北京市石景山区2021届高三上学期期末考试 数学试题(含答案)

北京市石景山区2021届高三上学期期末考试
数学试题
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． （ 1 ）已知集合{}1,2,3A =，{}1,0,2,3B =-，则A B =
（A ）{}0,1,2
（B ）{}0,2
（C ）{2,3}
（D ）{}1,0,1,2,3-
（ 2 ）复数2(1i)-=
（A ）0
（B ）1
（C ）2i
（D ）2i -
（ 3 ）5(1)x +的展开式中x 的系数为
（A ） 1
（B ）5
（C ）10
（D ）15
（ 4 ）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为
（A ） 1
6
（B ） 13 （C ）
23
（D ） 2
（ 5 ）若抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到y 轴的距离是
（A ） 6 （B ）7 （C ）8 （D ）9
（ 6 ）“πϕ=”是“函数sin()y x ϕ=+为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（ 7 ）直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是
（A ） 相切
（B ）相交
（C ）相离
（D ）不确定
（ 8 ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若124,,a a a 成等比数列，则{}n a 前5项的和为
侧（左）视图
1
1
（A）10（B）15（C）21（D）28
（ 9 ）已知函数
2,0,
()
,0,
x x
f x
x x
⎧
=⎨
-<
⎩
≥
则函数||
()2x
y f x
=-的零点个数是
（A）0（B）1（C）2（D）3
（10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法
画出：如图，在黄金矩形ABCD（
51
AB
BC
-
=）中作正方形ABFE，以F为圆心，
AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．
记圆弧BE，EG，GI的长度分别为,,
l m n，对于以下四个命题：
①l m n
=+
②2m l n
=⋅
③2m l n
=+
④211 m l n =+
其中正确的是
（A）①②（B）①④（C）②③（D）③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）函数()ln f x x =的定义域为__________．
（12）已知平面向量(2,1)=a ，(4,)y =b ，且∥a b ，则实数y =__________．
（13）已知双曲线C 的两个焦点为()()3,0,3,0-，一个顶点是)
，则C 的标准方程
为__________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．
（14）若函数π
()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________．
（15）从4G 到5G 通信，网络速度提升了40倍．其中，香农公式2log (1)S
C W N
=+
是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最 大信息传递率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高 斯噪声功率N 的大小，其中
S
N
叫做信噪比． 根据香农公式，以下说法正确的是__________．（参考数据：lg50.6990≈） ①若不改变信噪比
S
N
，而将信道带宽W 增加一倍，则C 增加一倍； ②若不改变信道带宽W 和信道内信号的平均功率S ，而将高斯噪声功率N 降低 为原来的一半，则C 增加一倍； ③若不改变带宽W ，而将信噪比S
N
从255提升至1023，C 增加了25%； ④若不改变带宽W ，而将信噪比S
N
从999提升至4999，C 大约增加了23.3%．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，
,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==．
（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
在ABC △中，2c =，30C =︒．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （Ⅰ）a 的值； （Ⅱ）ABC △的面积．
条件①：2b ； 条件②：45A =︒；
条件③：b =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
D
B
（18）（本小题14分）
在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50,70）的男生中随机抽取3人进行座谈，
记这3人中对食堂“不满意”的人数为X ，求X 的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概
率．
男生评分结果的频数分布表
a
（19）（本小题15分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e (0,1)D ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论
BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由．
设函数1
()ln ,f x a x a x
=+∈R ．
（Ⅰ）设l 是()y f x =图象的一条切线，求证：当0a =时，l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-在定义域上单调递减，求a 的取值范围．
对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．
（Ⅰ）数列{}n a 为1,1,3,5,7-，数列{}n b 为111
1,,,248--．判断数列{}n a ，{}n b 是否为P 数列， 并说明理由；
（Ⅱ）设数列{}n a 是首项为2的P 数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ）．
求证：当2n ≥时，2n
n S >；
（Ⅲ）设无穷数列{}n a 是首项为a （a >0），公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a 中取出部分
项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为1T ，2T ． 若12T T =．判断{}n a 是否为P 数列，并说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
D
B
C
D
A
B
B
C
A
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
（11）(0,)+∞； （12）2； （13）22
163x y -
=，3； （14）2；（答案不唯一） （15）①③④．
三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）
（本小题13分）
解：（Ⅰ）在四棱锥P ABCD -中，
取PA 的中点E ，连接EB 、EM ， 因为 M 是PD 的中点， 所以 EM ∥AD ，且1
2
EM AD =
.
又因为 底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点， 所以 BN AD ∥，且1
2
BN AD =. 所以 EM ∥•=
BN . 所以 四边形MNBE 是平行四边形.
所以 MN EB ∥. 由于 EB ⊂平面PAB ，
MN ⊄平面PAB ，
所以 MN ∥平面PAB .
N M
P D
A
B C
E
（II ）因为 底面ABCD 是正方形，所以 AB ⊥AD .
又因为 PA ⊥平面ABCD .
所以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴， 如图建立空间直角坐标系.
(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N .
(2,2,2),(2,0,0),PC CD −−→
−−→
=-=-
设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =.
有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩
令1y =，则=1z ， 所以(0,1,1)m =.
(2,0,1)MN =-.
