2014-2015学年高中数学 2.6.1曲线与方程课时作业 苏教版选修2-1

2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数
解建立如下关系：
(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；
(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．
那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．
2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.
一、填空题
1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．
2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________．
3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．
①y＝x ，y x
＝1； ②y＝x ，y ＝x 2
；
③|y|＝|x|，y ＝x ；
④|y|＝|x|，y 2＝x 2.
4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．
5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．
6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．
7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)
①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0；
②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ；
③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上；
④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上．
二、解答题
9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？
(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？
10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．
能力提升
11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．
12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面． 2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．
3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x ，y)的关系．
§2.6 曲线与方程
2．6.1 曲线与方程
知识梳理
1．(1)曲线C 上点的坐标(x ，y ) (2)曲线C 的方程 方程f (x ，y )＝0的曲线
2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠0
作业设计
1．与l 平行的一条直线
解析 方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．
2．过A 点与圆C 同心的圆
解析 由点B (x ′，y ′)在圆上知f (x ′，y ′)＝0.
由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，
点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．
所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．
3．④
解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x
＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；
④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．
4．必要不充分
解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.
5．2
解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2.
∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.
6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0
解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5
＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.
7．16－8 3 2
8．③
解析 直接法：
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法③.
特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．
9．解(1)如图所示，
过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．
所以|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分．
(2)由方程x＋y－2＝0知，当x＝4时，y＝－2.
故点(4，－2)的坐标是方程x＋y－2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB上．
∴x＋y－2＝0不是线段AB的方程．
10．解①x∈R，y≥0，
②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，
∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．
③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.
∴曲线关于y轴对称．
④当x≥0时，有y＝|x－1|，
此时，若x≥1，则y＝x－1，
若0≤x<1，则y＝1－x.
先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．
11．4π
12．证明(1)
如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．
由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。