又橙ａｂ∈Ｍ，ｃｄ∈Ｒ，ｃｄ·ａｂ＝ａｃｄｂ．这时（ｄｂ，ｐ）＝１及ｐ｜ａｃ，故ｃｄ·ａｂ是非可逆元，属于Ｍ．这就证明了Ｍ是Ｒ的理想．设Ｍ１是Ｒ的真理想，则Ｍ１中元皆为Ｒ中的非可逆元，故Ｍ１炒Ｍ，即Ｍ为Ｒ的唯一的极大理想．（ｉｖ）易知Ｍ＝ａｂ（ｂ，ｐ）＝１，ｐ｜ａ＝ｐＲ，故为主理想．（ｖ）设Ｍ１是Ｒ的任一非零理想，Ｍ１炒Ｍ．任意０≠ａｂ∈Ｍ１，（ｂ，ｐ）＝１，ｐ｜ａ．令Ｍ１的全体元ａｂ中使ｐｌ｜ａ的最小的ｌ值为ｋ，ｋ≥１，则Ｍ１彻ｐｋＲ．又设Ｍ１中具有ｐｋ因子的元是ｐｋｃｄ，（ｄ，ｐ）＝（ｃ，ｐ）＝１．则ｐｋ＝ｐｋｃｄ·ｄｃ∈Ｍ１，于是ｐｋＲ彻Ｍ１，即有Ｍ１＝ｐｋＲ．也易知任一ｐｋＲ也是Ｒ的理想．故Ｒ的全部理想是ｐｋＲ，ｋ＝０，１，２，…，及零理想．５畅设ａ＋ｂｉ是Ｚ［ｉ］中可逆元，则有ｃ＋ｄｉ∈Ｚ［ｉ］使（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝１．两边取模平方就得（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）＝１．只能ａ２＋ｂ２＝１，有四个可能ａ＝±１，ｂ＝０；ａ＝０，ｂ＝±１．Ｚ［ｉ］中只有四个可逆元±１，±ｉ．６畅设ａ∈Ｚ［ｉ］，δ（ａ）＝素数．若ａ＝ｂｃ，ｂ，ｃ∈Ｚ［ｉ］．因δ（ａ）＝｜ａ｜２，故δ（ａ）＝δ（ｂ）δ（ｃ）．由于δ（ａ）为素数，δ（ｂ）或δ（ｃ）＝１．由习题５，知ｂ或ｃ为可逆元．故ａ为Ｚ［ｉ］中不可约元．７畅设ε是Ｒ中可逆元，则有εｒ＝１．对ａ∈Ｒ倡，有εｒａ＝ａ，由δ的性质知δ（ａ）≥δ（ε）．反之，对ε∈Ｒ倡，若橙ａ∈Ｒ倡皆有δ（ａ）≥δ（ε）．用欧氏环的定义，对１，ε有ｑ，ｒ∈Ｒ使１＝ｑε＋ｒ，ｒ＝０或δ（ｒ）＜δ（ε）．且若ｒ≠０，则δ（ｒ）＜δ（ε），这与题设矛盾．故ｒ＝０，得１＝ｑε，即ε为可逆元．（ｉｉ）设ａ有题设的性质，若ａ＝ｂｃ，ｂ，ｃ皆非可逆．设有ｑ，ｒ使·５８·ｂ＝ｑａ＋ｒ，ｒ＝０或δ（ｒ）＜δ（ａ）．若ｒ＝０，则ｂ＝ｑａ＝ｑｂｃ．用消去律有１＝ｑｃ与ｃ非可逆矛盾．若ｒ≠０，且非可逆，则δ（ａ）＞δ（ｒ）与题设δ（ａ）≤δ（ｒ）矛盾．故ｒ为可逆元．由ｂ－ｑａ＝ｂ－ｑｂｃ＝ｂ（１－ｑｃ）＝ｒ，可得ｂ为可逆元，与ｂ非可逆矛盾．故ａ为Ｒ的不可约元．８畅不作要求，可参看所列文献．９畅Ｒ为主理想环，若某一素理想包含（ｄ），可设该理想为（ｋ）．设ｄ＝ｐｌ１１ｐｌ２２…ｐｌｓｓ，ｐ１，…，ｐｓ是不相伴的不可约元或素元．（ｋ）是素理想，（ｄ）彻（ｋ），则（ｋ）不为零．由习题３知ｋ为素元，又ｋ｜ｄ，知ｋ与ｐ１，…，ｐｓ之一相伴，故（ｋ）为（ｐｉ）之一，１≤ｉ≤ｓ．§３ 交换环上多项式环以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 倡１畅Ｒ是整环，则Ｒ［ｘ］中可逆元一定是Ｒ中可逆元．２畅设Ｒ是有限域．令Ｒ１＝｛Ｒ到Ｒ的全部映射的集合｝．Ｒ１上有加法和乘法：ｆ１，ｆ２∈Ｒ１，令橙ａ∈Ｒ，（ｆ１＋ｆ２）（ａ）＝ｆ１（ａ）＋ｆ２（ａ），（ｆ１·ｆ２）（ａ）＝ｆ１（ａ）ｆ２（ａ）．易知Ｒ１在这两个运算下成环．其单位元ｅ为：橙ａ∈Ｒ，ｅ（ａ）＝１．对橙ｒ∈Ｒ，作Ｒ１中映射ｆ（ｒ）：ｆ（ｒ）（ａ）＝ｒ，橙ａ∈Ｒ．它们组成Ｒ１的子环，并与Ｒ同构．干脆记成Ｒ，于是Ｒ１是Ｒ的扩环，并将ｆ（ｒ）记成ｒ．令ｕ是Ｒ的恒等映射：ｕ（ａ）＝ａ，橙ａ∈Ｒ．证明ｕ不是Ｒ上不定元． 倡３畅Ｚ是整数环，则ａ＋ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｚ，不是Ｚ上不定元．１畅设ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，在Ｒ［ｘ］中可逆，则有ｇ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］使ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝１．在整环Ｒ［ｘ］中，多项式相乘则次数相加．故必有抄（ｆ（ｘ））＝抄（ｇ（ｘ））＝０．即ｆ（ｘ）＝ａ０，ｇ（ｘ）＝ｂ０，皆为Ｒ中元，且ａ０ｂ０＝１．故ｆ（ｘ）＝ａ０是Ｒ中可逆元．·６８·２畅先证明Ｒ１澈Ｒ０＝｛ｆ（ｒ）｜ｒ∈Ｒ｝是Ｒ１的子环并与Ｒ同构．实际上（ｆ（ｒ１）±ｆ（ｒ２））（ａ）＝（ｒ１±ｒ２）＝ｆ（ｒ１±ｒ２）（ａ），（ｆ（ｒ１）·ｆ（ｒ２））（ａ）＝ｆ（ｒ１）（ａ）ｆ（ｒ２）（ａ）＝ｒ１ｒ２＝ｆ（ｒ１ｒ２）（ａ）．即ｆ（ｒ１）±ｆ（ｒ２）＝ｆ（ｒ１±ｒ２），ｆ（ｒ１）ｆ（ｒ２）＝ｆ（ｒ１ｒ２），Ｒ０对加，减，乘是封闭的，故是Ｒ１的子环．作映射Ｒ０Ｒｆ（ｒ）ｒ它显然环同构．把ｆ（ｒ）干脆与ｒ等同．则Ｒ１是Ｒ的扩环．现设Ｒ＝Ｆｐｎ．橙ａ∈Ｒ满足ａｐｎ－ａ＝０．ｕｐｎ（ａ）＝ａｐｎ，ｕ（ａ）＝ａ，即有（ｕｐｎ－ｕ）（ａ）＝０，橙ａ∈Ｒ．故ｕｐｎ－ｕ＝０，这即说ｕｐｎ，ｕ在Ｒ上线性相关，ｕ不是Ｒ上不定元．３畅令ｕ＝ａ＋ｂｉ，则（ｕ－ａ）２＋ｂ２＝０，ａ，ｂ∈Ｚ．这是ｕ２，ｕ，１在Ｚ上的一个线性关系，故ｕ不是Ｚ上不定元．§４ 唯一因式分解环上的多项式环以下习题中打倡者是必作题，其余为选作题．下面的环Ｒ都是唯一因式分解环． 倡１畅Ｒ［ｘ］的正次数多项式若是不可约元，一定是本原多项式． 倡２畅ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］．ｇ（ｘ）的首项系数为１，则有ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，使ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｑ（ｘ）＋ｒ（ｘ），其中ｒ（ｘ）或者为零或者抄（ｒ（ｘ））＜抄（ｇ（ｘ））． 倡３畅ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，ｃ∈Ｒ是ｆ（ｘ）的一个根，则（ｘ－ｃ）｜ｆ（ｘ）． 倡４畅Ｒ［ｘ］中的ｎ次多项式ｆ（ｘ）在Ｒ中最多有ｎ个不同的根．于是ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋…＋ａ０在Ｒ中若有多于ｎ＋１个根，必是零多项式．１畅设ｆ（ｘ）各系数的最大公因子为ｄ，则ｆ（ｘ）＝ｄｇ（ｘ）．ｇ（ｘ）为正次数必·７８·不可逆．因ｆ（ｘ）不可约，故ｄ是Ｒ［ｘ］中可逆元．由§３习题１，ｄ是Ｒ中可逆元．故ｆ（ｘ）是Ｒ［ｘ］中本原多项式．２畅设ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０，ｇ（ｘ）＝ｘｍ＋ｂｍ－１ｘｍ－１＋…＋ｂ１ｘ＋ｂ０，ｍ≥０．我们对ｎ作归纳法．当ｎ＝０时是显然的．设次数≤ｎ－１时已对．若ｎ＜ｍ，ｆ（ｘ）＝０ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）就是要求的ｒ（ｘ）．若ｎ≥ｍ．作ｆ（ｘ）－ａｎｘｎ－ｍｇ（ｘ），此中两多项式的首项都是ａｎｘｎ，两者相消．这个差多项式若为零，则ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ－ｍｇ（ｘ）＋０，命题已对．若差多项式不为零，其次数已小于ｎ．用归纳假设有ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）使ｆ（ｘ）－ａｎｘｎ－ｍｇ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ），就有ｆ（ｘ）＝（ａｎｘｎ－ｍ＋ｑ（ｘ））ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ），其中ｒ（ｘ）＝０或抄（ｒ（ｘ））＜抄（ｇ（ｘ））．完成了归纳法．３畅用（ｘ－ｃ）去除ｆ（ｘ），由习题２可得ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｃ）ｑ（ｘ）＋ｒ，这时ｒ∈Ｒ．两边用ｃ代入，０＝ｆ（ｃ）＝（ｃ－ｃ）ｑ（ｃ）＋ｒ．故ｒ＝０．即得ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｃ）ｑ（ｘ），（ｘ－ｃ）｜ｆ（ｘ）．４畅这时Ｒ［ｘ］是唯一因式分解环．设ｆ（ｘ）有ｎ＋１个不同的根α１，α２，…，αｎ，αｎ＋１．由习题３，（ｘ－αｉ）｜ｆ（ｘ），ｉ＝１，２，…，ｎ＋１．先设ｆ（ｘ）＝（ｘ－α１）ｑ１（ｘ）．用α２代入得０＝（α２－α１）ｑ１（α２）．因α２≠α１，知ｑ１（α２）＝０．仍由习题３，ｑ１（ｘ）＝（ｘ－α２）ｑ２（ｘ），于是ｆ（ｘ）＝（ｘ－α１）（ｘ－α２）ｑ２（ｘ）．同样α３代入，得ｑ２（α３）＝０．于是ｑ２（ｘ）＝（ｘ－α３）ｑ３（ｘ）．这样可得ｆ（ｘ）＝（ｘ－α１）ｑ１（ｘ）＝（ｘ－α１）（ｘ－α２）ｑ２（ｘ）＝…＝（ｘ－α１）…（ｘ－αｎ）ｑｎ．因ｆ（ｘ）是ｎ次的，这时ｑｎ必为Ｒ中非零元．再用αｎ＋１代入，左端为ｆ（αｎ＋１）等于零，右端（αｎ＋１－α１）…（αｎ＋１－αｎ）ｑｎ≠０，矛盾．故ｆ（ｘ）最多有ｎ个不同的根．因此ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋…＋ａ１ｘ＋ａ０若有ｎ＋１个不同的根，必为零多项式．·８８·。
泛函分析课后习题答案
___ ___ ___
1 n
d ( x, y ) 1 d ( x, y )
t 在 [o, ) 上是单增函数， 1 t
___ d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y , z ) d ( x, y ) 1 d ( x, y ) 1 d ( x, z ) d ( y , z )
1 n
x1 B ，使 d ( x0 , x1 )
1 1 。设 d ( x0 , x1 ) 0, 则易验证 U ( x0 , ) on ，这就 n n
证明了 on 是 开集 显然 n on B 。若 x on 则对每一个 n，有 xn B 使 d ( x , x1 ) ，因 1 n 1 此 xn x(n ) 。因 B 是闭集，必有 x B ，所以 on B 。证毕 n 1 4 设 d（x，y）为空间 X 上的距离，证明 d ( x, y ) 是 X 上的距离 证明 （1）若 d ( x, y ) 0 则 d ( x, y ) 0 ，必有 x=y （2）因 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y, z ) 而 于是 d ( x, y ) =
___
因此 f o (t ) A 由于 A 是开集，必有 0 ，当 f C[a，b]且 d ( f , f 0 ) 时， f A 定义，n=1，2。 。 。 。 。则 d ( f n , f 0 ) | t n t0 | 0(n ) 因此当 | t n t0 | 时， f n A 。 但是 f n (t n ) a | t t0 | | t n t0 | a ，此与 f n A 的必要条件：对 任意
