江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试数学试题(五) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.设复数z 满足(z ＋i)(2＋i)＝5(i 为虚数单位)，则z ＝____________．
2.设全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3}，则B ∩∁U A ＝____________．
3.某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．
4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的
离心率为____________．
(第7题)
5.函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为____________．
6.某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为____________．
7.如图所示的流程图中，输出S 的值是____________．
8.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥MPAD 的体积为__________．
9.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，
4x ＋3y ≤20，
x ≥0，y ≥0，
则2x ＋y 的最大值为____________．
10.已知平面向量a ＝(4x
，2x
)，b ＝⎝
⎛⎭⎫1，2x
－2
2x ，x ∈R .若a ⊥b ，则|a －b|＝__________．
11.已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝4
9，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则
a 7＋a 8＋a 99的值为__________．
(第12题)
12.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →
(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n
的最小值为____________．
13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．
14.已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≤0，
e x ＋e 2，x ＞0.若不等式f(x)≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取
值范围是____________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B －C)＝1－cosA ，且b ，a ，c 成等比数列．求：
(1) sinB ·sinC 的值； (2) A 的值；
(3) tanB ＋tanC 的值．
16.(本小题满分14分)
如图，在正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，点D ，E 分别是A 1C ，AB 的中点． (1) 求证：ED ∥平面BB 1C 1C ；
(2) 若AB ＝2BB 1，求证：A 1B ⊥平面B 1CE.
已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k为常数且k∈N*.
(1) 求k及a n；
(2) 设a1＞1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为1，公比为q(q＞0)，前n
项和为T n.若存在正整数m，使得S2
S m＝T3，求q.
18.(本小题满分16分)
如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭．现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部．已知BC＝2OB＝2(km)．设湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.
(1) 求S关于θ的函数关系式；
(2) 试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值；若不存在，说明理由．
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±b
e 为
椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．
20.(本小题满分16分)
已知a ，b 为实数，函数f(x)＝ax 3－bx. (1) 当a ＝1且b ∈[1，3]时，求函数F(x)＝⎪⎪⎪
⎪f （x ）x －lnx ＋2b ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最大值M(b)；
(2) 当a ＝0，b ＝－1时，记h(x)＝lnx
f （x ）
.
①函数h(x)的图象上一点P(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝y(x)，记g(x)＝h(x)－y(x)．问：是否存在x 0，使得对于任意x 1∈(0，x 0)，任意x 2∈(x 0，＋∞)，都有g(x 1)g(x 2)＜0恒成立？若存在，求出所有可能的x 0组成的集合；若不存在，说明理由；
②令函数H(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2e ，x ≥s ，
h （x ），0＜x ＜s ，若对任意实数k ，总存在实数x 0，使得H(x 0)＝k
成立，求实数s 的取值集合．
(五)
1.2－2i 解析：z ＝5
2＋i
－i ＝2－2i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识，属
于容易题．
2.{2}解析：∁U A ＝{2，4}，B ＝{2，3}，则B ∩∁U A ＝{2}．本题考查集合相等的概念及集合中元素互异性，属于容易题．
3.6解析：20
100
×30＝6.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．
4.5解析：双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1过点P(1，－2) 的渐近线方程为bx ＋ay ＝0，得b ＝2a ，则
c ＝b 2＋a 2＝5a ，则离心率为 5.本题主要考查双曲线的渐近线方程，离心率等概念．本题属于容易题．
5.⎝⎛⎦⎤－∞，32解析：由－x 2＋22≤22，即f(x)≤log 222＝32
