力5刚体的定轴转动(2012)教材

下落时间t =3s。 求：轮对 O 轴 J =？ 解：动力学关系：
对轮： T R J (1)
N
α
T
′= –T
· R
am
对m： mg T ma (2)
运动学关系：
a R (3)
G T mg
h
1 2
at 2
(149 )
(1)~(4)联立解得： J ( gt 2 1)mR 2 2h
分析结果：
· ·O
·O
两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同， 转动与基点的选取无关。 动力学中，常选质心为基点。
三 . 刚体转动的描述（运动学问题）
1.定点转动（rotation about a fixed point）
（1）角量的描述
为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢
和转向，引入角速度矢量 。
显然，刚体是个理想化的模型，但是它有 实际的意义。
通常v固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动 过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。
刚体是特殊的质点系， 其上各质点间的相对 位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体， 而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一 般的质点系有所简化。
3
二 . 刚体的运动形式 1.平动（translation）：连接刚体内任意两点
· R
定轴
O 绳(不可
m
v0= 0
伸长)
h
25
[例7]已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为l，
初始水平静止。轴光滑，AO l / 4 。
轴O l , m
· A θ
B
· l /4 C
ω
求： 杆下摆到 角时，
角速度 ?
轴对杆作用力
N
?
解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。
1 2
J
O
2
m g l sin
O R m 细圆环： JO mR2
14
C
R
m 均匀圆盘：
JC
1 m R2 2
C A
l 2
均匀细杆：
l 2
m
JC
1 ml2 12
二.计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴J具有可叠加性
J Ji
JA
1 3
ml2
15
2.平行轴定理
JC
J
C× d m
J JC md2
平行
JC Jmin
3.对薄平板刚体的正交轴定理
1 2
J
2 0
1 2
J 2
(5)
gh 2R2
cos 2
g R
sin
1 . g (h 4 3R) 2R 2
M J
mgR 2mR 2
g 2R
( 60)
35
§5.7 旋进（进动，precession）
旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个
轴转动的现象。
zω
质量对转轴不对称，则对
·m1
p1 r1 L
量， z
m
C 圆盘
x
R
已知圆盘
Jz
1 m R2 。 2
y
解： J x
Jy
Jz
1 2
m R2
Jx
Jy
1 m R2 4
思考
下图中的
Jz
如何求？ z
z
mC a a
mD
l
18
§5.4 转动定律应用举例
例4：已知：R = 0.2m，m =1kg，
· R
定轴
O 绳(不可
m
v0= 0
伸长) t h
vo= 0，h =1.5m， 绳轮间无相对滑动，
6
ω v
•P
d
dt
刚体 × 基点O
d 的方向沿瞬时轴，
与转向成右螺旋关系。
瞬时轴
为反映刚体角速度的
变化情况，引入角加速度矢量 。
d （不一定沿着瞬时轴）
dt
7
（2）线量和角量的关系
ωv
r •P
r
刚体基点O×
v
r
r
a
d
v
d
r
d
r
dt dt
dt
r v
瞬时轴
旋转加速度 向轴加速度
J 2
（ Ek ）
（飞轮储能）
（可证：1 J
2
2
1 2
miv i2）
刚体定轴转 动动能定理：
W
Ek2 Ek1
23
三. 刚体的重力势能
Δmi
C×
hC hi
E p mi ghi m g mihi
m
Ep= 0
mghC
四. 应用举例
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能
守恒定律仍成立。
24
例6：利用功能关系重解例4。求定滑轮的转动 惯量。
m2>m1 ×
轴上O点的
L 不平行于
。
r2 p2 若质量对转轴分布对称，则：
L2
L1
O
L∥∥ 轴
L（对点）
Lz
k（对轴）
J
z
下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称
的刚体的旋进问题。
36
ω∥L
× dL M
θ·
玩具陀螺的旋进：
M
d
L
dt
dL Mdt∥M 。
O mg
ML
dL L
L
只改变方向而不改变大小，
M t2
t1 外z
d
t
J z2
J z1
——刚体定轴转动的角动量定理 29
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M外z 0 ，则 J z const .