t B ，有 f n (t ) a 矛盾
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泛函分析讲义-黎永锦134部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L. Bers （贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2 设∑=∞≤∈=n i ii i x R x x l 11}||,|){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞=-=1||),(i iiy x y x d ,||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ⊂,1l x o ∈,使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1l 上的两个度量.（2）取111(,,,,0,)n x n n n= 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时()0n ix =,则1n x l ∈且()1(,0)sup |0|0n n inx xρ=-=→,但()111(,0)|0|1nn n in i i d x x∞===-==∑∑.因此(,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.黎永锦-部分习题解答1351.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得=),(z x d ),(21),(y x d z y d =. 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1,.x y x y ⎧=⎨≠⎩当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =,但不存在2z R ∉,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集.1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ⊂.故(,)x U y r x G +⊂+,因而G x r y x U +⊂+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x FF G x G ∈+=+ 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集. 1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,()0n ix =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且lim n n x x →= ,这里112(1,,,,)n x = ,但x M ∉,因此M 不是闭集,所以M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明CC F F )(0=.1.10证明：对于任意0x F ∈,有0(,)U x r F ⊂,故φ=C F r x U ),(,因而C C F x )(∈,从而C C F F )(0⊂.对于任意C C F x )(∈,有()Cx F ∉,因而存在φ=C F r x U ),(,故(,)U x r F ⊂,从而0x F ∈,故0)(F F C C ⊂.所以,0()C CF F ⊂.1.12 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到 ),0[+∞的连续算子.泛函分析讲义-黎永锦1361.12 证明：对于任意,x z X ∈,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}(,)inf{(,)|}(,)(,)d x F d x y y F d x z d y z y F d x z d y z y F d x z d z F =∈≤+∈=+∈=+故(,)(,)(,)d x F d z F d x z -≤类似地,有(,)(,)(,)d z F d x F d z x -≤因此|(,)(,)|(,)d x F d z F d x z -≤所以,0n x x →时,必有0(,)(,)n d x F d x F →,即(,)d x F 是连续函数. 1.14 设),(d X 为度量空间,F 为闭集,试证明存在可列个开集n G ,使n G F =.1.14 证明：由于F 是闭集,因此{|(,)0}F x d x F ==,又因为(,)d x F 是连续的,所以对任意1,{|(,)}n n x d x F <是开集,从而对于开集1{|(,)}n n G x d x F =<,有1{|(,)0}{|(,)1/}n F x d x F x d x F n ∞====< ，所以1n n F G ∞== .1.16 试证明∞l 是完备的度量空间.1.16证明：设{}n x 为 ∞l 的Cauchy 列,则对于任意0ε>,存在 N,使得n N >时有()()(,)sup ||n p n n p n i i d x x x x ε++=-<.故对每个固定的i,有()()||(,1)n p n i i x x n N p ε+-<>>.因此(){}n i x 是Cauchy 列.因而存在i x ,使得()lim n ii n x x →∞=,令()i x x =,则由可知(1)||N i i x x ε+-≤故黎永锦-部分习题解答137(1)||||N i i x x ε+≤+由于(1)1()N N ix x l ++∞=∈,因此存在常数1N M +使得11sup ||N i N x M ++≤<+∞.又由()()||n p n ii x x ε+-<可知||n i i x x ε-<对任意i 及n N ∈成立.故()(,)sup ||n n i i d x x x x ε=-<所以,n x x →,即l ∞是完备的度量空间. 1.18 证明0c 中的有界闭集不一定是紧集.1.18 证明：令{()|||1}i i M x x =≤,则M 是0c 的有界闭集,但M 是不紧集.1.20 设),,1[+∞=X |/1/1|),(y x y x d -=,试证明),(d X 为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证|/1/1|),(y x y x d -=是),(d X 的度量.取X x n ∈,),1[+∞∈=n x n ,则}{n x 为X 的Cauchy 列，但}{n x 没有极限点，因此}{n x 不是收敛列，所以不是完备的.1.22 试证明度量空间),(d X 上的实值函数f 是连续的当且仅当对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.1.22证明: 若度量空间),(d X 上的函数f 是连续的,则明显地,对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.如果对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集,则于任意R ∈21,εε,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121εεεε≥≤=<<x f x x f x X x f x 是开集,对于R 上的开集G ,有G 的构成区间),(n n βα,使得),(n n G βα =,因而)(1G f -是开集,所以f 是连续的.1.24 设R 为实数全体,试在R 上构造算子T ,使得对任意R y x ∈,,y x ≠,都有||||y x Ty Tx -<-,但T 没有不动点.泛函分析讲义-黎永锦1381.24证明：(1) 设R 为实数全体,12:,tan T R R Tx x x π-→=+- 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知22|()()|||||1f x f y x y x y ξξ-=-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x = ,则1tan 2x π-=,因而矛盾.(2) 设),,1[+∞=X 11:,x T X X Tx x +→=+ 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知21|()()|[1]||||(1)f x f y x y x y ξ-=--<-+但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x =,则110x +=,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25 设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足+∞<≤≤<M y x f m y ),('0试证明0),(=y x f 在],[b a 上有唯一的连续解)(x y ϕ=. 提示：定义:],[],[:b a C b a C T →为),(1ϕϕϕx f MT -= 证明T 为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.1.26 设),(d X 为度量空间,T 为X 到X 的算子,若对任意X y x ∈,,y x ≠,都有 ),(),(y x d Ty Tx d <,且T 有不动点,试证明T 的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A 有两个不动点12,x x ,使得1122,A x x A x x ==,则121212(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x =<但这与12x x ≠矛盾,所以A 只有唯一的不动点.黎永锦-部分习题解答1391.27 设),(d X 为度量空间,且X 为紧集,T 为X 到X 的算子,且y x ≠时,有),(),(y x d Ty Tx d <,试证明T 一定有唯一的不动点.证明思路：构造X 上的连续泛函),(),(y x d Ty Tx d <,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在X x ∈0,使得}|)({inf )(0X x x f x f ∈=,0x 就是T 的不动点. 1.28 试构造一个算子22:R R T →,使得T 不是压缩算子,但2T 是压缩算子.1.28证明：定义)0,(),(:221x x x T →,则T 不是压缩算子,但2T )0,0(),(:21→x x 是压缩算子.1.30 设||),(),,1[y x y x d X -=+∞=,x x Tx X X T /13/,:+=→,试证明T 是压缩算子. 