设直线MN 与平面PCD 所成角为θ. 有：sin cos ,MN m θ==
MN m MN m
⋅⋅
. 所以
直线MN 与平面PCD .
（17
）（本小题13分） 选择条件①：2b 解：（Ⅰ）在
ABC △中，
因为2b
=， 所以b =
. 因为2c =,30C =︒.
根据余弦定理：222
cos 2a b c
C ab
+-=
，得22
)4
cos30a +-︒， 整理，得216a =， 由于0a >，
所以 =4a .
（Ⅱ）由（I
）可知，b =
=因为4a =，2c =， 所以222a b c =+.
所以=90A ︒.
因此，ABC △是直角三角形.
所以11
222
S bc ==⨯=.
选择条件②：45A =︒. 解：（Ⅰ）在ABC △中，
因为 45A =︒,30C =︒,=2c .
根据正弦定理：sin sin a c
A C
= ，
所以2sin 2sin 452=
1sin sin 302
c A a C ︒===︒
（Ⅱ）在ABC △中，
因为sin sin()B A C =+.
所以sin sin(3045)=sin30cos45cos30sin 45B =︒+︒︒︒+︒
︒所以1sin 2S ac B
=1=22⨯.
选择条件③：不给分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为
0.005+0.0200.0400.020)101a +++⨯=（， 所以 0.015a =.
（Ⅱ）依题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
0333361(0)20C C P X C ⋅=== ； 1
2333
69
(1)20
C C P X C ⋅===； 2133369(2)20C C P X C ⋅===； 30333
61
(3)20
C C P X C ⋅===. 所以随机变量X 的分布列为：
（Ⅲ）设事件=A “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”.
因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人. 由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.02010=24⨯⨯人.
由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人,
24161
2005
+=.
所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为1()5
P A =
.
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由已知1b =
，c e a ==
， 又222a b c =+，解得2,1a b ==.
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y .
联立2
24(4),1,y k x y x +=⎧⎪
⎨⎪=+⎩
消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，
则216(112)0k ∆=->
，解得k <<
. （*） 则21223241k x x k -+=+，2122644
4
k x x k -=.
若11x =-，则1y =k =与（*）式矛盾，所以11x ≠-.
同理21x ≠-.
所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k .
因为1212121212(4)(4)332111111
AM AN
y y k x k x k k
k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212122
222
2222
3(2)3(2)
22(1)(1)1
323(2)3(242)1422064432363
1
1414k x x k x x k k x x x x x x k k k k k k k k k k k k ++++=+
=+
+++++-+-++=+=+=---++++ 所以AM AN k k =-.
所以BAM ∠=OAN ∠.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当0a =时，1(),0f x x x =>，21()f x x
'=-，
设()f x 图象上任意一点0
1(,)P x x ， 切线l 斜率为02
01
()k f x x '==-. 过点001(,
)P x x 的切线方程为0200
11
()y x x x x -=--. 令0x =，解得0
2
y x =
；令0y =，解得02x x =. 切线与坐标轴围成的三角形面积为00
12
|||2|22S x x =
⋅=.
所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.
（Ⅱ）由题意，函数()g x 的定义域为(0,)+∞.
因为()g x 在(0,)+∞上单调递减，
所以2
1
()10a g x x x '=
--≤在(0,)+∞上恒成立，
即当(0,)x ∈+∞，1
a x x
+≤恒成立，
所以min 1
)a x x
+≤(
因为当(0,)x ∈+∞，1
2x x +≥，当且仅当1x =时取等号.
所以当1x =时，min 1
)2x x
+=(
所以2a ≤.
所以a 的取值范围为(,2]-∞.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）数列{}n a 不是P 数列，数列{}n b 是P 数列. 对于数列{}n a ，11357-+++>，所以数列{}n a 不是P 数列；
对于数列{}n b ，111111
1,1,1224248
-<-+<--+-<，所以数列{}n b 是P 数列.
（Ⅱ）由题意知，1n n a S +>，即1n n n S S S +->，即12n n S S +>.
又因为1120S a ==>， 所以 0n S >. 所以 当2n ≥时，1
2
112
1
2n n n n n n S S S S S S S S ---=⋅⋅⋅
⋅> 命题得证.
（Ⅲ）数列{}n a 不是P 数列.
假设数列{}n a 是P 数列，则2a aq a =>得1q >， 所以数列{}n a 是单调递增数列，且0n a >，*n ∈N . ⑴若数列{}n b 中的元素都在数列{}n c 中，则12T T <； ⑵若数列{}n c 中的元素都在数列{}n b 中，则12T T >；
⑶若数列{}n b 和数列{}n c 有部分公共元素，将数列{}n b 和{}n c 的公共元素去掉得到新的数列{'}n b 和{'}n c ，
不妨设数列{'}n b 和{'}n c 中的最大元素m a 在数列{'}n c 中， 则数列{}n a 的前1m -项和1m m S a -<. 因为0n a >，*n ∈N ，
所以数列{'}n b 中的所有项和小于等于1m S -. 所以数列{'}n b 中的所有项和小于m a . 所以12T T <.
综上⑴⑵⑶知12T T ≠.与已知12T T =矛盾，所以数列{}n a 不是P 数列.。