福建省德化一中春季高二数学周练11 理

德化一中2015年春季高二数学周练11
1.设,a b R ∈，则a b >是||||a a b b >的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充要条件 D. 必要不充分条件 2.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10 B ．20 C ．36
D ．52
3.设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数z=x+2y 的最小值（ ）
A. 2
B.3
C. 4
D. 5
4.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤＝( )
A ．0.477
B ．0.628
C ．0.954
D ．0.977
5.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A ．35 B ．25
C ．59
D ．
1
10
6.已知随机变量ξ和η，其中102ηξ=+，且()20E η=，若ξ的分布列如下表，则m 的值为（ ） A.
47
B. 37
C.
2760 D. 18
7.设二项式1(n
x
- 的展开式中含有4
x 的项，则n 的一个可能值是( )
A. 3
B. 6
C. 5
D. 10
8.已知函数22,0
()ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）
A.(,0]-∞
B.(,1]-∞
C.[2,1]-
D.[2,0]-
9.一个人篮球运动员投篮一次得3分的概率为a 得2分的概率为b,不得的概率为c （其中a,b,c ∈(0,1)）,已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况）,则ab 的最大值为（ ） A ．
1
48
B ．124
C ．112
D ．16
10.已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>相交于A 、B 两点，双曲
线的一条渐近线方程是3
y x =
，点F 是抛物线的焦点，且△FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（ ）
A.
22
1366x y -= B.
22
1163x y -= C.
22
1632x y -= D.
22
1316
x y -= 11.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2
，f 3（x ）=x 3
，f 4（x ）=sinx ，f 5（x ）=cosx ，f 6（x ）=2，现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的数学期望为（ ） A ．
74 B ．7720 C ．34 D ．73
12.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()
'()0f x f x x
+
>，则关于x 的函数 1
()()g x f x x
=+
的零点的个数为（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 13.若复数z 满足（1+2i ）z=|3+4i| (ｉ是虚数）则复数z 在复平面内对应的点 . 14.在9
(1)x +的二项展开式中任取2项，i P 表示取出的2项中有i 项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i ，则随机变量ξ的数学期望E ξ=_____． 15.在等差数列{}n a 中472,4a a ==现从{}n a 的前10项中随机取数每次取出一个数取后放回连续抽取3次假定每次取数互不影响那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数
和一个负数的概率为___ _____．
16.如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n n A B A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，
2B ，L ，n B *()n ∈N 在曲线1
(0)y x x =>上，0A 与坐标原点O 重合， i A *()i ∈N 在x 轴正
半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________． 17.(1)若不等式2
1
|21||2|22
x x a a -++≥+
+对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围; (2)已知0,0x y >>,证明: 2
2
(1)(1)9x y x y xy ++++≥.
18.盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E(X).
19.随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：
（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？
20.如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过
B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥
平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．
（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；
（Ⅱ）当2
3EP ED =时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．
A B
E
C
D
A
C
B
E
P Q
P
•
21.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l
与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4
π
时，原点O 到直线l
的距离为
2
.又椭圆上的点到焦点F 2
1. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP
求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；
（III ）若抛物线()2
2220C y px p F =>：以为焦点，在抛物
线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.
图（1）
图（2）
德化一中2015年春季高二数学周练11参考答案
13. (1,2)-； 14.
45； 15. 625
; 16.
三. 解答题（本大题共6小题,
共
70分,把答案填在答题卷的相应位置上）
17.解:略
18.解：（1）由题意2224322
95
18
C C C
P C ++==； （2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，
，，
，
19.解:（1）依题意，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为5
6
P =
， ，
，
∴X 的分布列为：
A
D
C
B
E P
M
Q
z
∴15251255()012321672722162
E X =⨯
+
⨯+⨯+⨯= 。

（2）提出假设H 0 ：休闲方式与性别无关系，
根据样本提供的2×2列联表得
，
因为当H 0 成立时，
的概率约为0.01，
所以我们有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段性别与休闲方式有关”。

20.解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ． 取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．
由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且1
2MQ BC =，
又//PE BC ，且1
2
PE BC =，
所以//PE MQ ，=PE MQ ，
所以四边形PEMQ 为平行四边形， 故//ME PQ ．
又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ， 所以//PQ 平面AEB ．
从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3
=2
PD ．
（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且AE BE ⊥， 所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥，
以E 为原点，分别以,,EB ED EA 为x 轴、y 轴、z 直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，P (3,3,0)C ,则(3,1,0)PC =，(0,2,3)PA =-．
平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ，
设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n ，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,
230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩
取3y =，得2(1,3,2)=-n ，故123314
cos ,14
141
=
=
⋅n n 即面AEB 和平面APC
20.解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为
4
π
，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，
2=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 2
2
TF =2
2
00(1)x y -+=22
2
002(1)(1)(1)x x a a
-+--
=
22
021()x a a
-
≥21)-，0a x a -≤≤, 当0x a =
时，11a -=
，a =
b =即椭圆C 的方程 22
132
x y += （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，
由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=
，而112S x y ==
1112x y ==, 知ON PQ ⋅
=.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22
132
x y +=可得2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，
0∆>，即2
2
32k m +>,212122
2
636
,2323km m x x x x k k -+=-=++
, 12PQ x =-=
=
, d =
，1122POQ
S d PQ ∆=⋅⋅==, 化为2
2
2
2
2
4(32)(32)m k m k +-=+，2
2
2
2
22
(32)22(32)(2)0k m k m +-++=，
422222912412840k k m k m m ++--+=,
得到，222
(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>,
由前知12322x x k
m +=-，2121231()222y y x x k k m m m m
++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则22
221212222
9111
()()(3)2242x x y y k OM m m m ++=+=+=-,
2222
2
2222
24(32)2(21)1
(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++,
2
2
221125(3)(2)4OM
PQ m m =-
+≤，当且仅当221132m m
-=+，
即m =时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为
5
2
. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5.
（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= , 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）,
所以222221*********()
()()()016
y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=
+-=, 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
,
所以22
1222256323264y y y =+
+≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS
=,
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =， 所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）。