1.30证明：由 x x Tx /13/+=,可知|/13//13/|||y y x x Ty Tx +--=-),(32|||131|2y x d y x ≤--=ξ,所以T 是压缩算子.习题二2.2 设X 为赋范线性空间,||||⋅为X 上的范数,定义⎩⎨⎧≠+-==.y x 1||||；y x ,0),(时当时当，y x y x d试证明),(d X 为度量空间,且不存在X 上的范数1||||⋅,使得1||||),(y x y x d -=. 2.2证明：由度量的定义可知是X 上的度量.假设存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-,则对于,K x X λ∈∈,一定有11||||||||||x x λλ=⋅.泛函分析讲义-黎永锦140如果取001,,||||12x X x λ=∈=,则 001000013||||||||1||||||1122x x x λλλ=+=⋅+=+= , 但是1)11(21)1||(||||||||||00100=+=+=x x λλ,因此11||||||||||x x λλ=⋅不成立,所以一定不存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-.2.4设M 是赋范空间X 的线性子空间,若M 是X 的开集,证明M X =.2.4证明：由于M 是线性子空间,因此0M ∈.由M 是开集可知存在(0,){|||||}U x x M εε=<⊂.因而对于任意,0x M x ∈≠,有),0(2εεU x∈,从而M x∈2ε,因为M 是线性子空间,所以x M ∈,即M X =.2.6设X 是赋范线性空间,若λλλλ→∈∈n n n X x x K ,,,,且x x n →,试证明x x n n λλ→.2.6证明：由n x x →可知存在0M >,使得||||x M ≤,故||||||||||||||||||||||||||||||||0n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x M x x λλλλλλλλλλλλ-≤-+-≤-⋅+⋅-≤-+⋅-→所以,n n x x λλ→.2.10 在∞l 中,若M 是∞l 中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M 是∞l 的线性子空间,但M 不是闭的.2.10证明：明显地M 是线性子空间,取112(1,,,,0,0)n n x = ,则n x M ∈ 且0n x x →,但1102(1,,,,0,0)n x M =∉ ,所以M 不是闭的子空间.2.12 设R R f →:,满足)()()(y f x f y x f +=+对任意X y x ∈,成立，若f 在R 上连续,试证明f 是线性的.黎永锦-部分习题解答1412.12证明：由)()()(y f x f y x f +=+可知,)()(x nf nx f =对所有正整数N n ∈都成立.并且)()()(m x mf m x m x m x f x f =+⋅⋅⋅++=,故)(1)(x f mm x f =对所有正整数N m ∈都成立.因此所有正有理数Q q ∈都有)()(x qf qx f =成立,由)()())((x f x f x x f -+=-+和)0()0()0(f f f +=可知0)0(=f 并且)()(x f x f -=-,因而)()(x qf qx f =对所有有理数Q q ∈都有成立.由于f 在R 上连续,因此,对于任意R ∈α,有Q q n ∈,使得α→n q ,从而)()(lim )(lim )(x f x f q x q f x f n n n n αα===∞→∞→,所以f 是线性的.2.14设X 是有限维Banach 空间,n i i x 1}{=为X 的Schauder 基,试证明存在*∈X f i ,使得1)(=i i x f ,且0)(=j i x f ,对j i ≠成立.2.14证明：令{|}i j M span x i j =≠,则M 是 n-1维的闭子空间,且i i x M ∉,由Hahn Banach -定理可知存在*,||||1i g X x ∈=,使得()(,)i i i i g x d x M =,且()0g x =对任意i x M ∈成立,令(,)ii i g i d x M f = ,则*i f X ∈,且()1,()0i i i j f x f x ==,对任意i j≠成立.2.16设X 是赋范空间,M 为X 的闭线性子空间,M X x \0∈,试证明存在*∈X f ,使得),(1||||,1)(00M x d f x f ==,且0)(=x f ,对所有M x ∈成立.2.16证明： 由M 是闭线性子空间,M X x \0∈因此,因此0(,)0d x M >存在*,||||1g X g ∈=,使得00()(,)g x d x M =,且()0g x =对于任意x M ∈成立.令0(,)gd x M f =,则00||||10(,)(,)()1,||||g d x M d x M f x f ===,且()0f x =对任意x M ∈成立.2.18设X 是严格凸空间,试证明对任意,0,0,,≠≠∈y x X y x 且||||||||||||y x y x +=+时,有0>λ 使得x y λ=.2.18证明：假设存在00,x y ,使得0000||||||||||||x y x y +=+,但00x y λ≠,对任意0λ>成泛函分析讲义-黎永锦142立,则0000||||||||xy x y ≠,故有0000000000||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1x x y yx y x x y y ++⋅+⋅<因而0000||||||||||||1x yx y ++< 但这与0000||||||||||||x y x y +=+矛盾,所以||||||||||||y x y x +=+时,有x y λ=对某个0λ>成立.2.20试证明1l 和∞l 都不是严格凸的赋范线性空间. 2.20证明：在1l 中,取1111(,0,,0,0,,0),(0,,0,,0,,0)2222x y == ,则||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但||||2x y +=,因而1l 不是严格凸的.类似的,在∞l 中,取(1,0,1,0,0,,0),(1,1,0,,0)x y == ,则 ||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但 ||||2x y +=,所以l ∞不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.2.22证明：令{()|N 0}i i i X x x R i N x =∈>=存在某个，使得时，有,定义1||||||()||||i i i x x x ∞===∑,则(,||||)X ⋅是赋范空间,取12(0,0,,0,,0,0,,0)n n x = ,则1211||||nni i x∞∞===∑∑,因此1ni x∞=∑绝对收敛,但级数1ni x∞=∑不收敛.2.24 设是X 赋范线性空间,,,X x x n ∈x x n →,试证明对任意*∈X f ,有)||||()||||(x xf x x f n n →. 2.24证明：由x x n →可知, ||||||||x x n →,因而,||||||||x xx x n n →,所以, ≤-|)||||()||||(|x x f x x f n n 0||||||||||||||||→-x xx x f n n . 2.26在]1,0[C 中,]},[),()(|)({b a C x b x a x t x M ∈==,试证明M 是]1,0[C 的完备线性子空间.黎永锦-部分习题解答1432.26证明：容易验证M 是]1,0[C 的线性子空间.由于]1,0[C 是完备赋范线性空间,M 是]1,0[C 的闭子空间,因此M 是]1,0[C 的完备线性子空间.2.28 在2R 中,取范数||||||||21x x x +=，}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的线性子空间,对20)1,0(R x ∈=,试求出M y ∈0,使得),(||||000M x d y x =-.2.28证明：由于1||})1,(inf{||}|||inf{||),(100≥=∈-=x M y y x M x d ,并对于M y ∈=)0,0(0,有1||)1,0(||||||00==-y x ,所以1),(0=M x d ,且),(||||000M x d y x =-.习题三3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i i i∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T .3.2证明： 由T 的定义可知T 是线性算子,且||||31||31||)3(||||||1x x x Tx i i i =≤=∑∞=, 因此13||||T ≤,从而T 是线性有界算子.取0(1,0,,0)x = ,则01x l ∈,且0||||1x =,故01||||||||3T Tx ≥=,所以1||||3T =. 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.4证明：由于||||||||sup ||||supsup 111T x Txx Tx Tx x x x =≤≤≠<<,因此Tx T x 1||||sup ||||<≥.对于任意10n >,由||||sup ||||||||sup ||||||||sup||||1||||0||||0||||Tx x xT x Tx T x x x =≠≠===可知,有||||1n x =,使得1||||||||n n Tx T ≥-,故111||(1)||(1)(||||)n n n n T x T -≥--,因而111||||1sup ||||||(1)||(1)(||||)n n n n x Tx T x T <≥-≥--对任意n 成立泛函分析讲义-黎永锦144从而||||1||||sup ||||x T Tx <≤,所以||||sup ||||1||||Tx T x <=3.6 设X 是赋范空间,X x ∈α,若对任意*f X ∈,有+∞<|)(|sup ααx f ,试证明+∞<||||sup ααx .3.6 证明：定义*:,()()T X K T f f x ααα→=,则T α是*X 到K 的线性有界算子,且对于任意*f X ∈,有sup |()|sup |()|T f f x ααα=<+∞因为任意赋范空间X 的共轭空间 *X 都是完备的,因此由一致有界原理,有sup ||||T α<+∞.