河北唐山2019年高三第三次重点考试数学(文)试题

河北唐山2019年高三第三次重点考试数学（文）试题
2018届高三第三次模拟
数学〔文〕试题
说明：
【一】本试卷共4面，包括三道大题，24道小题，共150分，其中〔1〕～〔21〕小题
为必做题，〔22〕～〔24〕小题为选做题。

【二】答题前请认真阅读答题卡上的“考前须知”，按照“考前须知”的规定答题。

【三】做选择题时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如
需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

【四】考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：
样本数据12
,,
n x x x 的标准差
锥体的体积公式
13
v sh
=
s =S 为底面面积，h 为高
其中x 为样本平均数球的表面积、体积公式
2
3
44,3
s R V R
ππ== 柱体的体积公式V sh =其中R 为球的半径
其中S 为底面面积，h 为高
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，有且只
有一项为哪一项符合题目要求的。

1、复数2
43(2)i
i +=
-
〔
〕
A 、i
B 、－i
C 、1
D 、－1
2、全集U=N ，{}2|7100,A x N x x CUA =∈-+≥=
则〔〕
A 、{}2,3,4,5
B 、{}3,4,5
C 、
{}2,3,4
D 、
{}3,4
3、函数
3
1()(2)()
2
x f x x =+-的零点所在的一个区间是〔〕
A 、〔－2，－1〕
B 、〔－1，0〕
C 、〔0，1〕`
D 、〔1，2〕
4、执行右面的程序框图，假设输出的x=2，那么输出k 的值是〔〕 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
5、一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率基本上27
，那么男运动员应抽取
〔〕
A 、12人
B 、14人
C 、16人
D 、18人
6、等差数列{}n a 的前
n 项和为711,21,121n S S S ==已知，那么该数列的公差d=
〔〕
A 、5
B 、4
C 、3
`D 、2
7、设a 、b R ∈，那么“a>1且0<b<1”是“a －b>0且a b
>1”成立的
〔〕
A 、充分面不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分且必要条件
D 、既不充分也不必要条件
8、 六棱柱'''''''ABCDEF A B C D E F -的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长
等
于
底面边长，那么直线''B D 与'EF 所成角的余弦植为
〔〕
A
、
3
B
、
4
C 、14
`D 、34
9、函数
cos()
6
y x ππ=+的一个单调增区间是
〔〕
A 、
21[,]33
-
B 、14[,]33
C 、
15[,]66
- D 、511[,]66
10、A 、B 是椭圆2
2
22
1(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，点P 是该椭圆上与A 、B 不重合的任意一点，设∠PAB=a ，∠PBA=β，那么
〔〕
A 、sin cos a β<
B 、sin cos a β>
C 、sin cos a β=
D 、sin cos a β与的大小不确定
11、动点P 〔x ，y 〕满足
1,
25,3,y x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
点Q 为〔1，－1〕，O 为坐标原点，
||OQ OP OQ λ=⋅，
那么λ的取值范围是
〔〕
A
、
[
B
、
[2
C
、
[,]
22
- D
、
[2
-
12、函数
22(),()1,(()(())[,](0)
f x x
g x og x
f g x g f x a b a b ==<<若与的定义域都为，
值域相同，那么
〔〕
A 、1,4a b ==
B 、1,1a b =≤
C 、1,4a b ≥≤
D 、1,4a b ≥=
【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13、通过点〔3，0〕，离心率为53
的双曲线的标准方程为。

14、
11(),(),()12
x x e f x f m f m e -==-=
+若则。

15、四棱台的正视图和侧视图基本上如下图的等腰梯形，
它的表面积等于 16、设12
112
1,,
,32o o a a a a a a =成等比数列,且，
记
121012
1011
1,,x x a a a y a a a y
=++
+=++
+=则
【三】解答题：本大题共8小题，共70分。

