轴向拉压01

∝
图2 - 5 伸长
W = K ⋅u
轴向刚度 i) 材料性质 ii) 杆的几何尺寸 ( L and A)
W ⇒ K= u
(单位 N/m) 单位
K 依赖于 依赖于:
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第二章 轴向拉伸和压缩
青海大学建工系
§2.2 用截面法计算拉压杆的内力 横截面上的应力
Fu2 2 2
（d） ）
P1+ Fu1 =0 P1-P2+ Fu2=0 P3
Fu2
x - P3
由整体平衡方程： 由整体平衡方程： P1 - P2 - P3=0 Fu2 = - P3
- P1
（e） ）
图 2-7
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v w z
y u x 图2-29 P
E, ν
d P
L
图2-30
b
•横向收缩 横向收缩
v = ε y ⋅ d = − νε x ⋅ d
w = ε z ⋅ b = − νε x ⋅ b
νP =− Eb
νP =− Ed
是材料的性质. 杨氏模量 (E) 和泊松比 (ν) 是材料的性质 只能由实验来决定. 只能由实验来决定
m
u
图2 - 3
• 建筑师 • 显微镜之父
• 天文学家 • 物理学家
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第二章 轴向拉伸和压缩
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比例极限
A
荷载 (W)
杆 B
杆 A
W
图2 - 4 Hook 发现: 发现 即:
K
u
荷载
弹性行为
伸长 (u)
εx
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§2-5 材料在拉伸和压缩时的力学性质
单向拉伸实验: 单向拉伸实验
试件
拉力计 图2-16
图2-17 铝 杨氏模量 E GPa 低碳钢
图2-18 混凝土 木头 尼纶 橡胶
70
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图2-2 轴向压缩构件
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以下的几个人对材料力学的发展做出了重要贡献: 以下的几个人对材料力学的发展做出了重要贡献 2.2.1) 弹性刚度 (Robert Hooke, 1648) 2.2.2) 材料性质 (Thomas Young, 1810) 2.2.3) 泊松比 (Simon Poisson, 1825) 2.2.4) 虎克定理 (Young & Poisson) 2.2.5) 温度应变 (William Rankine, 1870) 2.2.6) 应变能 (Carlo Castigliano, 1881) 材料的弹性变形是我们这门课的焦点
5250 ⋅ 0.1 −6 −3 = 210 GPa 25 x10 ⋅ 0.1x10
A B 铝 低碳钢
B
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第二章 轴向拉伸和压缩
青海大学建工系
考虑单向拉伸的矩形截面杆: 例: 考虑单向拉伸的矩形截面杆 轴向刚度, 横向变形的表达式. 找出 轴向刚度 轴向 和 横向变形的表达式
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P(σ) σ
D 断裂 fracture C
A B
E
∆l necking (ε) 颈缩
第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢拉伸破坏试验的各阶段
P d l
P
(a)弹性 弹性 (b)强化 强化 图2-20
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P
荷载, 荷载 P=10.5 kN 伸长, 伸长 u=0.2 mm
图2-23
P
25 mm2
B
100 mm
Hale Waihona Puke P荷载, 荷载 P=5.25 kN 伸长, 伸长 u=0.1 mm
图2-24 (a)
P K= u
A B
10500 K= N −3 = 52.5 M / m 0.2x10 5250 K= N −3 = 52.5 M / m 0.1x10
Fu
⇒ Fu = P
第二章 轴向拉伸和压缩
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2.2.2 轴力图 axial force diagram A P1 A P1 A P1 Fu 1 B P2 2
（a） ）
C P3
x 平衡方程 Σx=0 Fu1 = - P1 Fu2 = P2 - P1
1
（b） ）
2 Fu1 P
2
B
（c） ）
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铝 泊松比
低碳钢
混凝土
木头
尼纶
橡胶
0.33
0.3
0.1-0.2
-
0.4
0.45-0.5
泊松比最大不能超过: 0.5 泊松比最大不能超过
此时物体为不可压物体
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§2.3 横截面上的应力
P 图 2-8 P σ P
Fu
P
A 横截面面积
图 2-9 平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线。 平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线。 根据平面假设得知，横截面上各点正应力相等， 根据平面假设得知，横截面上各点正应力相等，即正应力均匀分布于横 截面上，等于常量。 截面上，等于常量。
第二章 轴向拉伸和压缩
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P A
σ
u L
E
弹性阶段 应力 或
图2-11
ε
对单向拉压: 对单向拉压
∝
图2-12 应变 2.2 又称为单向应
⇒ σ = E⋅ε
σ E= ε
E 称为 “杨氏模量；” 或 “弹性模量”.2.2 杨氏模量； 弹性模量” 弹性模量 力状态的虎克定律