由αT 的定义可知||)(||sup |)(||sup ||||1||||1||||αααx f f T T f f ====故||||||||T x αα=,所以,sup ||||x α<+∞.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.证明思路：明显地,只需证明),(Y X L 是Banach 空间时,Y 是Banach 空间.由于}0{≠X ,因此有1||||,00=∈x X x ,故由Hahn-Banach 定理存在1||||=f ,使得1||||)(00==x x f .若Y y n ∈}{是Cauchy 列,定义算子列),(Y X L T n ∈为n n y x f x T )(=,则),(Y X L T n ∈,并且||||||||n m n m y y T T -=-,因而}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,所以存在),(Y X L T ∈,使得T T n →.不难证明0Tx y n →,从而Y 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f .3.8证明： 由于lim ()()n n f x f x →∞=,因此sup{|()|}n f x <∞对任意x 成立,由X 是Banach黎永锦-部分习题解答145空间可知sup{||||}n f M <<∞因而|()|||||||||||||n n f x f x M x ≤⋅<,所以|()|||||f x M x ≤,即f 是X 的线性连续泛函. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT1||||1≤-. 3.10 证明：由||||||||Tx M x ≥可知T 是单射,因而1T -存在,且对于任意y Y ∈,由T 满射可知存在x X ∈,使得y Tx =,容易验证T 是线性算子,故1111||||||||||||||||||||T y T Tx x Tx y --==≤=,所以,1T -连续,且11||||MT-≤.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射. 3.12证明：由0f ≠可知存在00x ≠,使得0()1f x =,故对于X 的开集G 及任意()f G α∈,必有x G ∈,使得()f x α=,由于是G 开集,故有0ε>,使(,)U x G ε⊂,因此对00,||||||x x x λλε+<,有0x x G λ+∈,因而0()f x x G λ+∈,但00()()()f x x f x f x λλαλ+=+=+,故(,)()f G αεαε-+⊂ ,即α为G 的内点,所以()f G 为开集,即f 一定开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.证明思路：先证S 为闭算子,从而S 是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach 定理的推论可泛函分析讲义-黎永锦146知, 当0≠Sx 时,存在1||||,*=∈f X f ,使得||||)(Sx Sx f =,不难进一步证明T 为是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.14证明：若()n y T F ∈,且0n y y →,则存在n x F ∈使得()n n y f x =,由于F 是紧集,因此存在k n x ,使得0k n x x →,且0x F ∈.由0y Tx k n →及T 是闭线性算子可知0y Tx =,所以0()y T F ∈,即)(F T 是闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.证明思路：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列X x n ∈}{,X y x ∈,,当∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必有X x ∈0,使得0Tx y =.由于T T=2,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是闭的,可得)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞→,从而0)(=-x y T .因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知),(X X L T ∈3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T . 3.16证明：由于n T 强收敛于,因此T 对任意x X ∈,有||||0n T x Tx -→,故对于任意*f Y ∈,有|()()||()|||||||||0n n n f T x f Tx f T x Tx f T x Tx -=-≤⋅-→,所以n T 弱收敛于T .黎永锦-部分习题解答147习题四4.2 试证明∞=l l *1.4.2证明：对于任意1x l ∈,有11lim ni ii i n i i x x ex e ∞→∞====∑∑,故对于任意*1f l ∈,有11()lim ()lim ()nni i i i n n i i f x f x e x f e →∞→∞====∑∑由于1111|()||||()|||||||||||||||||n n n niiiiiiii i i i x f e x f e x f e x f ====≤≤⋅⋅=⋅∑∑∑∑因此由1()i x x l =∈可知1||n ii x =∑收敛,从而1()niii x f e =∑绝对收敛,且11|()||()|sup |()|sup |()|||||i i i i i i i f x x f e f e x f e x ∞∞===≤=⋅∑∑令()(())i i y f e α==,则y l ∞∈,且对于任意,都1()i x x l =∈,有1()i i i f x x α∞==∑ 且||||||||f y =.反过来,对于任意 ()i y l α∞=∈,则定义f 为11(),()i iii f x x x x l α∞==∀=∈∑则f 是上的线性连续泛函,且||||sup ||||||i f y α==,所以 ∞=l l *1 4.4 试证明1*l l ≠∞.4.4证明： 用反证法,假设 *1l l ∞=,则由于1l 是可分的,因此是l ∞可分的,但这与1l 不可分矛盾,所以1*l l ≠∞泛函分析讲义-黎永锦1484.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.4.6证明：若()(0)202(),()n n i i x x l x x l =∈=∈,且0n x x →,则()(0)21/21(||)0n i i i x x ∞=-→∑因此,对于任意i 有()(0)()(0)21/21||(||)n n iii i i xxx x ∞=-≤-∑从而()(0)n ii x x →,所以强收敛比按坐标收敛强.4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.证明思路：对于任意的自然数n ,由于X 是无穷维的赋范空间,因此存在n 个线性无关的的X e e e n ∈⋅⋅⋅,,,21,由Hahn-Banach 定理,不难证明存在*21,,,X f f f n ∈⋅⋅⋅,使得都成立对任意并且j i e f e f j i i i ≠==,0)(,1)(,从而只需证明n f f f ,,,21⋅⋅⋅是线性无关的,则n X >)dim(*,所以*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x wn −→−,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n −→−. 4.8证明：由于{}n x 是相对紧的,因此存在子列{}k n x 收敛于y ,但n x 弱收敛于x ,因此对于任意*f X ∈,有()()k n f x f x →.由{}k n x 收敛于y 可知|()()|||||k kn n f x f y f x y -≤⋅-→,从而()()f x f y =,对任意成*f X ∈立.因而x y =.故k n x x →,所以x x n −→−. 4.10设Y X ,为赋范空间,),(Y X L T ∈,若x x w n −→−,试证明Tx Tx wn −→− 4.10证明：对于任意*g Y∈,定义X 上的泛函()()f x g T x =,则由|()||()||||||f x g T x g T x =≤⋅⋅,可知f 是X 上的线性连续泛函,由于n x 弱收敛x ,因黎永锦-部分习题解答149此()()n f x f x →,因而()()n g Tx g Tx →,所以n Tx 弱收敛Tx .4.12 设X 为Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明)()(x f x f n n →.4.12证明：由于n x 弱收敛于x 时,有0M >,使得||||n x M ≤<∞,因此|()()||()()||()()||||||||||()()||||||()()|n n n n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f f x f x f x M f f f x f x -≤-+-≤-⋅+-≤-+-所以,当n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f 时,有()()n n f x f x →.4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1-T 存在且有界,试证明*T 的逆存在且*11*)()(--=T T .4.14证明：由 **11*()()T T T T I --==及 1**1*()()T T TT I --==可知*1()T -存在,并且*11*)()(--=T T .4.16设X 是赋范空间,}{,0n w n x span M x x =−→−,试证明M x ∈0. 4.16证明：反证法,假设0x M ∉,则由于M 是闭子空间,因此0(,)0d x M >,故由Hahn Banach-定理可知存在*f X ∈,使得00()(,)f x d x M =且对于任意 ,()0x M f x ∈=,所以00()0,()(,)0n f x f x d x M ==>,但这与n x 弱收敛于0x 矛盾,因而n x 弱收敛0x 时,一定有0x M ∈.