〔17～〔21〕小题为必做题，〔22〕～〔24〕小
题为选做题，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、〔本小题总分值12分〕
如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观看者
找到一个点C ，从C 点能够观看到点A 、B ；找到一个点D ， 从D 点能够观看到点A 、C ：找到一个点E ，从E 点能够观看 到点B 、C 。

并测得以下数据：CD=CE=100m ，∠ACD=90°， ∠ACB=45°，∠BCE=75 °，∠CDA=∠CEB=60°，求A 、B 两点
之间的距离。

18、〔本小题总分值12分〕
金融机构对本市内随机抽取的20家微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行评估，依照得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，金融机构将依照等级对企业提供相应额度的资金支持。

〔1〕在答题卡上．．．．．作出频率分布直方图，并由此可能该市微小企业所获资金支持的均值；
〔2〕金融机构鼓舞得分前2名的两家企业 A 、B 随机收购得分后2名的两家企业a 、b
中的一家，求A 、B 企业选择收购同一家企业的概率。

19、〔本小题总分值12分〕
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，AB=2BC=2CD=2。

〔1〕求证：平面PBC ⊥平面PAB ；
〔2〕假设∠PDC=120°，求四棱锥P —ABCD 的体积。

20、〔本小题总分值12分〕
抛物线2:C y x =在点P 处的切线l 分别交x 轴、y 轴于不同的两点A 、B ，1
2
AM MB
=。

当点P 在C 上移动时，点M 的轨迹为D 。

〔1〕求曲线D 的方程：
〔2〕圆心E 在y 轴上的圆与直线l 相切于点P ，当|PE|=|PA|，求圆的方程。

21、〔本小题总分值12分〕
函数
2(1)()11
x f x nx x -=-
+。

〔1〕判断函数()f x 的单调性；
〔2〕证明：(1)1 2.
1
x nx
x +>+
请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22、〔本小题总分值10分〕选修4—1；几何证明选讲
如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连接DE 。

〔1〕假设BD=6，求线段DE 的长；
〔2〕过点E 作半圆O 的切线，交AC 于点F ， 证明：AF=EF 。

23、〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的
长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )p θθ=+。

〔1〕求C 的直角坐标方程： 〔2〕直线l
：
1,2(12
x l l y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩为参数〕与曲线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于E ，求
||||.EA EB +
24、〔本小题总分值10分〕选修4—5；不等式选讲 设()|3||4|.f x x x =-+- 〔1〕解不等式()2f x ≤；
〔2〕假设存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围。