，函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.本题主要考查二次函数的最值，对数的化简．本题属于容易题．
6.9
10
解析：从5名学生中随机选出3名学生共有10种选法，男女生都有共9种(即去掉选的是3名女生的情况)，则所求的概率为9
10
.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容
易题．
7.23解析：k ＝1时，S ＝－12；k ＝2时，S ＝2
3
；k ＝3时，S ＝3，恢复工厂到初始值；可以发现周期为3，2015中共有671个周期，还余2个数，则输出S 的值是2
3
.本题考查流程图
基础知识，关键把握好每一次循环体的执行情况．本题属于容易题．
8.3解析：三棱锥MPAD 的底面MAD 的面积为3，高PA ＝3，则体积为3，本题主要考查锥体的体积公式，属于容易题．
9.7.5解析：作出可行域发现最优解为⎝⎛⎭⎫
54，5，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为2.5＋5＝7.5.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题．
10.2解析：由4x ＋2x －2＝0，得2x ＝1，所以x ＝0，则a －b ＝(0，2)，|a －b|＝2.本题考查了指数方程，向量数量积的坐标运算及模的求法．本题属于容易题．
11.117解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则49q 2＋
4
9
q 4＝40，则q ＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝49＋40，a 1＋a 2＋a 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝4
9
＋40，得
a 1＋a 2＋a 3＝139，则a 7＋a 8＋a 99＝19(a 1＋a 2＋a 3)q 6＝19×13
9
×93＝117.本题考查了等比数列中的整
体思想求和，属于中等题．
12.7＋434解析：(解法1)设AB →＝a ，AD →＝b ，则BC →＝－34a ＋b ，设BP →＝λBC →，则AP →＝AB
→＋BP →＝⎝⎛⎭⎫1－34λa ＋λb .因为AP →
＝m a ＋n b ，所以有1－34λ＝m ，λ＝n ，消去λ得m ＋34
n ＝1，1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫m ＋34n ⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝1＋3n 4m ＋m n ＋34≥74＋23n 4m ·m n ＝7＋43
4
.(解法2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，设BP →＝λBC →
＝(－3λ，4λ)，则AP →＝AB →＋BP →＝(4－3λ，4λ)．因为AP →＝mAB →＋nAD →
＝(4m ，4n), 所以有4－3λ＝4m ，4λ
＝4n ，消去λ得m ＋3
4
n ＝1(下同解法1)．本题考查了平面向量的线性表示或坐标运算，利用
基本不等式，运用“1”的代换求最值．本题属于中等题．
13.⎝⎛⎭
⎫－20
3，4解析：设P 点坐标为(x ，y)，∵PB ＝2PA ，∴PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭
⎫－4
3，0，r ＝8
3.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83
，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整
理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭
⎫－20
3，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；
方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题．
14.[－3，e 2] 解析：①当x ＝0时，0≥0，所以k ∈R .②当x<0时，2x 2－3x ≥kx ，同除
以x ，即k ≥2x －3恒成立，所以k ≥－3.③当x>0时，e x ＋e 2
≥kx ，同除以x ，即k ≤e x ＋e 2x
恒
成立，令g(x)＝e x ＋e 2x ，下面只需求出g(x)的最小值．g′(x)＝（x －1）e x －e 2
x 2
，令g′(x)＝0，
即(x －1)e x －e 2＝0.令h(x)＝(x －1)e x －e 2，h ′(x)＝xe x >0，所以h(x)在x ∈(0，＋∞)上是单调递增函数．显然x ＝2是方程(x －1)e x －e 2＝0的根，由单调性可知x ＝2是唯一实数根．当x ∈(0，2)时g(x)单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(2)是函数g(x)的最小值，且g(2)＝e 2，所以k ≤e 2.综上，实数k 的取值范围是[－3，e 2]．本题突出了函数思想和分类讨思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．
15.解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)． 由cos(B －C)＝1－cosA ，得cos(B －C)＝1＋cos(B ＋C)，
展开，整理得sinB ·sinC ＝1
2
.(2分)
(2) 因为b ，a ，c 成等比数列，所以a 2＝bc.
由正弦定理，得sin 2A ＝sinBsinC ，从而sin 2A ＝1
2
.(6分)
因为A ∈(0，π)，所以sinA ＝2
2.
因为a 边不是最大边，所以A ＝π
4
.(8分)
(3) 因为B ＋C ＝π－A ＝3π
4
，
所以cos(B ＋C)＝cosBcosC －sinBsinC ＝－2
2
，
从而cosBcosC ＝1－2
2
.(10分)
所以tanB ＋tanC ＝sinB cosB ＋sinC cosC ＝sin （B ＋C ）
cosBcosC
(12分)
＝221－22
＝－2－ 2.(14分) 16.证明：(1) 连结AC 1，BC 1，
因为AA 1C 1C 是矩形，D 是A 1C 的中点， 所以D 是AC 1的中点．(2分)
在△ABC 1中，因为D ，E 分别是AC 1，AB 的中点， 所以DE ∥BC 1.(4分)
因为DE ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， 所以ED ∥平面BB 1C 1C.(6分)
(2) 因为△ABC 是正三角形，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB.