习题五泛函分析讲义-黎永锦1505.2设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且||||||||y f =.5.2证明： 由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤⋅,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||y y x =,则||||||||1,|()||(,)|(,)||||y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =.5.4 设X 是内积空间,X e e n ∈,,1 ,若=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j,0j i ，i试证明n e e ,,1 线性无关.5.4证明：若12,,,n e e e X ∈ ,且=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j ,0j i ，i则对于i K α∈,当10ni ii eα==∑时,有1(,)0ni i i i i e e αα===∑.因此120n ααα==== ,所以12,,,n e e e 线性无关.5.6 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥M 含有非零元素.5.6 证明： 由M 是X 的真子空间,因而对\x X M ∈,存在0x M ⊥∈,使得 00x x y =+,由x M ∉及0x M ∈可知00x x -≠所以0y ≠,且y M ⊥∈,即M ⊥含有非零元.5.8 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥⊥=M M .5.8证明：由于M M⊥⊥⊂,因此只须证MM ⊥⊥⊂.对于任意x M ⊥⊥∈有y M ⊥∈使得0x x y =+,由M M ⊥⊥⊂可知0x M ⊥⊥∈,故0x x M ⊥⊥-∈,因此0y x x M ⊥⊥=-∈,所以y y ⊥,因而0y =,从而MM ⊥⊥⊂.黎永锦-部分习题解答1515.9 设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得),()(y x x f =.5.9 解答:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 5.10 设M 是内积空间X 的非空子集,试证明⊥⊥⊥⊥=M M . 5.10 证明：由()MM ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=可知, M M ⊥⊥⊥⊥⊂.反过来,对任意x M ⊥⊥⊥∈,及y M M⊥⊥∈⊂,可知(,)0x y =,因而x y ⊥对于任意y M ∈成立,故x M ⊥∈因此M M ⊥⊥⊥⊥⊂,所以M M ⊥⊥⊥⊥=.5.12 设X 是Hilbert 空间,M 、N 是X 的闭真空间,N M ⊥,试证明N M +是X 的闭子空间.5.12证明：明显地N M +是X 的线性子空间,因此只须证N M +在X 中是闭的,若,,n n n n x y M N x M y N +∈+∈∈,且n n x y z +→,则由于X 是Hilbert 空间,M 是闭子空间,因此,,z x y x M y M ⊥=+∈∈,故,n n x x M y y M ⊥-∈-∈.因而22222||||||||||||||()||||||0n n n n n n n n x x y y x x y y x y x y x y z -+-=-+-=+-+=+-→,所以,n n x x y y →→,故,,z x y x M y N =+∈∈,即N M +是的X 闭子空间. 5.14 设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意K ∈α,有||||||||y x y x αα-=+.5.14 证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有2222||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+ 且2222||||||||||||||x y x y αα+=+ 因此||||||||y x y x αα-=+.泛函分析讲义-黎永锦152反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++和(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+可知2(,)2(,)0x y y x αα+=令(,)x y α= ,则22|(,)||(,)|0x y x y += 因而(,)0x y =,所以x y ⊥.5.16设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意K∈α,有||||||||x y x ≥+α.5.16证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此 22222||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则 令2(,)||||x y y α=-,由22||||||||0x y x α+-≥及|||||),(|),(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),(),(),(224222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x αααααααα因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.5.17 设}|{N i e i ∈是内积空间X 的正交规范集,试证明黎永锦-部分习题解答153|||||||||),)(,(|1y x e y e x i ii⋅≤∑∞=对任意X y x ∈,成立.5.17证明：由于{|}i e i N ∈是X 的正交规范集,因此对任意,x y X ∈,有222211|(,)|||||,|(,)|||||ii i i x e x y e y ∞∞==≤≤∑∑故21/221/2111|(,)(,)|[|(,)|][|(,)|]||||||||iiiii i i x e y e x e x e x y ∞∞∞===≤=⋅∑∑∑5.18设}|{N i e i ∈为Hilbert 空间的正交规范集,}{i e span M =,试证明M x ∈时,有i i i e e x x ∑∞==1),(.5.18证明：若x M ∈,则由于{}i e 是正交规范集,因此221|(,)|||||ii x e x ∞=≤∑.因为X 是完备的,所以由22||(,)|||(,)|0n p n p iiii ni nx e e x e ++===→∑∑ 可知1(,)i ii x e e ∞=∑是收敛级数,记1(,)iii y x e e ∞==∑,则1(,)((,),)(,)(,)0j i i j j j i x y e x x e e e x e x e ∞=-=-=-=∑故x y M -⊥,由,x y M ∈,可知x y M -∈,因而x y x y -⊥-,所以,0x y -=,即ii iee x x ∑∞==1),(.泛函分析讲义-黎永锦1545.19设}{n x 是Hilbert 空间X 的正交集,试证明1{}ii x ∞=∑弱收敛当且仅当21||||ii x ∞=<∞∑.5.19证明：若1ii x ∞=∑弱收敛,则存在0M >,使得M x ni i≤∑=||||1对任意n 成立,故由{}ix 是正交集可知22211||||||||ii i i x x M ∞∞===≤∑∑,所以21||||i i x ∞=<∞∑.反之,若21||||ii x ∞=<∞∑,则由0||||||||2121→=∑∑++=++=pn n i ipn n i ix x 可知1{}i i x ∞=∑是X 的Cauchy 列,所以1i i x ∞=∑在Hilbert 空间X 中收敛,因而1i i x ∞=∑弱收敛.5.20设}|{∧∈=ααe S 是内积空间X 的正交规范集,则对于任意}|),{(,∧∈∈ααe x X x 中最多只有可列个不为零,且22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α.5.20证明：若Λ是有限集,则明显地,有22|||||),(|x e x i≤∑∧∈α若Λ不是有限集,则对于任意}1),(|{,me x e S N m m ≥=∈αα,只能是有限集,因而'1m m S S ∞== 是可数集,且对任意'\e S S α∈,有(,)0x e α=,故22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α5.21 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若1-T 存在,且),(1X X L T∈-,试证明1*)(-T 存在且*11*)()(--=T T .5.21 证明：由于X 是Hilbert 空间,且),(1X X L T∈-,因此1*()T -存在.对于任意,x y X ∈,有11**1*(,)(,)(,())(,())x y T Tx y Tx T y x T T y ---===黎永锦-部分习题解答155又因为11*1**(,)(,)(,)(,())x y TT x y T x T y x T T y ---===,所以,*1*1**()()T T T T --=,因而*11*)()(--=T T .5.22 设X 是Hilbert 空间,),(,X X L T T n ∈,若T T n →,试证明**T T n →.5.22证明：由***()n n T T T T -=-及*||()||||||n n T T T T -=-,可知n T T →时,有**||||||||0n n T T T T -=-→,因此**T T n →.5.24 若X 是Hilbert 空间,),(,X X L T S ∈是自伴算子,R ∈βα,,试证明T S βα+是自伴算子.5.24证明：由于,S T 是自伴算子,因此*S S = ,且*T T =,所以对于***,,()R S T S T S T αβαβαβαβ∈+=+=+.5.25 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若T 是自伴算子,N n ∈,试证明n T 是自伴算子.5.25证明：由于*T T =,因此***()()()n nnT T T T T T =⋅⋅⋅== ,所以n T 是自伴的.5.26 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈若试证明存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得21iT T T +=,且21*iT T T -=.5.26 证明：令**111222(),()iT T T T T T =+=-,则),(,21X X L T T ∈,且*1212,T T iT T T iT =+=-由于***1111*******11122222()(),[()]()()iii T T T T T T T T T T T T T T =+=+==-=--=-=因此1T 和2T 都是自伴算子.