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2.2.1 轴力 取一个杆的微元体作为研究对象: 取一个杆的微元体作为研究对象
P L
（a） ）
P u
Fu (法向力 法向力=P) 法向力
P
（b） ） Fu (法向力 法向力=P) 法向力
P
（c） ）
∑F
x
=0
Fu
（d） ） 图2 - 6
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第二章 轴向拉伸和压缩 §2.1 轴向拉压的概念
拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、 拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件 轴线重合的一对力引起的。 轴线重合的一对力引起的。 特点：杆件的长度发生伸长或缩短。 特点：杆件的长度发生伸长或缩短。 拉压实例见图
图2-1 轴向拉伸构件
(c)颈缩 颈缩
(d)断裂 断裂
低碳钢压缩时的应力-应变图 低碳钢压缩时的应力 应变图
名义应力
σ D B A C
Nominal Stress
P σ= A
真应力 True Stress
ε
图2-21
P (t ) σ (t ) = A(t )
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材料力学， 土木2003， 2004年9月， 金培鹏副教授 材料力学， 土木 ， 年 月
铸铁压缩时的应力-应变图 铸铁压缩时的应力 应变图 σ σb
铸铁压缩时的应力-应变图上没有 铸铁压缩时的应力 应变图上没有 屈服、颈缩阶段。 屈服、颈缩阶段。 抗压极限强度是抗拉强度的4~5倍。 倍 抗压极限强度是抗拉强度的
σb
B
在较小的应变下破坏。破坏面与 在较小的应变下破坏。 轴线成45~55度。 轴线成 度 脆性材料抗拉强度差，抗压强度强。 脆性材料抗拉强度差，抗压强度强。
P
L 图2-10 轴向应力, 轴向应力, 轴向应变, 轴向应变,
P
σ
轴向内力(Fu ) = 横截面面积( A)
杆的长度的改变量 (u ) 杆的原长(L )
(单位 N/m2 或 单位 Pascals (Pa)) (无量刚的量 无量刚的量) 无量刚的量
ε=
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通用测试方法: 通用测试方法 拉伸实验 y
P
P L
图2-31 u
x
E=
y
σ x P L = ε x bt u
bx t v 图2-32
P
x
P
εy ν=− εx
or −
εz εx
εy v L = − ν=− εx b u
E, ν
v y u w x z 图2-27 • 轴向刚度 ( X方向 方向): 方向
P L
图2-28 b
d
P
P E ⋅ (bd) K= = u L
升高时: 当 K升高时 升高时 横截面积 杨氏模量 杆长
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210
18.5
12.5
2.8
0.004
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低碳钢拉伸的应力-应变图 低碳钢拉伸的应力 应变图 F 强度极限 σb 屈服应力 σs 弹性极限 比例极限 σP 线性弹性 屈服 弹性 elastic yielding 强化 hardening 图2-19
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泊松比 (Simon Poisson, 1825) 泊松对横向变形做了大量观查并提出了理论.
当杆受到拉伸时, 伴随轴向伸长发生横向收缩 轴向伸长发生 当杆受到拉伸时 伴随轴向伸长发生横向收缩
初始形状 变形后形状
P
P
图2-13
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E, ν
v w z
y u x
P
d P
图2-25 •正应力和正应变 正应力和正应变: 正应力和正应变
L
图2-26
b
σx
•伸长 (X方向 伸长 方向 方向):
P = bd
& εx =
σx
E
=
P Ebd
u = εx ⋅ L
P ⋅L ∴ u= E ⋅ bd
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O 图2-22
ε
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例: 研究下面两个单向拉伸杆. 每个杆的刚度, 材料的杨氏模量. 研究下面两个单向拉伸杆 计算 (a) 每个杆的刚度 (b) 材料的杨氏模量
75 mm2
P
A
100 mm
考虑一个单向拉伸的杆: 考虑一个单向拉伸的杆 v w z y u x
σ
v
x
σ
x
w 图2-14 u
Poisson 发现杆在单向拉伸时 发现杆在单向拉伸时: 横向应变
∝
即
轴向应变
σx
ε y = −νε x & ε z = −νε x
被称做“泊松比” ν 被称做“泊松比”
2.3
εy ,εz
E 0
图2-15
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2.1.1 刚度 (Robert Hooke, 1648) Robert Hooke 是第一个定义 和做关于材料刚度的科学家
他挂了各种不同质量的物体在一个弹簧上, 他挂了各种不同质量的物体在一个弹簧上 测量弹簧的伸长. 测量弹簧的伸长 发现: 发现 “弹簧的伸长与所受外 力成正比.” 力成正比 ” 他是一个: 他是一个
第二章 轴向拉伸和压缩
刚度相等
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(b) 杨氏模量 杨氏模量:
σ P L PL = ⋅ = E= ε A u Au
A
E=
E=
10500 ⋅ 0.1 −6 − 3 = 70 GPa 75 x10 ⋅ 0.2x10
Fu = ∫ σ dA = σ
A
A
σ =
Fu A
2.1
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§2-4 拉压杆的变形 虎克定律
Thomas Young (1810)发展了材料弹性变形理论 尤其是, 他定义了材料常数: 尤其是 他定义了材料常数 杨氏弹性模量