因为正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，交线为AB ，所以CE ⊥平面ABB 1A 1.
从而CE ⊥A 1B.(9分)
在矩形ABB 1A 1中，因为A 1B 1B 1B ＝2＝B 1B
BE
，
所以Rt △A 1B 1B ∽Rt △B 1BE ，从而∠B 1A 1B ＝∠BB 1E. 因此∠B 1A 1B ＋∠A 1B 1E ＝∠BB 1E ＋∠A 1B 1E ＝90°， 所以A 1B ⊥B 1E.(12分)
因为CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，CE ∩B 1E ＝E ， 所以A 1B ⊥平面B 1CE.(14分)
17.解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧dk ＋a 1－d ＝k 2
＋2，①
2dk ＋a 1－d ＝（k ＋2）2
，②(2分) ②－①，得d ＝4＋2
k .
因为d ，k ∈N *
，所以k ＝1，或k ＝2.(4分)
当k ＝1时，d ＝6，代入①，解得a 1＝3，所以a n ＝6n －3.
当k ＝2时，d ＝5，代入①，解得a 1＝1，所以a n ＝5n －4.(6分) (2) 因为a 1＞1，所以a n ＝6n －3，从而S n ＝3n 2.(7分) 由S 2S m ＝T 3，得123m 2＝1＋q ＋q 2，整理，得q 2＋q ＋1－4
m
2＝0.(9分) 因为Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫1－4m 2≥0，所以m 2≤163. 因为m ∈N *
，所以m ＝1或m ＝2.(11分)
当m ＝1时，q ＝－13－12(舍)，q ＝13－1
2
.
当m ＝2时，q ＝0或q ＝－1(均舍去)．
综上所述，q ＝13－1
2
.(14分)
18.解：(1) 在△COP 中，CP 2＝CO 2＋OP 2－2CO·OPcos θ＝10－6cos θ，
从而△CDP 的面积S △CDP ＝34CP 2＝3
2(5－3cos θ)．
因为△COP 的面积S △COP ＝12OC ·OPsin θ＝3
2
sin θ，(6分)
所以S ＝S △CDP ＋S △COP －S 扇形OBP
＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋53
2，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512
.(9分) (注：定义域2分．当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin
θ0，cos θ0＝1±105
12
.)
(2) 存在．
S ′＝1
2
(3cos θ＋33sin θ－1)，
令S′＝0，得sin ⎝
⎛⎭⎫θ＋π6＝1
6.(12分)
当0＜θ＜θ0时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．(14分)
(或者：因为0＜θ＜π，所以存在唯一θ0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得sin ⎝
⎛⎭⎫θ0＋π6＝1
6.当0＜θ＜θ
0＜π时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．)
此时cos ⎝
⎛⎭⎫θ0＋π6＝－35
6，cos θ0＝cos[(θ0＋π6)－π6]＝1－10512.(16分)
19.解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，
a ＝2，
又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.(5分)
(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：
设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 2
0＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，
当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－23y 0x 0，23，
则k OP ＝233－23y 0x 0
＝2x 0
3－2y 0
，(7分)
所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－3
2x 0
x.(9分)
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，
x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6x 0
6－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0
，
即A(6x 0
6－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0
)．(11分)
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 02
4＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 2
0－43y 0＋3）
3y 20－123y 0＋36
＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36
＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)
当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)
20.解：(1) F(x)＝|x 2－lnx －b|＋2b ＋1，
记t(x)＝x 2－lnx ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则t′(x)＝2x －1x ， 令t′(x)＝0，得x ＝2
2
.(1分)
当12＜x ＜22时，t ′(x)＜0，t(x)在⎝⎛⎭⎫12，2
2上为单调减函数； 当22＜x ＜2，t ′(x)＞0，t(x)在⎝⎛⎭⎫2
2，2上为单调增函数， 又t ⎝⎛⎭⎫12＝14＋ln2，t(2)＝4－ln2，t ⎝⎛⎭
⎫22＝1＋ln22，且t(2)－t ⎝⎛⎭⎫12＝154－2ln2＞0， 所以t(x)的取值范围为⎣⎡⎦
⎤1＋ln2
2，4－ln2.(3分)
当b ∈[1，3]时，记v(t)＝|t －b|＋2b ＋1，则
v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3b ＋1，1＋ln22≤t ≤b ，t ＋b ＋1，b ＜t ≤4－ln2.