假设存在自伴算子12,(,)S S L X X ∈,使得12T S iS =+,则1212S iS T iT +=+且**12121212()()S iS S iS T iT T iT -=+=+=-,因此1122,S T S T ==.泛函分析讲义-黎永锦156所以,存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得*1212,T T iT T T iT =+=-. 5.27 设X 是Hilbert 空间,T T X X L T T n n →∈),,(,,若n T 是正规算子,试证明T 是正规算子.5.27 证明：由于n T 是正规,因此**n n n T T T T =故************************||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n n T T TT TT T T T T T T TT T T TT T T TT T T TT TT TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T -≤-+-+-≤-+-≤-+-⋅-+-≤⋅-+⋅-+⋅-+⋅**||n T -由n T T →可知**n T T →,所以**||||0T T TT -=即T 是正规算子.5.28 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈,试证明T 是正规算子当且仅当||||||||*Tx x T =对于任意X x ∈成立.5.28 证明：若T 是正规算子,则**T T TT =,因此对于任意x X ∈,有**((),)0T T TT x x -=,故**(,)(,)T Tx x TT x x =,因此**(,)(,)Tx Tx T x T x =,所以*||||||||T x T x =对任意x X ∈成立.反之,若对任意x X ∈有*||||||||T x Tx =,则**(,)(,)Tx Tx T x T x =,故**(,)(,)T Tx x TT x x =.因而**((),)0T T TT x x -=对任意x X ∈成立.所以**0TT T T -=,即是T 正规算子.5.29 设X 是Hilbert 空间, T 是X 到X 的线性算子,若对任意,x y X ∈,有(,)(,)Tx y x Ty =,试证明T 是连续线性算子.5.29 证明：由于()D T X =,因此只须证T 是闭线性算子,若00,n n x x Tx y →→,则对于黎永锦-部分习题解答157任意y X ∈,有000(,)lim(,)lim(,)(,)(,)n n n n y y Tx y x Ty x Ty Tx y →∞→∞====故00(,)(,)y y Tx y =对任意y X ∈成立,因此00Tx y =,因而T 是闭线性算子,所以由闭图象定理可知T 是连续的.学年论文可选的题目学完一门课程,如能对所学内容做些比较系统的整理和思考,对加深该课程的理解和进一步学习都会有很好的帮助.学年论文的写作,可以提高阅读有关文献资料的能力,学会从书本和论文中了解有关信息、得到启发．并可有目的、有计划地搜集相关资料,可以养成独立思考和研究探索的好习惯. 下面的一些题目和思路可供参考：1. 抽象空间的球具有哪些奇怪的性质,在度量空间和赋范空间中,它们的性质有哪些不同,如开球的闭包一定是与开球球心和半径一样的闭球吗？开球有可能是闭集吗？2. 不动点定理的推广和应用,特别是在微分方程中的一些应用.3. 度量空间和赋范空间中,序列的各种收敛性的相互关系.4. 度量空间和赋范空间中,紧、完备、闭、有界等的相互关系.5. 凸集和凸函数的性质.6. 线性连续泛函和可加泛函的性质.7. 一致有界原理的应用.8. 逆算子定理或闭算子定理的应用. 9. Hahn-Banach 定理及其推广和应用. 10. 内积空间中的正交性的推广.11. 平面几何的有关概念和性质在Hilbert 空间的推广.泛函分析讲义-黎永锦12. 数学分析中的Fourier 级数相关概念在内积空间的推广.13. 赋范空间中的级数收敛的判别法.158。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案
，若
y ∈Y
，则存在
x n
∈
spanM
，使
xn
→
y
( ) ( ) 设 x ∈ M ⊥ ，则( y, x)
=
lim
(
x n
,
x
)
=
0
，因此
y
∈
M⊥
⊥
，即Y ⊂
M⊥
⊥
又Y 是 X 中
n→∞
( ) ( ) ( ) 闭子空间，且 M ⊂ Y ，则Y ⊥
⊂ M ⊥ ，从而
M⊥
⊥
⊂
Y⊥
⊥
=
Y ，所以Y =
M⊥
⊥
。
证毕
7
设
{e } n
是
L2 [a, b]
中的规范正交系，说明两元函数列
en
( x)em
(
y)(n, m
=
1, 2, 3L
)是
L2
([a,b]×[a,b])
中的规范正交系，若{e } 完全。则两 n
元函数列 en ( x) em ( y) (n, m = 1, 2, 3,L ) 也是完全的‘
证明
对 任 意 (n, m) 和 (n', m ') ，
2
eλ − eλ‘ =
eλ
2
+
eλ‘ 2 = 2 。
{ } X 是可分的，则存在 X 的可数稠密子集
x n
∞ n=1
因
∧
不可数，则必有某
xN
，及
λ，‘λ ∈
∧
，
λ ≠ λ′ 使
xN − eλ〈
2， 2
xN − eλ’〈
2 2
相应于有限非退化李代数的顶点算子代数表示
（， ） ｚ 表示的以下结果： ０ 顶点代数 （，） 模与ｇ ｚ 一 ０ 的仿射李代数罾的水平为ｆ 的限
制模 是 一致 的 ； 于顶 点算子 代数 的 （ ， ）不 可分 解 模 ， 对 Ｚ ０ 存在 子 模 的合 成 列 ； 给 出 了顶 点算子 代数 （ ， ）的不 可 约模 的结 构及分 类。 Ｚ０
相应 于有 限非 退 化 李 代 数 的顶 点 算 子 代 数 表 示 冰
张 敏 王 书琴
（ 哈尔滨 师范大学 ）
（ 哈尔滨市体育运动学校）
【 摘要】 设ｇ 是有限维非退化李代数， 的极大环面子代数 日在有限维ｇ一 ｇ 模上
的作 用是 可对 角化 的表 示理 论． 此基 础 上 ， 文 论 证 了相 应 于 ｇ的顶 点 算 子代 数 在 本
维尔滨 师范大学 自然科学学报
ＮＡＴ ＲＡＬ Ｓ Ｉ ＮＣ ＯＵＲ Ｕ Ｃ Ｅ ＥＳＪ ＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｎ ＲＭＡＬ ＵＮ Ｖ Ｉ ＮＯ Ｉ ＥＲＳＴ ＩＹ
Ｖ １２ ， ｏ３２ ０ ０．４ Ｎ ． ０ ８
于 Ｈｅｓｎ ｅｇ 数 ， 应 于无扭 Ｋ ｃ—Ｍｏｄ 代数 ｉ ｂｒ代 ｅ 相 ａ ｏｙ
及ｇ 的仿射李代数 罾 的表示 ， 研究相应于 ｇ 的顶点
算子代数 （ （，） Ｙ ，， ） ｚ ，ｖ１６ 表示的结构性质。 ０ ９ 首先 ， 对有限维非退化李代数 ｇ 给出了 ｇ的 ， Ｃ ｓ ｉ算子的概念 ， ａｉ ｒ ｍ 证明了它在 ｇ的不可分解模 上 的作 用是 纯量 ； ｇ的极 大环 面子代 数 日在 ｇ的有 限维模上的作用是可对角化 的； 并且任一有 限维 ｇ～模 都存在子模的合成列
中存在一个向量， 记为 １称为真空向量， ， 如果 】 １ ）＝１ ，， （
一类伽利略共形李代数的poisson结构
一类伽利略共形李代数的poisson结构伽利略共形李代数是一类重要的李代数结构，被广泛应用于物理学，尤其是量子场论和统计力学中。
在这篇文章中，我们讨论了一类伽利略共形李代数的Poisson结构。
先回顾一下伽利略共形李代数的基本构建。
伽利略共形李代数可以看成是伽利略对称群和共形对称群在同一Lie代数下的并。
它由两个部分组成：一个是galilean对称群的李代数，另一个是conformal 对称群的李代数。
伽利略对称群的李代数包括平移、旋转和加速度生成元，它们按照如下的李括号关系组成：$[M_{ij},M_{kl}] = i(\delta_{jk} M_{il} - \delta_{ik} M_{jl} - \delta_{jl} M_{ik} + \delta_{il} M_{jk})$$[P_i,P_j] = [K_i,K_j] = 0$其中$i,j,k,l$表示在3D空间中的坐标方向，$M_{ij}$是旋转生成元，$P_i$是空间平移生成元，$K_i$是空间反平移（即boost）生成元，$D$是时间平移生成元。
共形对称群的李代数由两个部分组成：矢量生成元和特殊的共形生成元。
矢量生成元包括平移$P_\mu$和旋转$L_{\mu\nu}$。
特殊的共形生成元可以分为标量生成元和向量生成元，包括dilatation $D$，特殊共形伸缩$K_\mu$和特殊共形旋转$M_{\mu\nu}$。
共形生成元之间的李括号关系为：$[L_{\mu\nu},P_\rho] = i(\eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu)$$[M_{\mu\nu},L_{\rho\sigma}] = i(\eta_{\mu\rho} L_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\rho} L_{\mu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} L_{\nu\rho}+ \eta_{\nu\sigma} L_{\mu\rho})$$[D,P_\mu] = iP_\mu$其中，$\mu,\nu,\rho,\sigma$表示四个坐标方向，$\eta_{\mu\nu}$是Minkowski度规。
清华大学高等数值分析(李津)所有作业答案合集
20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，111n n Tn ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。
对矩阵A 进行LU 分解，()()()()()1111111L M n M M M n ---=-=∙∙-………… ，其中()1n Tn ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。
