高中数学 第3章 3.1第1课时 数系的扩充与复数的概念课

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第3章 3.1第1课时 数系的
扩充与复数的概念课时作业 新人教B 版选修2-2
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] ①②④正确，故选C. 2．下列说法正确的是( )
A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B ．a i 是纯虚数
C ．如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0
D ．复数a ＋b i 不是实数 [答案] A
[解析] 两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等．故选A.
3．(2015·沈阳高二检测)已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C
[解析] 本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念．当a
＝b ＝0时，复数为0，是实数，故B 不正确；由(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ≠0，a －b ＝0⇒a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．
4．复数z ＝(m 2
＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或－1 B ．0 C ．1 D ．－1
[答案] D
[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
＋m ＝0，
m ≠0，∴m ＝－1，故选D.
5．复数z ＝a 2
－b 2
＋(a ＋|a |)i (a 、b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±b
[答案] D
[解析] a 2
－b 2
＝0，且a ＋|a |≠0.
6．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π
4(k ∈Z )
B ．2k π＋π
4(k ∈Z )
C ．2k π±π
4(k ∈Z )
D ．
k π2
＋π
4
(k ∈Z ) [答案] B
[解析] 由⎩⎨
⎧
sin2θ－1＝0
2cos θ＋1≠0
得⎩⎪⎨⎪⎧
2θ＝2k π＋π
2θ≠2k π＋π±π
4
(k ∈Z )
∴θ＝2kπ＋π
4
.故选B.
7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2
＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D ．2＋2i
[答案] A
[解析] 3i －2的虚部为3,3i 2
＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，所以选A. 8．若(x 2
－1)＋(x 2
＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2
[答案] A
[解析] 解法一：由x 2
－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2
＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.
解法二：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.
二、填空题
9．满足方程x 2
－2x －3＋(9y 2
－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数是________． [答案] 2
[解析] 由题意，知⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －3＝0，
9y 2
－6y ＋1＝0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3或x ＝－1，y ＝1
3
.
∴(x ，y )表示的点为(3，13)，(－1，1
3
)，共有2个．
10．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的个数是________．
①A ∪B ＝C ；② ∁U A ＝B ；③A ∩∁U B ＝C ；④C ∪B ＝C . [答案] 1
[解析] 只有④正确．
11．已知复数z ＝k 2
－3k ＋(k 2
－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z ＜0，则k ＝________. [答案] 2
[解析] ∵z ＜0，k ∈Z ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k 2
－3k ＜0
k 2
－5k ＋6＝0∴k ＝2.
三、解答题
12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2
＋5m ＋6)＋(m 2
－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解析] 由m 2
＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2
－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3. (1)当m 2
－2m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或－3； (2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －15≠0，
m 2
＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.
(4)当⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －15＝0，m 2
＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.
一、选择题
1．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方根 C ．i 是－1的立方根 D ．i 是方程x 6
－1＝0的根 [答案] B
[解析] ∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵i 3
＝－i≠－1.∴i 不是－1的立方根；∴C 错；
∵i 6
＝i 2
＝－1，∴i 6
－1≠0，故i 不是方程x 6
－1＝0的根，故D 错； ∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根．故选B.
2．(2015·锦州期中)若(m －1)＋(3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或2 C ．0 D ．－1、1、2
[答案] A
[解析] 因为(m －1)＋(3m ＋2)i 是纯虚数，所以m －1＝0且3m ＋2≠0，解得m ＝1. 3．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π4
B ．π4或54π
C ．2k π＋π
4(k ∈Z )
D ．kπ＋π
4
(k ∈Z )
[答案] D
[解析] 由复数相等的条件得cos θ＝sin θ. ∴θ＝kπ＋π
4
(k ∈Z )．故选D.
4．若复数(a 2
－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2
[答案] C
[解析] ①因为a 2
－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a ≠－1且a ≠2. ②当a 2
－a －2＝0，且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1或a ＝2，a ＝0或a ＝2.
∴a ＝2.
综上可知，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C. 二、填空题
5．若x <y ＜0且xy －(x 2
＋y 2
)i ＝2－5i ，则x ＝______，y ＝________. [答案] －2 －1
[解析] 由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧
xy ＝2x 2＋y 2
＝5，
∵x ＜y ＜0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2
y ＝－1.
6．若复数z ＝m ＋(m 2
－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.
[答案] －1
[解析] ∵z <0即⎩⎪⎨⎪⎧
m <0
m 2
－1＝0
，∴m ＝－1.
7．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)且θ∈(0，π)，若z 为实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值是________．
[答案]
π3 π2
[解析] z ∈R 时，1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝12，∵0<θ<π，∴θ＝π
3
；
z 为纯虚数时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin θ－1＝0
1－2cos θ≠0，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝π
2
.
三、解答题
8．求适合方程(x ＋y )2
＋[(x －y )2
－3(x －y )]i ＝9－2i 的实数x 、y 的值． [解析] 由两复数相等的充要条件，得
⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y 2＝9
x －y
2
－3x －y ＝－2
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝－3x －y ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3
x －y ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝－3x －y ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3
x －y ＝1
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1
2y ＝－5
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5
2y ＝1
2
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
y ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1
y ＝－2.
9．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2
)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ－3sin θ)i(λ∈R )．若z 1＝z 2，证明：－9
16
≤λ≤7.
[解析] 由复数相等的条件， 得⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＝2cos θ4－m 2
＝λ－3sin θ
，
∴λ＝4－4cos 2
θ＋3sin θ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ＋382－916，
当sin θ＝－38时，λmin ＝－916；当sin θ＝1时，λmax ＝7.∴－9
16
≤λ≤7.。