因为函数v(t)在⎣⎡⎦⎤
1＋ln22，b 上单调递减，在(b ，4－ln2]上单调递增，
且v ⎝⎛⎭
⎫
1＋ln22＝3b ＋1－ln22，v(4－ln2)＝b ＋5－ln2，
v ⎝⎛⎭
⎫
1＋ln22－v(4－ln2)＝2b ＋ln2－92，
所以当b ≤9－ln2
4
时，最大值M(b)＝v(4－ln2)＝b ＋5－ln2，
当b ＞9－ln24时，最大值M(b)＝v ⎝⎛⎭
⎫1＋ln22＝3b ＋1－ln22，
所以M(b)＝⎩
⎨⎧b ＋5－ln2，1≤b ≤9－ln2
4
，
3b ＋1－ln22，9－ln24
＜b ≤3.
(5分)
(2) h(x)＝lnx
x
，
①h ′(x)＝1－lnx x 2，h ′(x 0)＝1－lnx 0
x 20，
所以y(x)＝1－lnx 0
x 20
(x －x 0)＋y 0，
g(x)＝lnx
x －y 0－1－lnx 0x 20
(x －x 0)，g(x 0)＝0.(7分)
g ′(x)＝1－lnx x 2－1－lnx 0
x 20
，g ′(x 0)＝0.
令G(x)＝g′(x)＝1－lnx x 2－1－lnx 0x 2
0，G ′(x)＝－3＋2lnx
x 3
， 所以g′(x)在(
)0，e 32
上单调递减，在(
)
e 32
，＋∞上单调递增，
若x 0＜e 32
，则x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＜g(x 0)＝0；x ∈(x 0，e 32
)时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＜g(x 0)＝0，不符合题意．
若x 0＞e 32，则x ∈()
e 3
2，x 0时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＞g(x 0)＝0； x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＞g(x 0)＝0，不符合题意． 若x 0＝e 32，则x ∈(
)0，e 32
时g(x)＜0，x ∈(
)
e 32
，＋∞时g(x)＞0，符合题意．
综上，存在x 0满足要求，且x 0的取值集合为{e 32
}．(10分)
②因为对任意实数k ，总存在实数x 0，使得H(x 0)＝k 成立，所以函数y ＝H(x)的值域为一切实数．
y ＝1
2e
x 在[s ，＋∞)上是增函数，其值域为⎣⎡⎭⎫s 2e ，＋∞.(11分) 对于函数y ＝lnx
x ，y ′＝1－lnx x
2，当x ＝e 时，y ′＝0，
当x ＞e 时，y ′＜0，在(e ，＋∞)上为单调减函数， 当0＜x ＜e 时，y ′＞0，在(0，e)上为单调增函数．
若s ＞e ，则函数y ＝lnx
x
在(0，e]上是增函数，在[e ，s)上是减函数，其值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1e ， 又1e ＜s
2e
，不符合题意，舍去；(13分) 若0＜s ≤e ，则函数y ＝lnx
x
在(0，s)上是增函数，值域为⎝⎛⎭⎫－∞，lns s ， 由题意得s 2e ≤lns
s
，即s 2－2elns ≤0.①
记u(s)＝s 2
－2elns ，u ′(s)＝2s －2e s ＝2（s 2
－e ）s
.
当0＜s ＜e 时，u ′(s)＜0，u(s)在(0，e)上为单调减函数． 当s ＞e 时，u ′(s)＞0，u(s)在(e ，e)上为单调增函数，
所以，当s ＝e 时，u(s)有最小值u(e)＝0，从而u(s)≥0恒成立(当且仅当s ＝e 时，u(s)＝0.) ②(15分)
由①②得，u(s)＝0，所以s ＝ e.
综上所述，实数s 的取值集合为{e}．(16分)。