()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n Tn ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。
故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∑上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。
由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故11nn Tn ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。
数学证明：1nTi j i ji j ee α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有,000n j jA -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭ 的形式，且有+1,-11,10000=000n j j n j n j AB --+-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而11n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭的形式，因此：1311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T Tk n ik i kk k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑#20130924题目一问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？解：不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：A 记作：()12=,,n A a a a ……， ，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则()()()111111111111111111111,,,0T Th H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪⎪'⎝⎭⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三角化。
有限维非退化可解李代数顶点算子代数模的结构
第36卷第4期哈尔滨商业大学学报（自然科学版）Vol.36No.4 2020年8月Journal of Harbin University of Commerce（Natural Sciences Edition）Aug.3020有限维非退化可解李代数顶点算子代数模的结构范洪霞（哈尔滨商业大学基础科学学院,哈尔滨150022）摘要：李代数是一类重要的非结合代数，它与众多数学分支都有紧密的联系，并且是物理学的重要研究工具.顶Q算子代数是一种在共形场论及相关的物理领域中很重要的一种代数结构.顶Q算子代数在纯数学领域如魔鬼月光中很有用.设g是有限维非退化可解非p零李代数.Fg（（,O）为相应于g的顶Q算子代数，得到了以下结果：甲是相）模当且仅当礦是的g的仿射李代数g的水平为i的应于g的顶q代数（y g（（,o）,y v o限制模；的顶Q算子代数的不可分解模存在子模的合成歹关键词：非退化可解李代数;顶Q算子代数;模；不可分解模；诱导模;模的合成列中图分类号：0152文献标识码:A文章编号：1672-0946（2020）04-0470-05Study on strncturn of modulrs of verten opernton algeSra of finitr-dimensionalnondegenerate solvailr Lie algebraFAN Hong-xia（School of Basic Science,Harbia University of Commerce,Harbia152028,China）Aistract:Lie dlgebc was a kind of concssociative dlgebic,which was closely relaten tymany branches of matiematicc ang it was an importani reseerch tool of physics.Verteropector algelra was an impobani algeSrate staicturc in conformdl fielO tOeoc and relatelfields of ppysics.Verter opedtoc algeSra was usefuf in purefy matOematicef fields soch asMontbdf$111001130；^.Let g bl a1山10-nonneeeneraie solvanfe nopnilpoteni□斑1—ba.In this pdpec,tye following resulis were pmOd：any moOufe foe vertexalgenracoinciaen with the restrictenmoPuie of levei;there existel the composition series ofsuUmoOuOson any infecomposanie vertee opedtor t—ba moOufe.Key wods:googe—eedte solvabie Lie algeba;vertee opedtoe algeba;moOules;inUecomposaniemoOules;ingucee mooe;compositiog series of mooUes顶点算子代数起源于数学中的魔鬼群表示、月光猜想和物理学中的共形场理论•顶点算子是顶点收稿日期：2015-11-02.基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目(15261161)作者简介:范洪霞(1978-)，女，讲师，硕士，研究方向:李代数，顶点算子代数.第4期范洪霞:有限维非退化可解李代数顶点算子代数模的结构-471-算子代数结构中的核心部分，它最早出现在物理学的弦理论中•为了描述弦之间的相互作用,物理学家引入了一种局部算子，即某种顶点算子•在弦理论和共形场论中，弦之间的相互作用是由顶点算子在一个无穷维向量空间上的作用来表示.在某种意义下，顶点算子是场算子的代数描述.R•E-Borcherds⑴首次引入了顶点代数的数学定义，这标志着顶点代数理论的诞生.1998年，Frenkel L，Lepowsky和Meurman「2弓I入了顶点算子代数的概念•至今顶点算子代数理论已有完备公理体系和结构及表示理论.Frenkel I和ZhU6分别构造了许多顶点代数例子.Meurman,Prinic⑷、XU5构造了一些Virasore代数、Heisenberg代数、仿射李代数、格相关的顶点代数的例子.李海生®8等人给出了素特征域上仿射顶点代数的扭模,建立了一些经典代数(如双杨氏代数)同量子顶点代数的自然联系以及探索了三角李代数、仿射李代数、顶点代数的内在联系•姜翠波，林宗柱⑼用范畴的语言对顶点算子代数理论中的一些构造加以解释.李杨[10]素特征域上顶点代数的局部系.程俊芳，楚彦军[11-12]给出了扭的Heisenbera-Virasore顶点算子代数的一个特征.王书琴⑴"5构造了相应于非退化可解李代数的顶点算子代数以及它的一类子代数结构•本文研究相应于非退化可解李代数的顶点算子代数的模的结构性质•并且得到了以下结果：仿射李代数的水平为的限制模与顶点算子代数模一致；的顶点算子代数的不可分解模存在子模的合成列4设g是非退化可解李代数，的顶点代数(V((,0),Y v,1)[15]模与g的仿射李代数模有以下关系：定理51设I是任意复数，则礦是相应于g 的顶点代数(V g((,0),Y v,1)模当且仅当礦是g的仿射李代数g的水平为I的限制模,而且其子模也是相互一的.证明：设礦是相应于g的顶点代数V g((,0)模，那么对任意的a e g,有顶点算子Y w(a,o)=丫a H x~"~l e EndW[[x,,-5]].记a®t"在礦上的n ez作用为a”=a”(n),0作用在W上是纯量l,令(p:t EndW a@"n10(a@")二aw(n),K T p()=l•1w(1)下面证明0是李代数同态•首先将0线性扩张,0诱导出g[[x,o-]]到En/W[[x,o-]]的映.0(a())=0(Y(a0"))_n"15=n e zX0(a®1n e zY w(a,o)X a w(n))n-1ez(2)换位运算可等价表示为,(,)]=】X(a®"))n-,X(b®ne z ne z "m))m"1]=X([a，]®t m+n))n~1x；'"1+X n'"1)=[a,]])))-1§<a, <a,0>)因为(V(Z,0),Y v,1)是顶点代数,对任意a, ]e g由Jacobi等式，有[Y V(a,]i),Y v(],o2)]=2")0)Y v(Y v(a,O0)],i2)先2Y V((Y V(a，O l"))"Y v(a，")+)))]，O2)= X Yv(a”],O2)(!(f)"o绍)縊n!'J))I)2丿令屮:g—》EndV g(,O)a g"n_t=a(n)=a y(n),)_l0是V g(,0)作为g的诱导模的表示0(a(())=a V(()=Y V(a,o)(4)(2)(6)上式给出g[[x,o"]]到EndV g(Z.O)的映射,且[Y(a,o1)，Y(],O2)]=X[a(n),](n)]°r_1°2m"1=rn f o e zX[0(a g"),(n)M(]g")])广12= rn f o e zX0(f a®"n])M(]g")])"n-1°2m"1=rn,n e z0([a()),](1o)])=Y v([a,]]，他))^(8)比较式(6)、(8)有:i=0,°]=[a,]]；C=1,O[]=l<a,O>；；H0,・472・哈尔滨商业大学学报(自然科学版)第36卷1二0.⑻因为(『八)是叫(,0)模，对任意°』e g, Y w(- ,%)满足Jacobi等式[V a，1),(，2)]二30n1“n0(9)将式(8)代入得[丫珍(,1),,1)]Y w(l a,5<a,b>1^3(竺)=旅[a(1),(1)】)(I。
第一类仿射李代数的顶点算子表示
第一类仿射李代数的顶点算子表示
王瑜;李天增
【期刊名称】《内江师范学院学报》
【年(卷),期】2009(24)8
【摘要】利用复半单李代数的根格构造出表示空间,并在上面定义一类新的顶点算子,然后利用它们给出所有第一类仿射李代数的顶点算子表示.