大 小 不 变 正 、 负 不 变
对刚体系， M外z = 0 时， Jiz i const . ，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
21
§5.5 定轴转动中的功能关系
一.力矩的功
F
d
·z r
轴
x
力矩的空间积累效应：
dW F cos (r d ) (F cos r )d
M d
力矩的功：
W
2 1
M d
22
二. 定轴转动动能定理
W
2
1
M
d
J 2
1
d
dt
d
2
1
J
d
1 2
J
2 2
1 2
J12
令转动动能：
Ek
1 2
● 单位对；
● h、m 一定，J↑→ t↑， 合理；
● 若J = 0，得 h 1 gt 2，正确。
2
代入数据：
J
9.8 32 (
1) 1 0.22
2 1.5
1.14kg m2
此为一种用实验测转动惯量的方法。 20
例5：一根长l，质量为m的均匀细直棒，其一 端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平 面内转动，最初棒静止在水平位置，求它由此 下摆角时的角加速度和角速度？
4
0
(1)
JO
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
ml2
(2)
(1)、(2)解得： 2
6g sin
7l
26
应用质心运动
定理求轴力： N mg maC
Nl
· N
A
O
aClθC
· l Nt aCtθ
l,m
B
t mg
l ： m t：mg
gsin Nl cos N t
maCl ma Ct
从而产生旋进运动。
37
Ω d
dL
Lsin L
O
旋进角速度：Ω dΘ
dt
d L Lsin dΘ
M d L Lsin dΘ
dt
dt
Lsin Ω
Ω M M 1 ， Ω Lsin J sin
当 90 时 ，Ω M
J
38
▲ 回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。
30
滑冰运动员的旋转
猫的下落（A） 猫的下落（31B）
例8：一根长l，质量为M的均匀直棒，其一端 挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。 今有一子弹，质量为m，以水平速度v0射入棒 的下端而不复出。求棒和子弹开始运动时的 角速度。
v0 思考：木棒和子弹系统总动量是否守恒？ 32
例9：一根长为l，质量为m的均匀直棒静止在 一光滑水平面上。它的中点有一竖直光滑固定 轴，一个质量为m’的小球以水平速度v0垂直于 棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速 度v和棒的角速度。
12
例2：一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以 角速度绕其中心轴旋转，现将它放在一水平 板上，盘与板表面的摩擦系数为 。求经过 多长时间后，圆盘转动才能停止？
13
§5.3 转动惯量的计算
质点系 J miri2
dm
连续体 J r2 d m
mr
m
J 由质量对轴的分布决定。
转轴
一. 常用的几种转动惯量表示式
(3) (4)
aCl
l 2
4
6 7
g sin
(5)
aCt
l
4
l 4
l 4
m g cos
JO
3g cos
7
(6)
27
N
由(3)(4)(5)(6)解得：
Nl β A
Nt l , m
·· l O θC
t
Bω
Nl
13 7
m gsin
,
Nt
4 7
m g cos
N
13 7
m g sin
el
4 7
m g cos
Rd
•
ri '
Rd
ri
'2
d
2
2ri '•Rd
JD
i
miri2
i
mir'2i
i
mi
d
2
2
i
m
i
ri '
•
Rd
miri '2 mi d 2 2d mi xi '
i
i
i
JC md 2 2dmxC ' JC md 2
17
[例3]求对薄圆盘的一条直径的转动惯
的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。 刚体做平动时，可用质心或其上任何一
点的运动来代表整体的运动。 平动是刚体的基本运动形式之一。
2. 转 动 （ rotation ） ： 转动也是刚体的基本运动形式之一，
它又可分为定轴转动和定点转动。
4
▲ 定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动，
且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，
整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
3.平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一
固定平面的运动。
4.一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：
▲ 随基点O（可任选）的平动
▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
5
例如：
或
· O
O
10
§5.2 刚体的定轴转动定律
把刚体看作无限多质元构成的 质点系。
z ω,
vi
Fi
dL M外 dt
(对 O 点)
ri •Δmi
M外z
d Lz dt
(对 z 轴)
刚体
O×
ri
Lz Liz miv iri
i
i
定轴
( mi ri2 )
i
令 J z mi ri2 —转动惯量（对z轴）
1
§5.1 刚体的运动
一. 刚体（rigid body）的概念
由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：
F
t ABC
t +t 才 感受到力
固体中弹性波的速度 v k （k—劲度）
若 v ，则 k ，此时物体有无限的刚性， 它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。
我们把这种不能变形的物体称为刚体。 2
i
（rotational inertia）11
则
Lz J z
M外z
d Lz dt
Jz
d
dt
z ω,α ri vi•ΔmFθi ii
即
M外z J z
—转动定律
刚体
O×
ri
其中 M外z Firi sin i 定轴 i
定轴情况下，可不写下标 z ，记作：
M J
与牛顿第二定律相比，有：
M 相应F ， J 相应 m ， 相应 a 。
可忽略，系统角动量守恒：
mvR cos J0
(2) 34
J 1 MR2 m R2 2m R2
(3)
2
由(1)(2)(3)得：
0
2gh cos
2R
(4)
· ,
M ORm
对（m + M +地球）系统， 只有重力作功，E守恒。
mg 由(3)(4)(5)得：
令P、x 重合时 EP = 0，则：
m gRs in
et
N m g 153sin2 16
7
tg 1
|
N
t
|
tg 1(
4
ctg )
Nl
13
28
§5.6 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。
质点系： 对点：
M外
dL dt
，
t2 t1
M外
d
t
L2
L1
对轴：
M t2
t1 外z
dt
L2z
L1z
刚体： Lz J z
z
Jz miri2
O xi
ri
yi
x
Δmi
y mi xi2 mi yi2
即
J z J x J y 16
平行轴定理： JD=JC+md2
ri’
mi ri
C Rd D
证明： 过质元作一平面与平行轴
x 垂直，此面与轴的交点分
别为C和D。C在通过质心的轴上。
ri2 ri • ri
ri '
v0
33
[例10] 如图示，已知：h，R，M=2m， =60
y m (黏土块) 求：碰撞后的瞬刻盘 0 ？
h
P
P转到 x 轴时盘 ?, ?
解： m下落：
M O
R
θ
m x
光滑轴 （ 水 平 ） h
mgh 1 mv 2 2
均质圆盘
v v 2gh (1)
P
对（m +盘）系统，碰撞中重力对O 轴力矩
左转弯的力矩
左转
附加力可能
M
造成轴承的损
轴承 附加力
附加力 M dt = dL 坏，附加力矩 也可能造成翻
第五章 刚体定轴转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） §5.1 刚体的运动 §5.2 刚体的定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用举例 §5.5 定轴转动中的功能关系 §5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.7 旋进
2.定轴转动（rotation about a fixed axis）