参考答案
一、选择题：
A 卷：ADBCC BABDA DA
B 卷：CDBCB CAABA DA
【二】填空题：
〔13〕x 29－y 2
16＝1
〔14〕－
1
2
〔15〕20＋12 5 〔16〕2
【三】解答题： 〔17〕解：
连结AB 、 在△ACD 中，
CD ＝100m ，∠ACD ＝90︒，∠CDA ＝60︒，
那么AC ＝CD tan 60︒＝1003m ； …4分
在△BCE 中，
CE ＝100m ，∠BCE ＝75︒，∠CEB ＝60︒，
那么∠CBE ＝45︒，BC ＝CE sin 60︒
sin 45︒＝506m ；…8分
在△ABC 中，
AC ＝1003m ，BC ＝506m ，∠ACB ＝45︒，
那么AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45︒＝506m 、 故A 、B 两点之间的距离为506m 、
…12分
〔18〕解：
〔Ⅰ〕频率分布直方图如下：
D
C
A
B
E
可能企业所获资金支持的均值为
x -＝0×3＋1×8＋3×6＋6×320
＝2.2〔千万元〕、
…4分
〔Ⅱ〕记企业X 选择收购Y 为(X ，Y )，其中X 为A 、B 中的一个，Y 为a 、b 中的一个、 依照题意，有以下情形： (A ，a )，(B ，a )； (A ，a )，(B ，b )； (A ，b )，(B ，a )； (A ，b )，(B ，b )、 所求概率P ＝
2 4＝ 1
2、
…12分
〔19〕解：
〔Ⅰ〕∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ， ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面PBC ⊥平面PAB 、 …4分 〔Ⅱ〕连结AC ，那么AC ＝AB 2
＋BC 2
＝5，AD ＝BC 2＋(AB －CD )2＝2， 设PA ＝a 〔a ＞0〕，那么
PC ＝PA 2＋AC 2＝a 2＋5， PD ＝PA 2＋AD 2＝a 2＋2，
由余弦定理，
cos ∠PDC ＝PD 2＋CD 2－PC 22PD ·CD ＝－1
a 2＋2＝－ 1 2，
…9分
解得a ＝2、
故四棱锥P —ABCD 的体积
V ＝
1 3· 1 2(AB ＋CD )·BC ·PA ＝2
2、 …12分
〔20〕解：
〔Ⅰ〕对y ＝x 2求导，得y '＝2x 、
设点P (x 0，x 20)〔x 0≠0〕，那么直线l 方程为y －x 2
0＝2x 0(x －x 0)，
在l 方程中分别令y ＝0，x ＝0，得A (
x 0
2，0)
、B (0，－x 2
0)、
…3分
设M (x ，y )，AM →＝
1 2MB →即(x －x 0 2，y )＝
1
2(－x ，－x 20－y )，由此得
x 0＝3x ，x 20＝－3y ，
消去x 0，得曲线D 的方程为y ＝－3x 2〔x ≠0〕、
…6分
〔Ⅱ〕依题意，直线PE 方程为y －x 20
＝－1
2x 0(x －x 0)， 令x ＝0，得E (
0，x 20
＋
1
2)
、
由|PE |＝|PA |，得x 2
0＋
1 4＝x 204＋x 40，
A
C
P
B
解得x 20＝1，或x 20＝－
1
4〔舍去〕、
…9分
因此所求圆的圆心为E (
0，
3 2)
，半径r ＝|PE |＝5
2，
圆的方程为x 2
＋(
y －
3 2)
2＝ 5
4、
…12分
〔21〕解：
〔Ⅰ〕f (x )＝(x －1)
2
x (x ＋1)2≥0，
…3分
因此f (x )在(0，＋∞)单调递增、
…5分
〔Ⅱ〕原不等式确实是(x ＋1)ln x x －1－2＞0，即x ＋1x －1[ln x －2(x －1)
x ＋1]
＞0，
也确实是x ＋1
x －1·f (x )＞0、
…7分 由〔Ⅰ〕，f (x )在(0，＋∞)单调递增，且f (1)＝0，
当x ∈(0，1)时，f (x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0；
…10分
又当x ∈(0，1)时，x ＋1x －1＜0；当x ∈(1，＋∞)时，x ＋1
x －1＞0、
因此当x ＞0，且x ≠1时，(x ＋1)ln x
x －1－2＞0， 因此(x ＋1)ln x
x －1＞2、
…12分
〔22〕解：
〔Ⅰ〕∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90º，
∴BE BD ＝BC AB ＝ 4
5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24 5，
在Rt △BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2
＝
18
5、
…5分
〔Ⅱ〕连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90º， ∴∠AEF ＋∠OEB ＝90º， 又∵∠C ＝90º，∴∠A ＋∠B ＝90º，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ，
∴∠AEF ＝∠A ，∴AF ＝EF 、 …10分 〔23〕解：
〔Ⅰ〕在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘以ρ， 得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
那么C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2、 …4分 〔Ⅱ〕将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，那么 t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，
C A
B E
D O
F
|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝5、 …10分
〔24〕解：
〔Ⅰ〕f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ＜3，
1，
3≤x ≤4，2x －7，x ＞1．
…2分
作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为
5 2和 9
2，由图象知 不等式f (x )≤2的解集为[
5 2， 9
2]
、
…5分
〔Ⅱ〕函数y ＝ax －1的图象是过点(0当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1由图象知，a 取值范围为(＝ 1 2。