【总页数】4页(P20-23)
【作者】王瑜;李天增
【作者单位】四川理工学院理学院,四川,自贡,643000;四川理工学院理学院,四川,自贡,643000
【正文语种】中文
【中图分类】O152.5
【相关文献】
1.相应于仿射李代数(g)的顶点算子代数V(g)(L,0)的可积性及其空间分解 [J], 戴鑫;王书琴
2.与仿射李代数的顶点算子代数模相关的权的刻画 [J], 王贺平;王书琴
3.仿射李代数的Sl(n,C)顶点算子表示V_Q上的顶点代数结构(英文) [J], 王瑜;李天增
4.李代数sl(2,■)的仿射李代数的顶点算子表示和顶点代数模 [J], 楚彦军;郑驻军
5.仿射李代数■的顶点算子表示V_Q上的顶点代数结构(英文) [J], 楚彦军;程俊芳;郑驻军
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slam十四讲（二）李群李代数
slam⼗四讲（⼆）李群李代数李群群(Group)是⼀种集合加上⼀种运算的代数结构。
我们把集合记作 A,运算记作 ·,G = (A, ·)性质：特殊正交群 SO(n) 也就是所谓的旋转矩阵群,其中 SO(2) 和 SO(3) 最为常见。
特殊欧⽒群 SE(n) 也就是前⾯提到的 n 维欧⽒变换,如 SE(2) 和 SE(3)。
李代数：李代数由⼀个集合 V,⼀个数域 F 和⼀个⼆元运算 [, ] 组成。
如果它们满⾜以下⼏条性质,称 (V, F, [, ]) 为⼀个李代数,记作 g。
性质：so(3):SO(3) 对应的李代数是定义在 R 3上的向量,我们记作φ。
在此定义下,两个向量φ 1 , φ 2 的李括号为:所以so(3) = {φ∈ R 3 , Φ = φ∧∈ R 3×3 .}它与 SO(3) 的关系由指数映射给定：R = exp(φ∧ ).se(3):[ξ1 , ξ2 ] = (ξ1∧ξ2∧ − ξ2∧ξ 1∧ ) .SO(3) 上的指数映射:so(3) 实际上就是由所谓的旋转向量组成的空间,⽽指数映射即罗德⾥格斯公式。
通过它们,我们把so(3) 中任意⼀个向量对应到了⼀个位于 SO(3) 中的旋转矩阵。
反之,如果定义对数映射,我们也能把 SO(3) 中的元素对应到 so(3)SE(3) 上的指数映射:SO(3), SE(3), so(3), se(3) 的对应关系：李代数求导与扰动模型该式告诉我们,当对⼀个旋转矩阵 R 2 (李代数为φ2 )左乘⼀个微⼩旋转矩阵 R 1 (李代数为φ 1 )时,可以近似地看作,在原有的李代数φ 2 上,加上了⼀项 J l (φ2 )−1φ 1 。
同理,第⼆个近似描述了右乘⼀个微⼩位移的情况。
于是,李代数在 BCH近似下,分成了左乘近似和右乘近似两种,在使⽤时我们须加注意,使⽤的是左乘模型还是右乘模型。
假定对某个旋转 R,对应的李代数为φ。
拓扑学尤承业答案
拓扑学尤承业答案【篇一：点集拓扑学】工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。
是数学与应用数学专业的主干课。
点集拓扑学（point set topology），有时也被称为一般拓扑学（general topology），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
g.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年m.-r.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版2第一章集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。
例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
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足 以下条件
’ 一 ） 张成 ， 于 ｒ （ ｍ，１ 对 ≥０ ０ ’∈ｇ， １ 有 ，¨ ｍ ≥ ，
＝ ， １＋ … ｎ ＋ ｍ ｒ ．
ｌ∞ｚ ，， （ ）＝∑ ｎｘ ＝∑∞ （）一 一
即 Ｌｎ （ ）＝∞ ， ｎ∈ ７ 满 足 以下条件 ： 对 ／， Ｖｒｓｒ 代 数关系式 ： ｉ ｏｏ ａ
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第２ ４卷
第 １ 期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
ＮＡＴ ＡＬ Ｓ Ｉ Ｃ Ｓ Ｊ ＵＲ Ｃ ＥＮ Ｅ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ Ｉ ＶＥＲ Ｉ Ｓ ＴＹ
Ｖ １ ４， ｏ１２０ ｏ． Ｎ ． ０ ８ ２
文是 针对相 应 于无 扭仿 射 Ｋ ｃ Ｍｏ ｄ ａ－ ｏ ｙ代数 的顶
（ 中 ∈Ｅ ｄ 是 Ｙ ｖ ）的 其 ｎＶ （， 的系数 ）称 ， Ｙ ，）是 相应 于向量 的顶 点算子． （
对 ｕ ∈ Ｖ满 足 ， ， Ｘ Ｉｖ＝０ 对 充分 大 的 ｎ ｎ ，
即 ｌ ｕ ∈ （ ） ． ， ，） （ ） （ ‘
ｎ
引理 １１ 令 ２ ． 是任意复数 ，是仿射李代数 ， 罾
那 么存 在 唯 一 的 顶 点代 数 结 构 （ （ ， ） Ｙ １ ， ２ ， ，） ０ 其 中 １＝ １∈ Ｃ 是 真空 向量且满 足
［ （ ）Ｌ ｎ ］ ＝ （ Ｌ ， ，（ ） ｎ ， ｎ—ｎ Ｌ ， ）（ ｎ＋ｎ ）＋
对任意 ＥＶ Ｙ １∈ ［ ］ ￣１ （， ， （，） ［ ］ ， ．ｍＹ ｉ
一
１ ＝ Ｖ １１ ＝ １
＿
（ Ｙ ，） 即 （ １仅涉及 的非 负整数幂 ， 常数项是 且
） 称 为生成性质 ． ，
１ 定 义及 主 要命 题
本文符号均与参考文献［ ，］ ２３ 一致． 定 义 １１ 设 是 一个 向量空 间 ， ． 满足 ： 首先 存在一个 ｏ 一 ［ ］ 的线性映射（ ， ］ 称为 顶点 映射 ） 等价 的表示成 一个线 性映射 ： ， Ｙ・ ： （ ， （ ｎ Ｖ ［ ］ ） Ｅ ｄ ）［ ， ］
由 Ｐ Ｗ 定理 ， Ｂ 我们 有
（ ， ）＝ （ ＋） ｓ （） ０ （） （ ＋）
化向 问 由 出阶 ， ：Ｕ ； 量空 （ 权给 化）Ｖ 对
Ｒ Ｅ
∈Ｖ ， ｎ＝ｗ ｙ满 足 ｒ．
ｄｍＶ １＜ ∞ ， ｎ ∈７ ｉ ｆ 对 ／
作 为 一个 一阶化 向量 空 间． 置
１
ｌ ｏ ）＝ａ ｘ ， ， （ （ ）∈ （ ｎ （，） ［ 一］ Ｅ ｄ ２０ ） ［ ］ ，
而顶点代 数构 造 中的顶点 映射如 下给 出 ： Ｙ ０ ’ ｎ ） ‘ （ ，１ｚ （ ‘ （ １ …０ ’ ｎ ） ， ）＝
０
（ 一ｍ） ｍ
、 ０ ｃ
ｃ ∈ Ｃ（ 为 中心赋 值或 的秩 ） 还有 称 ．
最后 ， ｕ ∈ Ｖ 足 Ｊｃｂ 等 式 ： 对 ， 满 ａｏｉ ６ ’ ），ｕ （ 一 ｌ 兰 （
＾０
，
）， ）一 ｌ ，： （ ）＝
：
；￣ Ｘ ０ 】 １ ｕ （ ｌ Ｘ。 ， ， － ）（（
， 。
） ，： 秽 ）
秽 Ｙｖ ） 一 （， ＝∑ｕ 一 ． ｘ
１ ＝１∈ Ｃ （ ， ） ｃ ２０
那 么
Ｖ ：０， ｎ充分小 时 当
Ｖ 带有 一个顶点 代数结构 （ Ｙ １ ， 中存 在 ， ， ）
一
（０ ＝Ｕ （０ ２） ， ２） ，
Ｒ≥ ０
个齐 次向量 ∞ ∈
， ∞为保形 向量 ， 称 如果 满
其 中 （ ， ） ） 由向量 ｏ （ … ２ （是 ０ ㈩ 一ｍ ）
Ｌ ｏ ＝ｎ （） ＝ （ ｒ） 对 ｎ∈ ７ ∈ ｗｙ ， ／， １
相应于仿射李代数 罾的顶点算子代数
（， ） ｚｏ 的可积 性 及 其 空 间分解 水
戴 鑫 王 书 琴
（ 哈尔 滨师范大学 ）
【 摘要】 应用 Ｋ ｃ Ｍ ｏｙ ａ－ ｏｄ 代数表示理 论 中的方法， 研究 了相应于仿射李代数
鲁 的顶点算子代数 （，） ｚ 的一些性质 ， 出了 （，） ０ 给 ｚ 作为罾 的权集 ， 了此权 ０ 模 验证 集在特定条件下关于罾的 Ｗｅｌ ｙ群不变， 并证明了 （，） ｚ 作为罾 ０ 模是可积的， 同时给
出 （ ， ）的根 空间分解、 ｚ０ 关键词 ：顶点算 子代 数 ； 集 ； ｙ 群 ； 权 Ｗｅ ｌ 可积
０ 引 言
顶 点算子代 数概念 抽象 ， 式复杂 ， 形 仅有 的几 类实例 分别是 ： 相应 于 Ｖｒｓｒ ｉ ｏｏ代数 ， 应于非 退 ａ 相 化偶格 ， 相应 于仿 射代 数 的 Ｈ ｉ ｎ ｅｇ代数 和 无 ｅｓ ｂｒ ｅ 扭 仿射 Ｋ ｃ Ｍｏｄ 代数 的顶 点 （ ａ￣ ｏｇ 算子 ）代 数． 本
其次存 在 １∈ Ｖ称 为真 空 向量 ， ， 满足 Ｙ １ ）＝ １ 等号右 端 １ （， （ 是 的恒等 映射 ）
称 为真空性 质．
点算 子代数 （，）利用 Ｋ ｃ Ｍｏｄ 代数 表示 ｚ０ ， ａ— ｏｏ
论中的方法 ， 给出了 （，） ｚ 作为 罾 的权集 ， ０ 模 验 证了在某些特定 的条件下 此权集关 于 吾的 Ｗｅｌ ｙ 群不变 ， 最后证明了 （，） ｚ 作为 罾 ０ 模是可积的．
收稿 日期 ：０７—１ ２０ Ｏ—ｌ １ ・黑龙江省 自然科学基金、 黑龙 江省教育厅科研基金项目
称 Ｖ是一 个顶点代 数 ， 记为 （ ， ，） Ｖ Ｙ１ ．
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２
哈尔 滨 师 范 大 学 自然 科 学 学 报 一阶 ．